ポアソン和公式のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年2月6日 (金) 00:44 (UTC)}}
[[数学]]において'''ポアソン和公式'''（ポアソンわこうしき、{{lang-en|Poisson summation formula}}）とは、ある関数列の無限和とその関数列を[[フーリエ変換]]したものの無限和が等しいことを主張する公式である。[[シメオン・ドニ・ポアソン]](Siméon Denis Poisson)によって発見された。

== 証明 ==
以下の式変形によって示される。

:<math>\begin{align} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}(k) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-i2\pi kx} dx \bigg) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \underbrace{\Bigg( \sum_{k=-\infty}^\infty e^{-i2\pi kx} \Bigg)}_{\sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n)}dx \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigg( \int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta (x-n) dx \bigg) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \end{align}</math>

ここで、
* <math>\hat{f}(k)</math> は <math>f(x)</math> のフーリエ変換
* <math>\delta(x)</math> は[[デルタ関数]]
である。

== 応用 ==
[[テータ関数]]、[[リーマンゼータ関数]]に関連した証明に応用される。

== 一般化 ==
[[セルバーグ跡公式]]は本質的に一般化となっている。

== 関連項目 ==
*[[フーリエ変換]]
*[[テータ関数]]
*[[リーマンゼータ関数]]
*[[シメオン・ドニ・ポアソン]]


{{デフォルトソート:ほあそんわこうしき}}
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