ポアソン二項分布のソースを表示

{{混同|ポアソン分布|二項分布}}
{{確率分布
|名前 = ポアソン二項分布
|型 = 質量
|画像/確率関数 =
|画像/分布関数 =
|母数 = <math>\mathbf{p} \in [0,1]^n</math> &minus; {{mvar|n}} 回試行のそれぞれに対する成功確率
|台 = <math>\{0,\cdots, n \}</math>
|確率関数 = <math>\sum_{A\in F_k} \prod_{i\in A} p_i \prod_{j\in A^c} (1-p_j )</math>
|分布関数 = <math>\sum_{l=0}^k \sum_{A \in F_l} \prod_{i\in A} p_i \prod_{j\in A^c}{(1-p_j)}</math>
|期待値 = <math>\sum_{i=1}^n p_i</math>  
|中央値 =
|最頻値 =
|分散 = <math>\sigma^2 =\sum_{i=1}^n (1-p_i ){p_i}</math>
|歪度 = <math>\frac{1}{\sigma^3} \sum_{i=1}^n \left( 1-2p_i \right) \left( 1-p_i \right) p_i</math>
|尖度 = <math>\frac{1}{\sigma^4} \sum_{i=1}^n \left( 1-6(1-p_i ){p_i} \right) \left( 1-p_i \right) p_i</math>
|エントロピー =
|モーメント母関数 = <math>\prod_{i=1}^n (1-p_i +p_i e^t )</math>
|特性関数 = <math>\prod_{i=1}^n (1-p_i +p_i e^{it} )</math>
}}
'''ポアソン二項分布'''（ポアソンにこうぶんぷ、{{lang-en-short|Poisson binomial distribution}}）とは、[[統計学]]および[[確率論]]における[[確率論的独立性|独立]]な[[ベルヌーイ試行]]の和として定義される[[離散確率分布]]である。

別の言い方をすれば、これは成功確率がそれぞれ {{math2|''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2
}}, …, ''p{{sub|n}}''}} でありそれぞれ独立な {{mvar|n}} 回の試行を行ったときの成功回数の[[離散確率分布]]である。

特に、成功確率が全て等しい ({{math|''p''{{sub|1}} {{=}} ''p''{{sub|2}} {{=}} … {{=}} ''p{{sub|n}}''}}) ときは、ポアソン二項分布は普通の[[二項分布]]になる。すなわち二項分布はポアソン二項分布の特別な場合である。

== 確率質量関数 ==
{{mvar|n}} 個の[[確率変数]] {{mvar|X{{sub|i}}}} ({{math2|''i'' ∈ {1, 2, …, ''n''{{)}}}}) は、それぞれ独立で成功確率がそれぞれ {{math|''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2}}, …, ''p{{sub|n}}''}} である[[ベルヌーイ試行]]とする。すなわち、
:<math>X_i \in \{1, 0 \} ,\qquad P(X_i=1)=p_i , \qquad \Pr ( X_i =0)=1-p_i</math>
とする。確率変数 <math>X=\sum_{i=1}^n X_i</math> は、このような {{mvar|n}} 回の試行のうちで成功した回数を表す確率変数である。{{mvar|k}} 回成功する確率は次のような和で表現される<ref name="Wang1993" />。
:<math>\Pr (X=k)=\sum_{A\in F_k} \prod_{i\in A} p_i \prod_{j\in A^c} (1- p_j )</math>
ただし、{{mvar|F{{sub|k}}}} は {{math|{1, 2, …, ''n''{{)}}}} から選べる全ての {{mvar|k}}要素部分集合の族である。例えば {{math2|''n'' {{=}} 3}} なら、{{math2|''F''{{sub|2}} {{=}} {{1, 2{{)}}, {1, 3{{)}}, {2, 3}}}} である。また {{mvar|A{{sup|c}}}} は {{mvar|A}} の補集合。すなわち <math>A^c =\{1,2,3,\dots,n\}\backslash A</math> である。

これが、定義から直接導かれるポアソン二項分布の確率質量関数である。{{mvar|F{{sub|k}}}} は <math>\frac{n!}{(n-k)!k!}</math> 要素を含み、この数は {{mvar|n}} とともに急速に増大するため、試行回数 {{mvar|n}} が小さい場合以外は実際にこの和を計算することは困難である。（例えば {{math|''n'' {{=}} 30}} のとき {{math|''F''{{sub|15}}}} は {{math|10{{sup|20}}}} もの要素を含む）。
幸いにも、<math>\Pr (X=k)</math> を計算する非常に効果的な方法がある。1回も成功しない確率が分かれば、{{mvar|n}} 回成功の確率は次のようにして再帰的に計算できる<ref name="Chen1994" />。
:<math>\Pr (X=k)=\left\{ \begin{align}
  & \prod_{i=1}^n (1- p_i ), \qquad k=0 \\ 
 & \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} \Pr (X=k-i)T(i), \qquad k>0 \\ 
\end{align} \right.</math>
ただし、<math>T(i)=\sum_{j=1}^n \left( \frac{p_j}{1-p_j} \right)^i</math>。

他にも[[離散フーリエ変換]]を使う次のような計算も可能である<ref name="Fernandez2010" />。
:<math>\Pr (X=k)=\frac{1}{n+1} \sum_{l=0}^n C^{lk} \prod_{m=1}^n \left( 1+(C^l -1){p_m} \right)</math>
ただし、<math>C=\exp \left( -\frac{2i\pi}{n+1} \right)</math>である。

さらに他の方法も提案されている<ref name="Chen1997" />。


== 平均と分散 ==
ポアソン二項分布は独立なベルヌーイ分布に従う {{mvar|n}}個の確率変数の和だから、その平均と分散は各ベルヌーイ分布における平均および分散の和となる。
: <math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i</math>
: <math>\sigma^2 =\sum_{i=1}^n (1-p_i) p_i</math>

== レ・カムの定理 ==
次の定理が[[ルーシェン・レ・カム]] ({{Sname||Lucien le Cam}}) によって示された<ref name="LeCam1960" /><ref name="LeCam1963" />。

次のように仮定する。
* {{math2|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}} はそれぞれ[[ベルヌーイ分布]]に従う独立な確率変数とする。（すなわち {{math|0}} か {{math|1}} の値をとる）ただしそれぞれが同一の分布である必要はない。（発生確率がそれぞれ異なっていてもよい） 各 {{math2|''i'' {{=}} 1, 2, 3, …}} に対して、<math>\Pr (X_i =1)=p_i</math> とする。
* <math>\lambda_n =p_1 +\cdots +p_n.</math>
* <math>S_n =X_1 +\cdots + X_n.</math>（すなわち {{mvar|S{{sub|n}}}} はポアソン二項分布に従う。）
このとき、
:<math>\sum_{k=0}^\infty \left| \Pr(S_n =k) - {\lambda_n^k e^{-\lambda_n} \over k!} \right| < 2 \sum_{i=1}^n {p_i}^2.</math>
換言すれば、この和は[[ポアソン分布]]で近似できる。

各分布がすべて同じ値 <math>p_i =\frac{\lambda_n}{n}</math> とすれば、右辺は <math>2\frac{{\lambda_n}^2}{n}</math> となる。すなわち、この定理は、二項分布の極限が[[ポアソン分布]]になるという[[ポアソンの極限定理]]の一般化である。

== 関連項目 ==
*[[二項分布]]
*[[ポアソン分布]]

== 出典 ==
{{Reflist|refs=
<ref name="Wang1993">{{Citation |last=Wang |first=Y. H. |year=1993 |title=On the number of successes in independent trials |journal=Statistica Sinica |volume=3 |issue=2 |pages=295-312 |url=http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A3n23.pdf |format=PDF |accessdate=2010-02-20}}</ref>
<ref name="Chen1994">{{Citation |last=Chen |first=X. H |year=1994 |coauthors=A. P Dempster, J. S Liu |title=Weighted finite population sampling to maximize entropy |journal=Biometrika |volume=81 |issue=3 |pages=457-469 |url=http://www.people.fas.harvard.edu/~junliu/TechRept/94folder/cdl94.pdf |format=PDF |accessdate=2010-02-20}}</ref>
<ref name="Fernandez2010">{{Citation |last=Fernandez |first=M. |coauthors=S. Williams |year=2010 |title=Closed-Form Expression for the Poisson-Binomial Probability Density Function |journal=IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems |volume=46 |pages=803-817 |doi=10.1109/TAES.2010.5461658}}</ref>
<ref name="Chen1997">{{Citation |last=Chen |first=S. X |coauthors=J. S Liu |year=1997 |title=Statistical Applications of the Poisson-Binomial and conditional Bernoulli distributions |journal=Statistica Sinica |volume=7 |pages=875-892 |url=http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/password.asp?vol=7&num=4&art=4 |accessdate=2010-02-20}}</ref>
<ref name="LeCam1960">{{Citation |last=Le Cam |first=L. |year=1960 |title=An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution |journal=Pacific Journal of Mathematics |volume=10 |issue=4 |pages=1181-1197 |url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038058 |format=PDF |accessdate= 2010-02-20 |id={{MR|0142174}}. {{Zbl|0118.33601}} }}</ref>
<ref name="LeCam1963">{{Citation |last=Le Cam |first=L. |year=1963 | title=On the Distribution of Sums of Independent Random Variables |booktitle=Bernoulli, Bayes, Laplace: Proceedings of an International Research Seminar |editor1=[[Jerzy Neyman]] |editor2=Lucien le Cam |publisher=Springer-Verlag |location=New York |pages=179-202|id={{MR|0199871}} }}</ref>}}

== 参考文献 ==
*{{Citation |last1=Steele |first1=J. Michael |year=1994 |title=Le Cam's Inequality and Poisson Approximations |journal=The American Mathematical Monthly |volume=101 |issue=1 |pages=48-54 |doi=10.2307/2325124 |url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Papers/PDF/LIaPA.pdf |format=PDF |accessdate=2010-02-20}}

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:ほあそんにこうふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]