ポアンカレの補題のソースを表示

[[数学]]において、'''ポアンカレの補題'''（ぽあんかれのほだい、{{lang-en-short|Poincaré lemma}}）とは[[代数的位相幾何学|代数的位相幾何]]における定理の一つ。[[ユークリッド空間]]において、閉形式である[[微分形式]]が完全形式となることを主張する。[[ベクトル解析]]における[[ポテンシャル]]の存在条件を一般化したものとみなされる。

==概要==
===導入===
[[多様体]]上の {{mvar|k}} 次の[[微分形式]] {{mvar|&omega;}} について、その[[微分形式#外微分|外微分]] {{math|d''&omega;''}} が、
:<math>
\mathrm{d}\omega=0 \,
</math>
となる {{mvar|&omega;}} を'''閉形式''' {{en|(closed form)}} という。あるいは同じことだが、{{math|d}} の[[核 (代数学)|核]]の[[元 (数学)|元]]を閉形式という。
また、{{mvar|k}} 次微分形式 {{mvar|&omega;}} に対し、
:<math>
\omega=\mathrm{d}\eta \,
</math>
を満たす {{math|''k'' &minus; 1}} 次微分形式 {{mvar|&eta;}} が存在する場合、{{mvar|&omega;}} は'''完全形式''' {{en|(exact form)}} であるという。あるいは同じことだが、{{math|d}} の[[像 (数学)|像]]の元を完全形式という。また、{{mvar|&eta;}} はしばしば[[ポテンシャル]]と呼ばれる。

外微分の性質
:<math>
\mathrm{d} \circ \mathrm{d}=0 \,
</math>
より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。

ポアンカレの補題は次のことを主張する：

:『[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}（より一般的には[[可縮]]な[[多様体]] {{mvar|M}}）において、任意の閉形式は完全形式である』

===定理の主張===
{{math|''k'' > 0}} とし、{{mvar|k}} 次微分形式 {{math|''&omega;'' &isin; ''A''<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)}} が
:<math>
\mathrm{d}\omega=0 \,
</math>
を満たすとする。
このとき、{{math|''k'' &minus; 1}} 次微分形式 {{math|''&eta;'' &isin; ''A''<sup>''k''&minus;1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)}} が存在して、
:<math>
\omega=\mathrm{d}\eta \,

</math>
が成り立つ。

===ド・ラーム・コホモロジーによる表現===
[[ド・ラーム・コホモロジー]]の概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。
:<math>
H^k(\mathbb{R}^n) = 
\left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\
 0 & (k>0)
\end{matrix}\right.
</math>
但し、多様体 {{mvar|M}} に対し、{{math|''H''<sup>''k''</sup>(''M'')}} は[[商ベクトル空間]]
:<math>
H^k(M) =Z^k(M)/B^k(M) \, 
</math>
で定義される {{mvar|k}} 次のド・ラーム・コホモロジー群であり、{{math|''Z''<sup>''k''</sup>(''M'')}} は
:<math>
Z^k(M)=\mathrm{ker}\, \mathrm{d} \cap A^k(M) \,

</math>
で定義される閉形式の {{mvar|k}} 次微分形式全体、{{math|''B''<sup>''k''</sup>(''M'')}} は
:<math>
B^k(M)=\mathrm{im}\,\mathrm{d} \cap A^k(M) \,

</math>
で定義される完全形式の {{mvar|k}} 次微分形式全体である。

{{math|1=''k'' = 0}} の場合は、単に {{math|d''f''(''x'') &equiv; 0}} ならば {{mvar|f}} が定数関数となることを述べており、{{math|''k'' > 0}} の場合が前述したポアンカレの補題と等価な表現となる。すなわち、閉形式（{{math|''Z'' <sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)}} の元）が完全形式（{{math|''B'' <sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)}} の元）になることを表している。

===拡張===
より一般に、[[可縮]]な多様体 {{mvar|M}} について次が成り立つ。
:<math>
H^k(M) = 0 \quad (k > 0).
</math>

===具体例===
例えば {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} 上で定義される1次微分形式
:<math>
\omega_1=xy^2 \mathrm{d}x + x^2y \mathrm{d}y \,

</math>
は、[[外微分]]を考えると
:<math>
\mathrm{d}\omega_1=2xy\,\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x + 2xy\,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y=0

</math>
となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、{{math|'''R'''<sup>2</sup>}} 上の0次微分形式
:<math>
\eta_1=\frac{1}{2}x^2y^2 \,
</math>
について、
:<math>
d\eta_1=xy^2 dx + x^2y \,dy =\omega_1 \,
</math>
が成り立つから、{{math|''&omega;''<sub>1</sub>}} は完全形式である。

一方、{{math|'''R'''<sup>2</sup>}} から原点を除いた領域 {{math|'''R'''<sup>2</sup>{{setminus}}(0, 0)}} で定義される1次微分形式
:<math>
\omega_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2 } \,\mathrm{d}y

</math>
は、外微分を考えると
:<math>
d\omega_2=0 \,
</math>
が成り立つから、{{math|''&omega;''<sub>2</sub>}} は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、{{math|''&omega;''<sub>2</sub>}} が完全形式であることは保証されない。{{math|'''R'''<sup>2</sup>}} から {{mvar|x}} 軸を除いた領域 {{math|'''R'''<sup>2</sup>{{setminus}}{{mset|1=''x'' = 0}}}} で定義される0次微分形式
:<math>
\eta_2=\arctan{\frac{y}{x}}
</math>
について、
:<math>
\mathrm{d}\eta_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2 } \,\mathrm{d}y

</math>
であり、局所的には {{math|''&omega;''<sub>2</sub>}} と一致するが、{{math|''&eta;''<sub>2</sub>}} は {{math|'''R'''<sup>2</sup>{{setminus}}(0, 0)}} では定義されない。

==ベクトル解析との関係==
[[ベクトル解析]]における、[[スカラーポテンシャル]]や[[ベクトルポテンシャル]]の存在条件は、ポアンカレの補題の特別な場合に相当する。

===スカラーポテンシャルの存在===
{{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 全体で定義された3次元の[[ベクトル場]] {{math|'''F'''}} において、その[[回転 (ベクトル解析)|回転]] {{math|rot}} が
:<math>
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}

</math>
を満たすならば、
:<math>
\mathbf{F} = \operatorname{grad} \psi

</math>
の関係を満たす {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 上のスカラーポテンシャル {{mvar|&psi;}} が存在する。
この場合、{{math|1='''F''' = (''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>, ''F''<sub>3</sub>)}} は1次微分形式
:<math>
\omega = F_1 \mathrm{d}x +  F_2 \mathrm{d}y + F_3 \mathrm{d}z \,

</math>
に対応し、{{mvar|&psi;}} は0次微分形式 {{mvar|&eta;}} に対応している。また、回転 {{math|rot}} の作用は、1次微分形式に対する[[外微分]]に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、{{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 全体以外にも、[[単連結]]な領域をとることができる。

===ベクトルポテンシャルの存在===
同様に、{{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 全体で定義された3次元の[[ベクトル場]] {{math|'''G'''}} において、その[[発散 (ベクトル解析)|発散]] {{math|div}} が
:<math>
\operatorname{div}\mathbf{G}=0
</math>
を満たすならば、
:<math>
\mathbf{G}= \operatorname{rot} \mathbf{A}
</math>
の関係を満たす {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 上のベクトルポテンシャル {{math|'''A'''}} が存在する。
この場合、{{math|1='''G''' = (''G''<sub>1</sub>, ''G''<sub>2</sub>, ''G''<sub>3</sub>)}} は2次微分形式
:<math>
\omega = G_1 \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z +  G_2 \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + G_3 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \,

</math>
に対応し、{{math|1='''A''' = (''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>)}} は1次微分形式
:<math>
\eta = A_1 \mathrm{d}x +  A_2 \mathrm{d}y + A_3 \mathrm{d}z \,

</math>
に対応している。また、発散 {{math|div}} の作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。

==関連項目==
*[[微分形式]]
*[[ド・ラーム・コホモロジー]]
*[[アンリ・ポアンカレ]]

==参考文献==
* {{cite book|first1=Raoul|last1=Bott|first2=Loring W.|last2=Tu|title=Differential Forms in Algebraic Topology|publisher=Springer|date=1995|isbn=978-0387906133|ref=harv}}

** {{cite book|和書|first1=Raoul|last1=Bott|first2=Loring W.|last2=Tu|others=三村, 護 (翻訳)|title=微分形式と代数トポロジー|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|date=1996|isbn=978-4431707073|ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:ほあんかれのほたい}}
[[Category:多様体論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:アンリ・ポアンカレ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]