ポアソンランダム測度のソースを表示

'''ポアソンランダム測度'''（ポアソンランダムそくど、{{lang-en-short|Poisson random measure}}）とは、[[ポアソン分布]]に従う[[確率変数]]としての性質を持つ[[測度]]のことである。

<math>(E, \mathcal A, \mu)</math> を <math>\sigma</math>-{{仮リンク|σ-有限測度|label=有限な測度|en|sigma-finite measure}} <math>\mu</math> を持つ[[測度空間]]とする。intensity [[測度]] <math>\mu</math> を持つ'''ポアソンランダム測度'''とはある[[確率空間]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathrm{P})</math> 上で定義される[[確率変数]]の族 <math>\{N_A\}_{A\in\mathcal{A}}</math> で以下を満たすもののことを言う。

# すべての <math>A\in\mathcal{A}</math> について <math>N_A</math> はパラメータ <math>\mu(A)</math> の[[ポアソン分布]]に従う確率変数である。
# 集合 <math>A_1,A_2,\ldots,A_n\in\mathcal{A}</math> が互いに交わらないのであれば、1.で定義される、対応する[[確率変数]]は互いに[[確率論的独立性|独立]]である。
# すべての <math>\omega\in\Omega</math> について <math>N_{\bullet}(\omega)</math> は <math>(E, \mathcal {A})</math> 上の測度である。

== 存在 ==
もし <math>\mu\equiv 0</math> ならば、<math>N\equiv 0</math> とすれば1.-3.のすべての条件を満たす。そうでない場合、<math>\mu</math> が{{仮リンク|有限測度|en|finite measure}}であるならば、パラメータ <math>\mu(E)</math> の[[ポアソン分布]]に従う確率変数 <math>Z</math> と、[[確率分布]] <math>\frac{\mu}{\mu(E)}</math> に従う[[確率論的独立性|独立]]な[[確率変数]] <math>X_{1}, X_{2},\ldots</math> を所与として

:<math>N_{\cdot}(\omega) = \sum\limits_{i=1}^{Z(\omega)} \delta_{X_i(\omega)}(\cdot)</math>

とすれば、<math>N</math> はポアソンランダム測度となる。ここで <math>\delta_{c}(A)</math> は <math>c</math> に位置する[[退化分布]]である。有限測度でない場合は、<math>\mu</math> が有限であるような <math>E</math> の部分から構成された測度によって <math>N</math> を得ることができる。

== 応用 ==
この種類の{{仮リンク|ランダム測度|en|random measure}}は[[確率過程]]のジャンプを記述する時にしばしば用いられる。特に{{仮リンク|レヴィ過程|en|Lévy process}}の{{仮リンク|レヴィ-伊藤分解|en|Lévy–Itō decomposition}}などである。

== 参考文献 ==
*{{cite book |last=Sato |first=K. |year=2010 |title=Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-55302-4 }}

{{デフォルトソート:ほあそんらんたむそくと}}
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