ボレル・カンテリの補題のソースを表示

[[確率論]]における'''ボレル・カンテリの補題'''（ボレル・カンテリのほだい、{{Lang-en-short|Borel–Cantelli lemma}}）は、[[事象 (確率論)|事象]]の列に関する命題である。一般的に見れば[[測度論]]の結果の一つ。名称は20世紀初頭にこの補題の記述を行った[[エミール・ボレル]]と{{仮リンク|フランチェスコ・パオロ・カンテリ|en|Francesco Paolo Cantelli}}にちなむ<ref>E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" ''Rend. Circ. Mat. Palermo'' (2) '''27''' (1909) pp. 247–271.</ref><ref>F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", ''Atti Accad. Naz. Lincei'' 26:1 (1917) pp.39–45.</ref>。これと関連した、'''ボレル・カンテリの第二補題'''と呼ばれることもある命題は、（完全に対称的ではないが）ボレル・カンテリの補題（第一補題）と帰結が反対になる。これらの補題はある種の条件下で事象の確率が0か1かのどちらかであることを述べており、0-1法則として知られる一連の定理の中で最も著名なものとなっている。0-1法則にはこの他に[[コルモゴロフの0-1法則]]や{{仮リンク|ヒューイット・サヴェッジの0-1法則|en|Hewitt–Savage zero–one law}}がある。

==確率空間における主張==

''E''<sub>1</sub>,''E''<sub>2</sub>,... を、ある[[確率空間]]の事象の列とする。
このとき

:もしの確率 P(''E''<sub>''n''</sub>) の和が有限であれば、これらの事象が無限に多くの回数起こるような確率は 0 である<ref>{{cite book |first=Achim |last=Klenke |title=Probability Theory |year=2006 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-1-84800-047-6}}</ref>。

::<math>\sum_{n=1}^\infty \Pr(E_n)<\infty \Rightarrow \Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0</math>

ここで "lim&nbsp;sup" は[[上極限と下極限|事象列の上極限]]で、明示的に書けば

:<math>\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \geq n}^\infty E_k</math>

仮定として[[独立 (確率論)|独立性]]を課していないことに注意。

===例===

(''X''<sub>''n''</sub>) を[[確率変数]]列とし、各 ''n'' に対し Pr(''X''<sub>''n''</sub> = 0) = 1/''n''<sup>2</sup> とする。

ΣPr(''X''<sub>''n''</sub> = 0) = {{pi}}<sup>2</sup>/6&nbsp; &asymp; &nbsp;1.645&nbsp;<&nbsp;∞ だから、ボレル・カンテリの補題より ''X''<sub>''n''</sub> = 0 となるような ''n'' が無限に多く存在する確率は 0 である（[[ほとんど (数学)|ほとんど確実に]]、有限個の ''n'' を除いて ''X''<sub>''n''</sub> は 0 でない値をとる）。

==証明 ==
<math>[E_n]</math> を事象 <math>E_n</math> の[[指示関数]]とする（[[アイバーソンの記法]]）。[[単調収束定理|ルベーグの単調収束定理]]より
:<math>\operatorname{E}\left(\sum_n [E_n]\right) = \sum_n \operatorname{E}([E_n]) = \sum_n \Pr(E_n) < \infty</math>
よって
:<math>\Pr\left(\sum_n [E_n] = \infty \right) = 0</math>
なぜなら、さもなければ
:<math>\operatorname{E}\left(\sum_n [E_n]\right) \ge \int_{\{\sum_n [E_n]=\infty\}}\left(\sum_n [E_n]\right) \, \mathrm d\mathbb \Pr=\infty</math>
となるからである<ref name="ttaoproof">{{cite web|author=Tao, Terence.|title=The strong law of large numbers.|url=http://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/|accessdate=2015-02-15}}</ref>。

=== 別証 ===

級数 <math>\sum_{n=1}^\infty \Pr(E_n)<\infty</math> が収束するので、

: <math>\sum_{n = N} ^\infty \Pr(E_n) \rightarrow 0, \quad \text{as } N \to \infty</math>

でなければならない。よって <math> \inf_{N\ge 1} \sum_{n=N}^\infty \Pr(E_n) = 0</math>

これより

:<math>\begin{align}
\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) &= \Pr(\text{infinitely many of the } E_n \text{ occur} ) \\[6pt]
&= \Pr\left(\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right)  = \inf_{N \ge 1} \Pr\left( \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right) \\
&\le \inf_{N\ge 1} \sum_{n=N}^\infty \Pr(E_n)  = 0
\end{align}</math>

となり示された<ref name="math.ucdavis.edu">{{cite web|title=Romik, Dan. Probability Theory Lecture Notes, Fall 2009, UC Davis.|url=http://www.math.ucdavis.edu/~romik/teaching/lectures.pdf|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100614024007/http://www.math.ucdavis.edu/~romik/teaching/lectures.pdf|archivedate=2010-06-14|accessdate=2009-11-20}}</ref>。

==一般の測度空間==

一般の[[測度空間]]では、ボレル・カンテリの補題は次の形になる。

&mu; を集合 ''X'' 、[[完全加法族]] ''F'' 上の（非負）[[測度]]とし、(''A''<sub>''n''</sub>) を ''F'' の元の列とする。このとき

::<math>\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty</math> ならば <math>\mu\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right) = 0</math>

==反対（第二補題）==

これに関連して、帰結が反対となるような次の結果がある。

:: <math>\sum^{\infty}_{n = 1} \Pr(E_n) = \infty</math>  かつ事象列 <math>(E_n)^{\infty}_{n = 1}</math> が独立ならば、<math>\Pr(\limsup_{n \rightarrow \infty} E_n) = 1</math>

独立性の仮定は[[独立 (確率論)|組ごとの独立性]]（任意の ''i'' &ne; ''j'' に対し P(''E''<sub>''i''</sub> ''E''<sub>''j''</sub>)=P(''E''<sub>''i''</sub>)  P(''E''<sub>''j''</sub>) となること）に弱めることができる。ただしその場合、証明がより複雑になる。

===例===
[[無限の猿定理]]はこの補題の特別な場合である。

この補題は '''R'''<sup>''n''</sup> における被覆定理に適用できる場合がある。特に、以下の結果がある{{harv|Stein|1993|loc=Lemma X.2.1}}。''E''<sub>''j''</sub> が '''R'''<sup>''n''</sup> の[[ルベーグ可測]]な[[コンパクト空間|コンパクト]][[部分集合]]族で

:<math>\sum_j \mu(E_j) = \infty</math>

を満たすとすると、それらを[[平行移動]]した集合の族（ ''F''<sub>''j''</sub> ）

:<math>F_j = E_j + x_j </math>

であって、[[零集合]]の差を除いて、集合の等式

:<math>\lim\sup F_j = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty F_k = \mathbb{R}^n</math>

が成り立つようなものが存在する。

==証明 ==
以下の通り変形する。ここで "i.o." は "infinitely often" の略、右肩の "c" は[[事象 (確率論)|余事象]]をとることを表す。

:<math>\begin{align}
1 - \Pr(\limsup_{n \rightarrow \infty} E_n) &= 1 - \Pr\left(\{E_n\text{ i.o.}\}\right) = \Pr\left(\{E_n \text{ i.o.}\}^c \right) \\
& = \Pr\left(\left(\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right)^c \right) = \Pr\left(\bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E_n^c \right)\\
&= \Pr\left(\liminf_{n \rightarrow \infty}E_n^{c}\right)= \lim_{N \rightarrow \infty}\Pr\left(\bigcap_{n=N}^\infty E_n^c \right)
\end{align}
</math>

ここで独立性より

:<math>\begin{align}
\Pr\left(\bigcap_{n=N}^\infty E_n^c\right) 
&= \prod^{\infty}_{n=N} \Pr(E_n^c) \\
&= \prod^{\infty}_{n=N} (1-\Pr(E_n)) \\
&\leq\prod^{\infty}_{n=N} \exp(-\Pr(E_n))\\
&=\exp\left(-\sum^{\infty}_{n=N} \Pr(E_n)\right)\\
&=0
\end{align}
</math>

となって証明された。

（もしくは

:<math>
\begin{align}
 -\log\left(\Pr\left(\bigcap_{n=N}^{\infty}E_n^{c}\right)\right) 
&= -\log\left(\prod^{\infty}_{n=N} (1-\Pr(E_n))\right) \\
&= - \sum^{\infty}_{n=N}\log(1-\Pr(E_n)) \\
&\geq  \sum^{\infty}_{n=N}\Pr(E_n)
\end{align}
</math>

を考えてもよい）<ref name="math.ucdavis.edu"/>。

== 類似の結果 ==

また別の関連する結果（いわゆる '''counterpart of the Borel&ndash;Cantelli lemma'''）がある。ここで類似（counterpart）というのは、<math>(A_n)</math> に課す仮定を「独立性」から全く別のものに取り換えて、limsup が1になるための必要十分条件を与えるという意味でである。

事象列 <math>(A_n)</math> が <math>A_k \subseteq A_{k+1}</math> を満たすとし、<math>\bar A</math> で <math>A</math> の余事象を表す。

このとき、事象 <math>A_k</math> が無限に多くの回数起こる（つまり、少なくともどれかが起こる）確率が 1 であるための必要十分条件は、真に増大する正整数列 <math>( t_k)</math> であって

: <math> \sum_k \Pr( A_{t_{k+1}} \mid \bar A_{t_k}) = \infty </math>

が成り立つようなものが存在することである。

このシンプルな結果は例えば、[[確率過程]]で時刻の部分集合 <math>(t_k)</math> を選んだときの到達確率（hitting probability）を論じるのに有用である（この場合普通、<math>(t_k)</math> の選び方が本質的に重要になる）。

==関連項目==
* {{仮リンク|ドゥーブのマルチンゲール収束定理|en|Doob's martingale convergence theorems}} 
:（レヴィの0-1法則として知られる[[条件付き期待値]]の収束に関する命題がある。）
* {{仮リンク|クラトフスキ収束|en|Kuratowski convergence}}
* [[無限の猿定理]]

==脚注 ==
{{More footnotes|date=November 2009}}
{{Reflist}}

==参考文献 ==
* {{SpringerEOM|title=Borel–Cantelli lemma|last=Prokhorov|first=A.V. |urlname=Borel–Cantelli_lemma}}
* {{citation|first=William|last=Feller|authorlink=William Feller|year=1961|title=An Introduction to Probability Theory and Its Application|publisher=John Wiley & Sons}}.
* {{citation|title=Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals|first=Elias|last=Stein|authorlink=Elias M. Stein|year=1993|publisher=Princeton University Press}}.
* {{citation|first=F. Thomas|last=Bruss|authorlink=Franz Thomas Bruss|year=1980|title=A counterpart of the Borel Cantelli Lemma|journal=J. Appl. Probab.|volume=17|pages=1094&ndash;1101}}.
* Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.

==外部リンク==
* [https://web.archive.org/web/20081007200246/http://planetmath.org/encyclopedia/BorelCantelliLemma.html Planet Math Proof] 補題の簡単な証明。

{{DEFAULTSORT:ほれるかんてりのほたい}}
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