ボレル測度のソースを表示

[[数学]]の、特に[[測度論]]の分野における'''ボレル測度'''（ボレルそくど、{{Lang-en-short|Borel measure}}）とは、次のように定義される[[測度]]のことである：''X'' を[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]な[[ハウスドルフ空間]]とし、<math>\mathfrak{B}(X)</math> を ''X'' の開集合を含む最小の[[完全加法族|σ-代数]]とする。このような <math>\mathfrak{B}(X)</math> は[[ボレル集合]]のσ-代数と呼ばれる。'''ボレル測度'''とは、ボレル集合のσ-代数上で定義される任意の測度 ''μ'' のことを言う。ただし、人によっては、すべてのコンパクト集合 ''C'' に対する ''μ''(''C'')&nbsp;<&nbsp;∞ の成立を追加条件とすることもある。ボレル測度が[[内部正則測度|内部正則]]かつ{{仮リンク|外部正則測度|label=外部正則|en|outer regular measure}}であるなら、それは'''正則ボレル測度'''と呼ばれる。''μ'' が内部正則かつ[[局所有限測度|局所有限]]であるなら、それは[[ラドン測度]]と呼ばれる。局所有限なボレル測度であれば、''μ''(''C'')&nbsp;<&nbsp;∞ がすべてのコンパクト集合 ''C'' に対して自然に成り立つことに注意されたい。

== 実数直線上において ==
[[実数直線|通常の位相]]を備える実数直線 '''R''' は局所コンパクトなハウスドルフ空間であるため、その上でボレル測度を定義することが出来る。そのような場合、<math>\mathfrak{B}(\textbf{R})</math> は '''R''' の開区間を含む最小のσ-代数となる。そのようなボレル測度 μ は多く存在するが、すべての区間 <math>[a,b]</math> に対して <math>\mu([a,b])=b-a</math> であるようなボレル測度 μ は、しばしば、'''R''' 上の代表的なボレル測度（"the" Borel measure）と呼ばれる。実際には、そのような代表的なボレル測度でさえも、ボレル集合のσ-代数上定義される測度の中で最も便利なものであると言う訳ではない。実際、ボレル測度では必要とされない[[完備測度|完備性]]という重要な性質を備えた[[ルベーグ測度]] <math>\lambda</math> が、そのような代表的なボレル測度の拡張として存在している。ここで、ルベーグ測度 <math>\lambda</math> がボレル測度 <math>\mu</math> の拡張であるとは、すべてのボレル可測集合 ''E'' がルベーグ可測であり、さらにその集合上ではボレル測度とルベーグ測度が一致する（すなわち、<math>\lambda(E)=\mu(E)</math> がすべてのボレル可測集合に対して成立する）ということを意味する。

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=J. D. Pryce | title=Basic methods of functional analysis | series=Hutchinson University Library | publisher=[[:en:Hutchinson (publisher)|Hutchinson]] | year=1973 | isbn=0-09-113411-0 | page=217 }}
* {{cite book | author=Alan J. Weir | title=General integration and measure | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1974 | isbn=0-521-29715-X | pages=158–184 }}

{{DEFAULTSORT:ほれるそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]