ポテンシャルのソースを表示

{{単一の出典|date=2019年4月}}
{{参照方法|date=2019年4月}}
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'''ポテンシャル'''（{{lang-en-short|potential}}）は、潜在力、潜在性を意味する[[物理]]用語。

最初にポテンシャル（[[スカラーポテンシャル]]）の考え方を導入したのは、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]である（[[1773年]]）。ラグランジュの段階ではポテンシャルとは言われておらず、これをポテンシャルと呼んだのは、[[ジョージ・グリーン]]である（[[1828年]]）。[[カール・フリードリヒ・ガウス]]、[[ウィリアム・トムソン]]、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]によってポテンシャル論における三つの基本問題として、[[ディリクレ問題]]、ノイマン問題、斜交微分の問題が注目されるようになった。

ポテンシャルエネルギー（[[位置エネルギー]]）のことをポテンシャルと呼ぶこともある。

==ポテンシャル（狭義）==
[[空間]]内において、空間内の各点に働く[[力 (物理学)|力]] '''''F''''' が、当該点上のある定まった量 ''V'' から、

{{Indent|<math> \boldsymbol{F} = - \nabla V ( = - \operatorname{grad} V) \qquad\cdots(1)</math>}}

として求まる時、''V'' を力 '''''F''''' の'''ポテンシャル'''と言う。上式の関係より、''V'' は勾配におけるスカラーポテンシャルである。なお、gradは[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]、<math>\nabla</math>は[[ナブラ]]である。

一つの[[質点]]を考え、これが力 '''''F''''' の作用する[[場]]（力場）にあり、当該質点が d'''''l''''' =(d''x'' , d''y'' , d''z'')だけ[[変位]]した時、その力のなした[[仕事 (物理学)|仕事]] d''W'' は（以下、[[直交座標系]]を考える）、

{{Indent|<math> \mathrm{d}W = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y + F_z \mathrm{d}z </math>}}

となる。(''F<sub>x</sub>'' , ''F<sub>y</sub>'' , ''F<sub>z</sub>'')は力 '''''F''''' の各座標成分である。ポテンシャルに関して、

{{Indent|<math> F_x = - { \partial V \over {\partial x} } , \quad F_y = - { \partial V \over {\partial y} }, \quad F_z = - { \partial V \over {\partial z} } </math>}}

と表現できるなら、

{{Indent|<math> \mathrm{d}W = - { \partial V \over {\partial x} } \mathrm{d}x  - { \partial V \over {\partial y} } \mathrm{d}y - { \partial V \over {\partial z} }  \mathrm{d}z = - \mathrm{d}V </math>}}

となる。

==保存力==
力の作用する範囲内で質点が、位置AからBへ運動する間になす仕事 ''W''<sub>A-B</sub> は、

{{Indent|<math> W_\mathrm{A-B} \, = V_\mathrm{A} - V_\mathrm{B} </math>}}

となる。''V''<sub>A</sub> は位置Aでのポテンシャル、''V''<sub>B</sub> は位置Bでのポテンシャルである。この結果は、質点の動いた経路に依らない。どのような経路を通るかに関わらず、なした仕事がどの経路でも等しい場合、この時に質点に働く力を'''保存力'''（conservative force）と言う。また、保存力のみが作用する場（力場）を'''保存力場'''（conservative force field）と言う。また保存力では、質点が位置Aから出発して位置Aに戻る経路（閉じた経路）の場合、質点のなした仕事は、途中の通った道筋に関係なくゼロとなる。

このように（スカラー）ポテンシャルによる力は保存力となる。また、逆に保存力は必ずポテンシャルを伴うことが言える。

==ベクトルポテンシャル==
{{Main|ベクトルポテンシャル}}

==ポテンシャルエネルギー==
式(1)について、'''''F''''' は力なので、これに関しての質量 ''m'' の質点（簡単のため1質点を想定）の[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]は、

{{Indent|<math> \boldsymbol{F} = m {\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r} \over {\mathrm{d}t^2}} = - \nabla V </math>}}

となる。d<sup>2</sup>'''''r''''' /d''t'' <sup>2</sup> は質点の加速度である。真中と右辺にそれぞれ d'''''r''''' /d''t'' をかけ、時間 ''t'' で積分すると次の式を得る。

{{Indent|<math> {1 \over 2} m \left( {\mathrm{d} \boldsymbol{r} \over {\mathrm{d}t}} \right)^2 + V(\boldsymbol{r}) = \mathrm{constant} </math>}}

これは、

{{Indent|<math> {\mathrm{d} \over {\mathrm{d}t}} \left( {\mathrm{d} \boldsymbol{r} \over {\mathrm{d}t} } \right)^2 = 2 {\mathrm{d}\boldsymbol{r} \over {\mathrm{d}t}} \cdot {\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r} \over {\mathrm{d}t^2}} </math>}}

及び、

{{Indent|<math> {\mathrm{d} \over {\mathrm{d}t}} V (\boldsymbol{r}) = {\mathrm{d}\boldsymbol{r} \over {\mathrm{d}t}} \cdot \nabla V(\boldsymbol{r}) </math>}}

から求められる。constantは時間 ''t'' に関しての積分から出てくる[[積分定数|定数]]である。これは積分して得られた式の左辺において、第一項が[[運動エネルギー]]であり、それと第二項の ''V'' ('''''r''''')との和が一定であることを意味し、この場合、''V'' ('''''r''''')のことを'''ポテンシャルエネルギー'''（[[位置エネルギー]]）と呼ぶ。形式上ポテンシャルと同じ形だが、この時の''V'' ('''''r''''')の'''''r''''' は質点の位置であり、'''''r''''' = '''''r''''' (''t'')である。

== 参考文献 ==
*{{cite|和書|author=日本数学会|title=岩波数学辞典（第3版）|publisher=岩波書店|year=1985|ISBN=4000800167}}

==関連記事==
*[[ディリクレ問題]]
*[[調和関数]]
*[[ヘルムホルツの定理]]
===その他のポテンシャル===
*[[水ポテンシャル]]
*[[熱力学ポテンシャル]]
*[[化学ポテンシャル]]
*[[湯川ポテンシャル]]
*[[擬ポテンシャル]]
*[[2体ポテンシャル]]
*[[速度ポテンシャル]]、[[複素速度ポテンシャル]] - [[流体力学]]において速度場を導くポテンシャル。

{{DEFAULTSORT:ほてんしやる}}
[[Category:ポテンシャルエネルギー|*]]

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[[sv:Potential]]