ボンフェローニ補正のソースを表示

[[統計学]]において、'''ボンフェローニ補正'''（ボンフェローニほせい、{{lang-en-short|Bonferroni correction}}）は、[[多重比較問題]]に対抗するために使われるいくつかの手法のうちの1つである。

==背景==
本手法の名称は[[ブールの不等式|ボンフェローニの不等式]]<ref>{{cite book|author=Bonferroni, C. E.|title= Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità (Pubblicazioni del R Istituto Superiore di Scienze Economiche e Commerciali di Firenze)|year= 1936|publisher=Libreria internazionale Seeber|asin= B001A8JCMS }}</ref>を使用することにちなむ。本手法の[[信頼区間]]への拡張は{{仮リンク|オリーブ・ジーン・ダン|en|Olive Jean Dunn}}によって提唱された<ref name="Dunn1961">{{cite journal |first=Olive Jean |last=Dunn |title=Multiple Comparisons Among Means |journal=[[Journal of the American Statistical Association]] |volume=56 |issue=293 |pages=52–64 |year=1961 |url=http://sci2s.ugr.es/keel/pdf/algorithm/articulo/1961-Bonferroni_Dunn-JASA.pdf |doi=10.1080/01621459.1961.10482090 |citeseerx=10.1.1.309.1277 }}</ref>。

[[仮説検定|統計的仮説検定]]は、観察されたデータの[[帰無仮説]]の下での尤度が低ければ帰無仮説を棄却することに基づく。複数の仮説が検定されるとすると、稀な事象を観察する可能性が高まり、その結果として、帰無仮説を誤って棄却する（すなわち[[第一種過誤と第二種過誤|第一種過誤]]を犯す）可能性が高まる<ref>{{cite book |first1=Ron C. |last1=Mittelhammer |first2=George G. |last2=Judge |first3=Douglas J. |last3=Miller |title=Econometric Foundations |publisher=Cambridge University Press |year=2000 |isbn=978-0-521-62394-0 |pages=73–74 |url=https://books.google.com/books?id=fycmsfkK6RQC&pg=PA73 }}</ref>。

ボンフェローニ補正は、有意水準<math>\alpha/m</math>（<math>\alpha</math>は望ましい全体としてのα水準、<math>m</math>は仮説の数）で個々の仮説を検証することによって第一種過誤を犯す可能性の高まりを補償する<ref>{{cite book |first=Rupert G. |last=Miller |title=Simultaneous Statistical Inference |publisher=Springer |year=1966|url=https://books.google.com/books?id=4C7VBwAAQBAJ|isbn=9781461381228 }}</ref>。例えば、1回の試行が<math>m = 20</math>個の仮説を望む<math>\alpha = 0.05</math>の水準で検定しているとすると、ボンフェローニ補正は個別の仮説を<math>\alpha = 0.05/20 = 0.0025</math>の水準で検定する。同じように、複数の信頼区間を構築する時、同じ現象が表われる。

==定義==
<math>H_1,\ldots,H_m</math>を仮説の族（ファミリー）、<math>p_1,\ldots,p_m</math>をそれらの対応する[[p値]]とする。<math>m</math>を帰無仮説の総数、<math>m_0</math>を真である帰無仮説の数とする。[[ファミリーワイズエラー率]]（FWER）は少くとも1つの真である<math>H_{i}</math>を棄却する確率、すなわち少くとも1つの第一種過誤を犯す確率である。ボンフェローニ補正は<math>p_i\leq\frac \alpha m</math>で帰無仮説を棄却することで、FWERを水準<math>\leq \alpha</math>で制御する。この制御の証明は以下のように[[ブールの不等式]]から得られる。
: <math> \text{FWER} = P\left\{ \bigcup_{i=1}^{m_0}\left(p_i\leq\frac \alpha m \right) \right\} \leq\sum_{i=1}^{m_0}\left\{P\left(p_i\leq\frac \alpha m\right)\right\} = m_0 \frac \alpha m\leq m \frac \alpha m = \alpha</math>

この制御はp値間の依存性またはいくつの帰無仮説が真であるかに関していかなる仮定も必要としない<ref>{{cite journal |last1=Goeman |first1=Jelle J. |last2=Solari |first2=Aldo |title=Multiple Hypothesis Testing in Genomics |journal=Statistics in Medicine |date=2014 |volume=33 |issue=11 |pages= 1946–1978|doi=10.1002/sim.6082 |pmid=24399688 }}</ref>。

==拡張==
===一般化===
個々の検定の水準がデータを見るよりも前に決定されるという条件で、<math>\alpha/m</math>水準で個々の仮説を検証するよりむしろ、仮説は合計<math>\alpha</math>となる水準のどの組合せでも検定してもよい<ref name="pmid8014990">{{cite journal |last1=Neuwald |first1=AF |last2=Green |first2=P |title=Detecting patterns in protein sequences |journal=J. Mol. Biol. |volume=239 |issue=5 |pages=698–712 |year=1994 |pmid=8014990 |doi=10.1006/jmbi.1994.1407 }}</ref>。例えば、2つの仮説検定について、1つの検定を0.04、もう一方の検定を0.01の水準で実行することによって全体として0.05の<math>\alpha</math>を維持することができる。

===信頼区間===
ダンによって提唱された手順<ref name="Dunn1961">{{cite journal |first=Olive Jean |last=Dunn |title=Multiple Comparisons Among Means |journal=[[Journal of the American Statistical Association]] |volume=56 |issue=293 |pages=52–64 |year=1961 |url=http://sci2s.ugr.es/keel/pdf/algorithm/articulo/1961-Bonferroni_Dunn-JASA.pdf |doi=10.1080/01621459.1961.10482090 |citeseerx=10.1.1.309.1277 }}</ref>（順位ベースの分散力についてのダンの手順<ref>{{cite journal|title=Multiple Comparisons Using Rank Sums|author=Dunn, O. J.|journal=Technometrics |volume =6|year= 1964|issue =3|pages=242–252|doi=10.1080/00401706.1964.10490181}}
</ref>と混同してはならない）は[[信頼区間]]を調整するために使うことができる。<math>m</math>個の信頼区間を定め、全体の信頼水準を<math>1-\alpha</math>にしたいと望むとすると、個々の信頼区間は<math>1-\frac{\alpha}{m}</math>の水準に調整することができる<ref name=Dunn1961 />。

===連続問題===
連続パラメータ空間における信号を探索する時も、多重比較の問題（[[どこでも効果]]）が存在しうる。例えば、ある物理学者が幅広い範囲の質量を考慮することによって未知の質量の粒子を発見したいと見ているとする。これはノーベル賞を受賞した[[ヒッグス粒子]]の検出の際に当て嵌る。こういった場合、試行の有効数<math>m</math>と事前–事後体積比を関連付ける[[ベイズ統計学|ベイズ]]ロジックを利用することによって連続パラメータに対して一般化されたボンフェローニ補正を適用することができる<ref name="Bayer2020">{{cite journal |first=Adrian E. |last=Bayer | first2=Uroš| last2=Seljak | title=The look-elsewhere effect from a unified Bayesian and frequentist perspective |journal=[[Journal of Cosmology and Astroparticle Physics]] |volume=2020 |issue=10 |pages=009-009|year=2020 |arxiv = 2007.13821 | url=https://doi.org/10.1088%2F1475-7516%2F2020%2F10%2F009 |doi=10.1088/1475-7516/2020/10/009 }}</ref>。

==代替手法==
{{main|ファミリーワイズエラー率#制御手順}}
ファミリーワイズエラー率を制御するためには複数の代替手法が存在する。例えば、[[ホルム＝ボンフェローニ法]]と[[シダック補正]]はボンフェローニ補正よりも普遍的に強力な手順である。これは常に少くとも強力であることを意味する。ボンフェローニの手順とは異なり、これらの手法は族毎の第一種過誤の[[期待値|期待数]]（族毎の第一種過誤の確率）を制御しない<ref>{{cite journal|last1=Frane|first1=Andrew|title=Are per-family Type I error rates relevant in social and behavioral science?| journal=Journal of Modern Applied Statistical Methods| date=2015| volume=14| issue=1| pages=12–23|doi=10.22237/jmasm/1430453040| doi-access=free}}</ref>。

==批判==
FWER制御に関して、数多くの検定が存在する時と検定統計量が正に相関している時の両方またはどちらか一方の場合、ボンフェローニ補正は保守的であるかもしれない<ref name=Moran2003>{{cite journal |first=Matthew|last=Moran|title = Arguments for rejecting the sequential Bonferroni in ecological studies |journal=[[Oikos]] |volume=100 |issue=2 |pages=403–405 |year=2003 |doi=10.1034/j.1600-0706.2003.12010.x}}</ref>。

ボンフェローニ補正は[[偽陰性]]を生む確率を増大させる、すなわち{{仮リンク|検出力|en|Power of a test}}を低下させる犠牲を払う<ref name=Nakagawa2004>{{cite journal |first=Shinichi |last=Nakagawa |title=A farewell to Bonferroni: the problems of low statistical power and publication bias |journal=Behavioral Ecology |volume=15 |issue=6 |pages=1044–1045 |year=2004 |url=https://academic.oup.com/beheco/article/15/6/1044/206216 |doi=10.1093/beheco/arh107|doi-access=free }}</ref><ref name=Moran2003>{{cite journal |first=Matthew|last=Moran|title = Arguments for rejecting the sequential Bonferroni in ecological studies |journal=[[Oikos]] |volume=100 |issue=2 |pages=403–405 |year=2003 |doi=10.1034/j.1600-0706.2003.12010.x}}</ref>。全ての場合において仮説族をどのように定義するかについて決定的な意見の一致は存在しないが、調整された検定結果は仮説の族に含められた検定数に依存して変動するかもしれない{{citation needed|date=June 2016}}。こういった批判は一般にFWER制御に向けられ、ボンフェローニ補正の特有のものではない。

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献==
{{Refbegin|60em}}
*{{cite journal |last=Dunnett |first=C. W. |year=1955 |title=A multiple comparisons procedure for comparing several treatments with a control |journal=Journal of the American Statistical Association |volume=50 |issue=272 |pages=1096–1121 |doi=10.1080/01621459.1955.10501294 }}
*{{cite journal |last=Dunnett |first=C. W. |s2cid=64020124 |year=1964 |title=New tables for multiple comparisons with a control |journal=Biometrics |volume=20 |issue=3 |pages=482–491 |jstor=2528490 |doi=10.2307/2528490}}
*{{cite journal |last=Shaffer |first=J. P. |year=1995 |title=Multiple Hypothesis Testing |journal=[[Annual Review of Psychology]] |volume=46 |pages=561–584 |doi=10.1146/annurev.ps.46.020195.003021 |hdl=10338.dmlcz/142950 |hdl-access=free }}
*{{cite journal |last1=Strassburger |first1=K. |last2=Bretz |first2=Frank |year=2008 |title=Compatible simultaneous lower confidence bounds for the Holm procedure and other Bonferroni-based closed tests |journal=Statistics in Medicine|volume=27 |issue=24 |pages=4914–4927 |doi=10.1002/sim.3338 |pmid=18618415 }}
*{{cite journal |last=Šidák |first=Z. |year=1967 |title=Rectangular confidence regions for the means of multivariate normal distributions |journal=Journal of the American Statistical Association |volume=62 |issue=318 |pages=626–633 |doi=10.1080/01621459.1967.10482935 }}
*{{cite journal | last1 = Hochberg | first1= Yosef | year = 1988 | title = A Sharper Bonferroni Procedure for Multiple Tests of Significance | journal = [[Biometrika]] | volume = 75 | issue = 4 | pages = 800–802 | url = http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Courses/956/Resource/MultipleComparision/Hochberg88.pdf | doi=10.1093/biomet/75.4.800}}
{{Refend}}

== 関連項目 ==
* [[カルロ・エミリオ・ボンフェローニ]]

==外部リンク==
*[http://www.quantitativeskills.com/sisa/calculations/bonfer.htm Bonferroni, Sidak online calculator]
*[http://nebc.nerc.ac.uk/courses/GeneSpring/GS_Mar2006/Multiple%20testing%20corrections.pdf Multiple Testing Corrections in GeneSpring and Gene Expression data]

{{DEFAULTSORT:ほんふえろおにほせい}}
[[Category:多重比較]]
[[Category:統計的仮説検定]]
[[Category:数学に関する記事]]