ボラティリティのソースを表示

{{Otheruses|金融工学におけるボラティリティ|その他の用法|ヴォラティリティ}}
'''ボラティリティ'''（{{lang-en-short|[[wikt:volatility|volatility]]}}）とは、[[金融工学]]における[[金融商品]]の価格についての[[幾何ブラウン運動]]モデル{{Efn2|ただし、現実の[[金融資産]]の価格の変化率は、幾何ブラウン運動モデルから導かれる対数正規分布ではなく、パレート分布（冪分布）にしたがうという説もある（[[経済物理学]]を参照）。}}
: <math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t </math>
における<math>\sigma</math>のこと。[[リスク]]とも呼ばれる。（<math>S_t</math>は、時間<math>_t</math>の函数としての金融商品の価格や運用資産の額）

このモデルにおいて、<math>S_t</math>が株価を表す場合、時間の単位を1年単位にすると、ボラティリティは 通常<math>0.15<\sigma<0.60</math> の範囲にあることが経験的に知られている{{要出典|date=2024年5月}}。

ボラティリティの略称は「ボラ」である。

広義には資産価格の変動の激しさを表す[[パラメータ]]。広義については、[[テクニカル指標一覧#広義ボラティリティ]]を参照。

== ヒストリカル・ボラティリティとインプライド・ボラティリティ ==
幾何ブラウン運動モデル（[[ブラック-ショールズ方程式]]）で現実の市場を説明しようとする際、インプットとして使うデータの種類によって<math>\sigma</math>の値が異なる。

=== ヒストリカル・ボラティリティ ===
株価の値動きがモデル (1) に従うと仮定し、'''過去の株価のデータ'''から推定した<math>\sigma</math>の値。価格の[[対数]]差分の[[標準偏差]]。
過去<math>n</math>日にわたって株価を観測したとし、<math>S_i</math>を第<math>i</math>日の（例えば）終値とする。
{{Indent|<math>u_i:=\log \frac{S_i}{S_{i-1}},\ \ \overline{u}:=u_i</math>の平均}}
と置くと
{{Indent|<math>s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(u_i-\overline{u})^2}</math>}}
が推定値となる。このような手続きによって推定された値をヒストリカル・ボラティリティという。

=== インプライド・ボラティリティ ===
これに対して、'''現実'''の[[オプション取引|オプション市場]]でついた'''オプション価格から逆算された'''ボラティリティをインプライド・ボラティリティという。
以下これについて説明する。

ブラック-ショールズモデル (1) （金利は<math>r=</math>一定）を使えば、満期<math>T</math>、権利行使価格<math>K</math>のヨーロピアン・コールオプションの価格<math>c(K,T)</math>は

{{Indent|<math>C(K,T)=SN\left(\frac{\log (S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)
-Ke^{-rT}N\left(\frac{\log (S/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)</math><br />
<math>S</math>は現在の株価、<math>N(x)</math>は標準正規分布の分布関数}}

によって表される。しかしこの式の<math>\sigma</math>をヒストリカル・ボラティリティにすると多くの場合、計算される<math>C(K,T)</math>は現実のオプションの市場価格とは'''一致しない'''。そこで逆に、<math>\sigma</math>に関する方程式（<math>C(K,T)</math>は<math>\sigma</math>の関数であることに注意）
{{Indent|市場価格<math>=C(K,T)</math>}}
を解いて得られる<math>\sigma</math>をインプライド・ボラティリティという。

なお、この値は当然<math>K</math>や<math>T</math>によって異なる。<math>T</math>を固定して、横軸に<math>K</math>、縦軸にインプライド・ボラティリティをプロットしたグラフを'''[[ボラティリティ・スマイル]]'''、<math>K</math>を固定して、横軸に<math>T</math>、縦軸にインプライド・ボラティリティをプロットしたものを'''[[ボラティリティ期間構造]]'''と呼ぶ。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

== 参考文献 ==
*John Hull, "Options, Futures, and other derivatives", Prentice Hall

== 関連項目 ==
{{Div col}}
* [[金融工学]]
* [[数理ファイナンス]]
* [[ブラック-ショールズ方程式]]
* [[確率的ボラティリティモデル]]
* [[ボラティリティ指数]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{kotobank}}

{{DEFAULTSORT:ほらていりてい}}
[[Category:数理ファイナンス]]
[[Category:金融工学]]