ポアンカレ双対のソースを表示

[[数学]]において，'''ポアンカレ双対性'''定理は，[[多様体]]の[[ホモロジー群]]と[[コホモロジー群]]の構造に関する基本的な結果である．名前は[[アンリ・ポアンカレ]]にちなむ．定理の主張は以下のようである．{{mvar|M}} を {{mvar|n}} 次元の[[向き付け可能性|向き付けられた]][[閉多様体]]（[[コンパクト空間|コンパクト]]かつ境界を持たない）とすると，{{mvar|M}} の {{mvar|k}} 次コホモロジー群はすべての整数 {{mvar|k}} に対して {{math|(''n'' &minus; ''k'')}} 次ホモロジー群と[[群同型|同型]]である： 
:<math>H^k(M) \cong H_{n-k}(M).</math>

ポアンカレ双対性は，係数環に関して向きを取る限り，任意の係数環に対して成り立つ．特に，すべての多様体は 2 を法として一意的な向き付けを持つので，ポアンカレ双対性は向きの仮定なしに 2 を法として成り立つ．

== 歴史 ==
ポアンカレ双対の形式は、1893年に[[アンリ・ポアンカレ]]によって提唱された。（ただし、証明は無かった。）そのポアンカレ双対は[[ベッチ数]]の観点で与えられた。つまり、閉（コンパクトかつ境界を持たない）向き付け可能なn次元多様体のk次と(n-k)次のベッチ数は等しいということである。その当時、コホモロジーの概念が明快化されるまで約４０年あった。1895年に出版した論文、''[[:en:Analysis_Situs_(paper)|Analysis Situs]]''で、ポアンカレは、自身が生み出した位相的'''[[交叉理論]]''' (topological intersection theory)によって、定理を証明しようと試みた。[[ポウル・ヘーガード]]の批判によって、ポアンカレは自身の証明に致命的な誤りがあることに気がついた。''Analysis Situs'' の最初の２編に、双対三角形分割による新たな証明を与えた。

ポアンカレ双対は1930年代のコホモロジーの誕生まで、現代の形をとらなかった。1930年代に、[[:en:Eduard_Čech|エドアード・チェック]]と[[ハスラー・ホイットニー]]が導入した[[キャップ積]]と[[カップ積]]により、ポアンカレ双対は現代の形に定式化された。

== 関連項目 ==
* [[ブリュア分解]]
* [[基本類]]
* [[ワイル群]]

==参考文献==
{{Reflist}}

==関連文献==
*{{citation |first=R. C. |last=Blanchfield |title=Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=65 |issue=2 |year=1957 |pages=340–356 |jstor=1969966 | doi = 10.2307/1969966 }}
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link= Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link= Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=Wiley | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}

== 外部リンク ==
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Intersection_form Intersection form] at the Manifold Atlas
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Linking_form Linking form] at the Manifold Atlas

{{Topology-stub}}
{{DEFAULTSORT:ほあんかれそうつい}}
[[Category:ホモロジー論]]
[[Category:多様体論]]
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[[Category:数学のエポニム]]