ポリア予想のソースを表示

{{stack|
[[Image:Liouville-big.svg|thumb|right|''n''&nbsp;=&nbsp;10<sup>7</sup> までの、リウヴィル関数の和 ''L''(''n'') の推移。すぐに見て取れる振動は、[[リーマンゼータ関数]]の最初の非自明な零点に起因する。]]
[[Image:Liouville-polya.svg|thumb|right|（拡大図）ポリア予想が成り立たなくなる範囲でのリウヴィル関数の和 ''L''(''n'') の値。]]
[[Image:Liouville-log.svg|thumb|right|''n''&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;10<sup>9</sup> までの範囲で、リウヴィル関数の和 ''L''(''n'') のマイナス1倍を対数グラフで図示したもの。緑色のスパイクは、予想が成り立たなくなる狭い範囲での（マイナス1倍したものでなく）関数そのものの値を示す。青色の曲線は、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点が、振動へ寄与する様子を表す。]]
}}

[[数論]]における'''ポリア予想'''（ポリアよそう、{{Lang-en-short|Pólya conjecture}}）とは、任意の[[自然数]]に対し、それ未満の自然数のうち半分以上は'''奇数'''個の[[素因数]]を持つという主張である。この予想はハンガリーの数学者[[ジョージ・ポリア]]によって1919年に立てられ<ref>{{cite journal
 |last=Pólya |first=G. |authorlink=George Pólya
 |date=1919
 |title=Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie |language=German
 |journal=[[Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung]]
 |jfm=47.0882.06
 |volume=28 |pages=31–40
}}</ref>、1958年、{{ill2|C・ブライアン・ヘイゼルグローブ|en|C. Brian Haselgrove}}によって誤りであることが示された。この最小の[[反例]]は、非常に多くの自然数に対して成立する主張であっても、なお誤りであり得る例としてよく言及される<ref>{{cite book |last=Stein |first=Sherman K. |date=2010 |title=Mathematics: The Man-Made Universe |publisher=Courier Dover Publications |isbn=9780486404509 |page=483 |url=https://books.google.com/books?id=Kgv8xw7OCmgC&pg=PA483}}.</ref>。

==主張==
ポリア予想は次のとおりである。

:『任意の ''n'' (>&nbsp;1) に対し、それ未満の自然数（0は含まない）のうち素因数が'''奇数'''個のものの個数は、素因数が'''偶数'''個のものの個数以上である。』

ただし、重複して現れる素因数はその数だけ数えるものとする。よって、 18 = 2<sup>1</sup>&nbsp;&times;&nbsp;3<sup>2</sup>  は 1&nbsp;+&nbsp;2 = 3 個の素因数を持ち、奇数のグループに入る。一方 60 = 2<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;3&nbsp;&times;&nbsp;5 は 4 個の素因数を持ち、偶数のグループに入る。

[[リウヴィル関数]] <math>\lambda (n)</math> （整数論）を使うと予想は次のように言い換えられる。

:『任意の自然数 ''n'' > 1 に対し
::<math>L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0 </math> 』

λ(''k'') = (−1)<sup>Ω(''k'')</sup> は素因数の数が偶数なら正、奇数なら負になる。 Ω(''k'') は自然数の素因数の個数を数える関数。

==反例==
ポリア予想はイギリスの数学者{{ill2|C・ブライアン・ヘイゼルグローブ|en|C. Brian Haselgrove}}によって1958年に否定的に解決された。彼は予想には反例があることを示し、''n'' をおよそ 1.845&nbsp;&times;&nbsp;10<sup>361</sup> と見積もった<ref>{{cite journal
 | last = Haselgrove | first = C. B. | authorlink = C・ブライアン・ヘイゼルグローブ
 | date = 1958
 | title = A disproof of a conjecture of Pólya
 | journal = [[Mathematika]]
| issn=0025-5793
 | doi = 10.1112/S0025579300001480
 | mr = 0104638 | zbl=0085.27102 
 | volume = 5 | issue = 02 | pages = 141–145
}}</ref>。

明示的な反例 ''n'' = 906,180,359 は R. Sherman Lehman が1960年に与えた<ref>{{cite journal
 |last=Lehman |first=R. S.
 |date=1960
 |title=On Liouville's function
 |journal=[[Mathematics of Computation]]
 |doi=10.2307/2003890
 |mr=0120198
 |jstor=2003890
 |volume=14 |issue=72 |pages=311–320
 |publisher=Mathematics of Computation
}}</ref>。最小の反例は ''n'' = 906,150,257 であり、田中穣が1980年に与えた<ref>{{cite journal
 |last=Tanaka |first=M. 
 |date=1980 
 |title=A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function
 |journal=[[Tokyo Journal of Mathematics]]
 |doi=10.3836/tjm/1270216093
 |mr=0584557
 |volume=3 |issue=1 |pages=187–189
}}</ref>。

ポリア予想は、906,150,257 &le; ''n'' &le; 906,488,079 の範囲のほとんどの ''n'' について成り立たない。この範囲でリウヴィル関数の和は ''n'' = 906,316,571 のとき最大値 829 をとる。

==脚注==
{{reflist}}

==外部リンク==
* {{mathworld|urlname=PolyaConjecture|title=Pólya Conjecture}}
{{素数に関する予想}}
{{否定された予想}}
{{DEFAULTSORT:ほりあよそう}}
[[Category:数論]]
[[Category:素数に関する予想]]
[[Category:反証された予想]]
[[Category:数学に関する記事]]