ポアンカレ群のソースを表示

{{Expand English|Poincaré group|date=2024年5月}}
{{Groups}}
'''ポアンカレ群'''（ポアンカレぐん、{{lang-en|Poincaré group}}）とは、ポアンカレ変換の為す[[群 (数学)|変換群]]。10次元の[[コンパクト (数学)|非コンパクト]][[リー群]]である。

== ポアンカレ変換 ==
'''ポアンカレ変換'''とは、'''[[ミンコフスキー空間]]'''における[[等長写像|等長変換]]である。
等長変換においては[[内積]]が保存される。

ポアンカレ変換は[[並進対称性|並進]]と[[ローレンツ変換]]からなる。

=== 座標変換 ===
ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。
; 並進
: <math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +a^\mu</math>
; ローレンツ変換
: <math>x^\mu \to x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu</math>
ここで、a, &Lambda; は変換のパラメータである。

=== 生成子 ===
並進の[[リー群#指数写像|生成子]] P は[[運動量]]、ローレンツ変換の生成子 M は[[角運動量]]である。
ミンコフスキー空間上の[[関数 (数学)|関数]]（[[スカラー場]]）&phi;(x) を考えると
{{Indent|
<math>i[P_\mu, \phi(x)] = \partial_\mu\phi(x)</math>
}}
{{Indent|
<math>i[M_{\mu\nu}, \phi(x)] = x_\mu\partial_\nu\phi(x) -x_\nu\partial_\mu\phi(x)</math>
}}
となる。

== ポアンカレ代数 ==
ポアンカレ代数とはポアンカレ群の[[リー代数]]で、次の[[交換子|交換関係]]をみたす。
{{Indent|
<math>[P_\mu, P_\nu] =0</math>
}}
{{Indent|
<math>[M_{\mu\nu}, P_\rho]
 =i(\eta_{\mu\rho}P_\nu -\eta_{\nu\rho}P_\mu)</math>
}}
{{Indent|
<math>[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}]
 =i(\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} -\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma}
 -\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} +\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})</math>
}}

== 関連項目 ==
* [[ネーターの定理]]
* ポアンカレ対称性の拡張
** [[超対称性]]
** [[共形変換]]

{{Differential-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:ほあんかれくん}}
[[Category:多様体論]]
[[Category:位相群]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:時空]]