ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件のソースを表示

[[Image:Sommerfeld ellipses.svg|thumb|ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件によって定まる水素原子の[[電子軌道]]。[[ボーアの原子模型]]では、1s、2p、3d、4f、5g等の円軌道しか記述できないが、ボーア＝ゾンマーフェルトの理論では、例えば、5gとエネルギーの等しい楕円軌道として、5s、5p、5d、5fが現れる。]]
'''ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件'''（ボーア＝ゾンマーフェルトのりょうしかじょうけん、{{lang-en-short|Bohr–Sommerfeld quantum condition}}）とは、[[物理学]]、特に[[量子力学]]において多自由度の周期運動に対する[[量子条件]]である{{R|tomonaga1952|yukawa1972}}。[[前期量子論]]において、1913年にデンマークの物理学者[[ニールス・ボーア]]が提唱した[[量子条件#ボーアの量子条件|ボーアの量子条件]]{{R|bohr1913}}の一般化となっている。ボーアの量子条件は1自由度の周期運動である[[円軌道]]の場合に限られていたが、ドイツの物理学者[[アルノルト・ゾンマーフェルト|アーノルド・ゾンマーフェルト]]が1916年に[[ハミルトン力学|正準形式の解析力学]]に基づく形で、多自由度の周期運動にまで拡張した{{R|sommerfeld1916}}。米国の{{仮リンク|W. ウィルソン|en|William Wilson (English academic)}}や日本の[[石原純]]も同様な結果を得ており{{R|wilosn1915|ishihara1915}}、'''ゾンマーフェルト＝ウィルソンの量子化条件'''とも呼ばれる。ボーア＝ゾンマーフェルトの理論は、[[ボーアの原子模型]]では円軌道に限られていた水素原子の[[電子軌道]]として、[[楕円軌道]]が存在することを示すともに、[[ゼーマン効果|正常ゼーマン効果]]、[[シュタルク効果]]、[[微細構造 (原子物理学)|微細構造]]に対する一定の説明を与えることを可能にした{{R|takabayahi2002|amano1973}}。

== 概要 ==
[[一般化座標系|一般化座標]]と[[一般化運動量]]の組 {{Math|(''q{{sub|k}}'', ''p{{sub|k}}'') (''k'' {{=}} 1, 2,...,''N'')}} で記述される系において、古典系での運動が変数分離が可能な多重周期運動であり、[[位相空間 (物理学)|位相空間]]での軌道が閉軌道をなすとする。このとき、対応する量子系がとりうる状態を定める次の条件を、'''ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件'''と呼ぶ{{R|tomonaga1952|yukawa1972}}。
:<math>\oint p_k\,\mathrm dq_k=n_kh \quad (n=1,2,\dots)</math>
ここで、{{mvar|h}} は[[プランク定数]]であり、積分は {{mvar|q{{sub|k}}}} の1周期にわたるものである。左辺の積分は、[[作用変数]] {{mvar|J{{sub|k}}}} に対応しており、位相空間上での閉軌道で囲まれる面積に相当する。

== 例 ==
=== 一次元調和振動子 ===
[[質量]] {{mvar|m}}、[[角周波数|角振動数]] {{mvar|&omega;}} の一次元[[調和振動子]]を考えると、[[ハミルトニアン]]は
:<math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}q^2</math>
であり、[[保存系|保存量]]であるエネルギーを {{mvar|E}} とする状態では、位相空間上の軌道は、楕円軌道
:<math>\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}q^2=E</math>
となる。このとき、作用変数 {{mvar|J}} は楕円の面積に相当し、
:<math>J=\oint p\,\mathrm dq=2\int_{-\sqrt{2E/\omega}}^{+\sqrt{2E/\omega}}\sqrt{2m\left(E-\frac{m\omega^2}{2}q^2\right)}\,\mathrm dq=\frac{2\pi}{\omega}E</math>
と求まる。従って、量子化条件 {{math|''J'' {{=}} ''nh'' (''n'' {{=}} 1, 2, &#x22EF;)}} から、量子化されたエネルギー
:<math>E=\frac{h\omega}{2\pi}n=\hbar\omega n \quad (n=1,2,\dots)</math>
が得られる<ref group="注">正しくは[[零点エネルギー]]の補正が必要である。</ref>。ここで、{{Mvar|&#x127;}} は[[ディラック定数]]である。

=== 水素原子 ===
[[クーロンの法則|クーロンポテンシャル]]の下、質量 {{math|''m''{{sub|e}}}} の[[電子]]が[[原子核]]を中心に3次元運動する水素原子を考える。[[極座標系|極座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} をとれば、水素原子のハミルトニアンは
:<math>H=\frac{1}{m_\mathrm e}\left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}+\frac{p_\phi^2}{r^2\sin^2\theta}\right)-\frac{e^2}{r^2}</math>
で与えられる{{refnest|group="注"|参考文献とした朝永（1952年）{{R|tomonaga1952}}、湯川、井上、豊田（1972年）{{R|yukawa1972}}に合わせ、[[CGS単位系]]での表記とした。[[国際単位系]]にするならば、{{math|''e''{{sup|2}}}} の項を全て {{math|{{sfrac|''e''{{sup|2}}|4''&pi;&epsilon;''{{sub|o}}}}}} とすればよい。}}。

ここで、系の保存量として、{{Mvar|z}} 軸方向の[[角運動量]] {{mvar|M{{sub|z}}}}、角運動量の2乗 {{math|''M''{{sup|2}}}}、エネルギー {{mvar|E}} が存在し
:<math>\begin{align}
M_z &= p_\phi\\
M^2 &= p_\theta^2+\frac{p_\phi^2}{\sin^2\theta}\\
E &= \frac{1}{m_\mathrm e}\left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}+\frac{p_\phi^2}{r^2\sin^2\theta}\right)-\frac{e^2}{r^2}
\end{align}</math>
であることを用いると
:<math>\begin{align}
\oint p_\phi\,\mathrm d\phi &= 2\pi p_\phi=2\pi M_z\\
\oint p_\theta\,\mathrm d\theta &= 2\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{M^2-\frac{M_z^2}{\sin^2{\theta}}}\,\mathrm d\theta=2\pi(M-|M_z|)\\
\oint p_r\,\mathrm dr &= 2\int_{r_1}^{r_2}\sqrt{2m_\mathrm eE+\frac{2m_\mathrm ee^2}{r}-\frac{M^2}{r^2}}\,\mathrm dr=-2\pi M+\pi e^2\sqrt{\frac{2m_\mathrm e}{-E}}
\end{align}</math>
となる<ref group="注">{{math|''&theta;''{{sub|1}}, ''&theta;''{{sub|2}}, ''r''{{sub|1}}, ''r''{{sub|2}}}} は被積分関数の零点である。</ref>。量子化条件によって、これらがそれぞれ、{{mvar|n{{sub|&phi;}}, n{{sub|&theta;}}, n{{sub|r}}}} に等しいとすれば
:<math>\begin{align}
M_z &= n_\phi\hbar=m\hbar\\
M &=(n_\theta+n_\phi)\hbar=k\hbar\\
E &= -\frac{m_\mathrm ee^4}{2\hbar^2(n_r+n_\theta+n_\phi)^2}=-\frac{2\pi^2m_\mathrm ee^4}{n^2h^2}
\end{align}</math>
が得られる。ここで導入された {{math|''m'' {{=}} ''n{{sub|&phi;}}''}} は[[軌道角運動量|磁気量子数]]、{{math|''k'' {{=}} ''n{{sub|&theta;}}'' + ''n{{sub|&phi;}}''}} は方位量子数、{{math|''n'' {{=}} ''n{{sub|r}}'' + ''n{{sub|&theta;}}'' + ''n{{sub|&phi;}}''}} は[[主量子数]]と呼ばれる。

古典軌道との対応関係で直観的な描像を得ようとするならば、定常状態の軌道は長半径 {{math|''a'' {{=}} {{Sfrac|''r''{{sub|1}} + ''r''{{sub|2}}|2}}}}、短半径 {{math|''b'' {{=}} {{Sqrt|''r''{{sub|1}} + ''r''{{sub|2}}}}}} を
:<math>\begin{align}
a &= \frac{\hbar^2}{m_\mathrm ee^2}n^2=a_\mathrm Bn^2\\
b &= \frac{\hbar^2}{m_\mathrm ee^2}nk=a_\mathrm Bnk
\end{align}</math>
とする楕円軌道となる。但し、{{math|''a''{{sub|B}}}} は[[ボーア半径]]である。

== 理論の歴史 ==
1916年に[[ミュンヘン大学]]の物理教授であったゾンマーフェルトは、[[正準変数]]を用いる解析力学の形式を適用することで、ボーアの量子条件を、より洗練された形で定式化するとともに、多自由度の周期運動にまで拡張することで、本来、3次元の運動である電子の軌道を正確に扱えるようにした{{R|sommerfeld1916}}。ほぼ同時期に日本の[[石原純]]や米国のウィリアム・ウィルソンも同じ定式化を導いた{{R|wilosn1915|ishihara1915}}。

ゾンマーフェルトは、この理論を再び水素原子の問題に適用することで、ボーアの原子模型では、一つの量子数で記述されていた円軌道に加えて、主量子数、方位量子数、磁気量子数で指定されるいくつかの軌道が存在することを示した。特に磁気量子数で説明される[[方向量子化]]の概念により、外部[[磁場]]を印加したときに、エネルギー準位が分裂する[[ゼーマン効果|正常ゼーマン効果]]を説明することが可能となった。

また、ゾンマーフェルトは、この理論に電子の質量に対する[[相対性理論|相対論的]]な補正を加えることで、1s軌道の電子の速度と真空中の[[光速|光速度]]の比から、[[スペクトル線]]に現れる[[微細構造 (原子物理学)|微細構造]]の説明を与えた。

1916年に{{仮リンク|ポール・エプシュタイン|en|Paul Sophus Epstein}}と[[カール・シュヴァルツシルト]]は独立に、ボーア＝ゾンマーフェルトの理論の[[ハミルトン–ヤコビ方程式]]による定式化を行うともに、理論が適用できるのは、系が分離可能である場合に限られることを示した<ref>{{Harvtxt|Epstein|1916a}}</ref><ref>{{Harvtxt|Schwarzschild|1916}}</ref>。また、エプシュタインとシュヴァルツシルトは、自分たちの理論を用いて、外部[[電場]]を印加した時の[[シュタルク効果]]を説明することに成功した<ref>{{Harvtxt|Epstein|1916b}}</ref>。

前期量子論のボーア＝ゾンマーフェルトの理論は、こうした多くの成功をおさめたが、一方で[[ヘリウム]]原子のような少しでも複雑な原子のエネルギー準位を説明できない、[[スピン角運動量|スピン]]が寄与する[[ゼーマン効果|異常ゼーマン効果]]を説明できない等の限界があった。こうした問題が解決するまでには、より本格的な量子論が形成されるまで待たなくてはならなかった{{R|takabayahi2002|amano1973}}。

== WKB近似との関係 ==
[[シュレーディンガー方程式]]の[[半古典論]]的な近似解法である[[WKB近似]]では、エネルギー {{mvar|E}} とポテンシャル {{math|''V''(''x'')}} が等しく、運動量 {{mvar|p}} をゼロとする転換点で、{{math|''E'' &minus; ''V''(''x'') &gt; 0}} の領域での解と {{math|''E'' &minus; ''V''(''x'') &lt; 0}} の領域での解の接続を行う。この接続条件から、ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件が導かれる。こうした半古典論との対応関係は、1926年にオランダの物理学者[[ヘンリク・アンソニー・クラマース]]によって、与えられた{{R|kramers1926}}。

== アインシュタインによる拡張 ==
{{main|アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー量子化条件}}
ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件が適用できるのは、各自由度の組 {{Math|(''q{{sub|k}}'', ''p{{sub|k}}'')}} について独立な運動に分解できる場合 、すなわち変数について分離可能である場合に限られている。1917年に[[アルベルト・アインシュタイン]]は、量子化においては分離可能であることは本質的ではなく、むしろ[[正準変換]]に対し不変な {{math|&Sigma;''p{{sub|k}}'' d''q{{sub|k}}''}} を通じた量子化が意味をもつと考えた{{R|einstein1917}}。そこで、アインシュタインは、多重周期系の閉軌道、すなわち[[トーラス]]上の軌道に対する量子化条件として
:<math>\oint_{\gamma_k}\sum_{k=1}^Np_k\,\mathrm dq_k=nh \quad (n=1,2,\dots)</math>
を考案した。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2|refs=
<ref name="bohr1913">{{Harvtxt|Bohr|1913a}}</ref>
<ref name="sommerfeld1916">{{Harvtxt|Sommerfeld|1916}}</ref>
<ref name="wilosn1915">{{Harvtxt|Wilson|1915}}</ref>
<ref name="ishihara1915">{{Harvtxt|Ishihara|1915}}</ref>
<ref name="einstein1917">{{Harvtxt|Einstein|1917}}</ref>
<ref name="kramers1926">{{Harvtxt|Kramers|1926}}</ref>
<ref name="tomonaga1952">{{Harvtxt|朝永|1952}}, 18-21章</ref>
<ref name="yukawa1972">{{Harvtxt|湯川|井上|豊田|1972}}, 1章</ref>
<ref name="amano1973">{{Harvtxt|天野|1973}}, 7-8章</ref>
<ref name="takabayahi2002">{{Harvtxt|高林|2002}}, 4章</ref>
}}

== 参考文献 ==
=== 原論文 ===
* {{Cite journal|first=N.|last=Bohr|url=http://www.chemteam.info/Chem-History/Bohr/Bohr-1913a.html|title=On the Constitution of Atoms and Molecules|journal={{enlink|Philosophical Magazine|Phil. Mag.|p=off|s=off}}|series=Series 6|volume=26|issue=151|pages=1-25|date=April 5, 1913|issn=1478-6435|lccn=2003249007|oclc=476300855|doi=10.1080/14786441308634955|trans-title=原子および分子の構造について|ref={{SfnRef|Bohr|1913a}}}}
* {{Cite journal|first=N.|last=Bohr|url=http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf|title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II, Systems Containing Only a Single Nucleus|format=[[Portable Document Format|PDF]]|journal={{enlink|Philosophical Magazine|Phil. Mag.|p=off|s=off}}|series=Series 6|volume=26|pages=476-502|year=1913|month=July|issn=1478-6435|lccn=2003249007|oclc=476300855|ref={{SfnRef|Bohr|1913b}}}}
* {{Cite journal|first=N.|last=Bohr|title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part III, Systems containing several nuclei|journal={{enlink|Philosophical Magazine|Phil. Mag.|p=off|s=off}}|series=Series 6|volume=26|pages=857-875|year=1913|month=November|issn=1478-6435|lccn=2003249007|oclc=476300855|ref={{SfnRef|Bohr|1913c}}}}
* {{Cite journal|first=W.|last=Wilson|title=The Quantum Theory of Radiation and Line Spectra|journal=Phil. Mag.|series=Series 6|volume=29|issue=174|pages=795-802|date=1915|doi=10.1080/14786440608635362|ref=harv}}
* {{Cite journal|first=J.|last=Ishihara|title=Die universelle Bedeutung dse Wirkungsquantums|journal=Tokyo Sugaku Buturigakkai Kizi|series=Ser. 2|volume=8|pages=106–116|date=1915|id={{JOI|JST.Journalarchive/ptmps1907/8.106}}|ref=harv}}
* {{Cite journal|first=P. S.|last=Epstein|title=Zur Theorie des Starkeffektes|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|volume=355|issue=13|pages=489-520|date=1916|issn=0003-3804|lccn=50013519|oclc=5854993|bibcode=1916AnP...355..489E|doi=10.1002/andp.19163551302|ref={{Sfnref|Epstein|1916a}}}}
* {{Cite journal|first=P. S.|last=Epstein|title=Zur Quantentheorie|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|volume=356|issue=18|pages=168-188|date=1916|issn=0003-3804|lccn=50013519|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19163561803|ref={{Sfnref|Epstein|1916b}}}}
* {{Cite journal|first=A.|last=Sommerfeld|title=Zur Quantentheorie der Spektrallinien|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|volume=356|issue=17|pages=1-94|date=1916|issn=0003-3804|lccn=50013519|oclc=5854993|bibcode=1916AnP...356....1S|doi=10.1002/andp.19163561702|ref=harv}}
* {{Cite journal|first=K.|last=Schwarzschild|title=Zur Quantenhypothese|journal=Berliner Berchte|volume=16|pages=548-568|date=1916|ref=harv}}
* {{Cite journal|first=A.|last=Einstein|url=http://astro1.panet.utoledo.edu/~ljc/EinstEBK.pdf|title=On the quantization condition of Sommerfeld and Epstein|format=[[Portable Document Format|PDF]]|journal=Verhandl. Deut. Phys. Ges.|volume=19|pages=82-92|date=1917 May 30|ref=harv}}（{{Cite book|author=A. Einstein|title=The Collected Papers of Albert Einstein|volume=6|publisher=Priceton Univestity Press|date=8 July 1996|isbn=9780691010861|id=に収録}}）
* {{Cite journal|first=H.A.|last=Kramers|title=Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung|journal=[[ツァイトシュリフト・フュア・フィジーク|Z. Phys.]]|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer Verlag]]|volume=39|issue=10-11|pages=828-840|year=1926|month=October|oclc=884174965|issn=0044-3328|doi=10.1007/BF01451751|ref=harv}}

=== 書籍 ===
* {{Cite book|和書|last=朝永|first=振一郎|authorlink=朝永振一郎|title=量子力学I|publisher=[[みすず書房]]|date=1952|id={{全国書誌番号|69016810}}|isbn=978-4622025511|ncid=BN06951689|oclc=834763023|asin=4622025515|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=湯川|first=秀樹|last2=井上|first2=健|last3=豊田|first3=利之|authorlink=湯川秀樹|authorlink2=井上健 (比較文学者)|title=量子力学I|series=岩波講座現代物理学の基礎3|publisher=[[岩波書店]]|date=1972|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=高林|first=武彦|others=[[吉田武 (サイエンスライター)|吉田武]](監修)|title=量子論の発展史|publisher=[[筑摩書房]]|series=[[ちくま学芸文庫]]|date=2002-05|id={{全国書誌番号|20286959}}|asin=448008696X|oclc=675484450|ncid=BA56725395|isbn=4-480-08696-X|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=天野|first=清|title=量子力学史|series=自然選書|publisher=[[中央公論新社]]|date=1973-10|id={{全国書誌番号|69011969}}|asin=4120004686|ncid=BN0130005X|isbn=978-4120004681|ref=harv}}

== 関連項目 ==
*[[前期量子論]]
**[[量子条件#ボーアの量子条件|ボーアの量子条件]]

{{Atomic models}}
{{DEFAULTSORT:ほおあそんまあふえるとのりようしかしようけん}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:ニールス・ボーア]]
[[Category:アルノルト・ゾンマーフェルト]]
[[Category:物理学のエポニム]]