ポリガンマ関数のソースを表示

{{Otheruses|ガンマ関数の対数微分で定義されるポリガンマ関数（polygamma function）|E. Barnesによって導入された多重ガンマ関数（multiple gamma function）|多重ガンマ関数}}
[[ファイル:Polygamma function.png|thumb|right|実数''x'' に対する&psi;<sup>(n)</sup>(''x'')の挙動。
オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。]]
[[ファイル:Complex Polygamma 0.jpg|right|thumb|複素平面上でのディガンマ関数&psi;(z)]]
[[ファイル:Complex Polygamma 1.jpg|right|thumb|複素平面上でのトリガンマ関数&psi;<sup>(1)</sup>(z)]]
[[ファイル:Complex Polygamma 2.jpg|right|thumb|複素平面上でのテトラガンマ関数&psi;<sup>(2)</sup>(z)]]
[[ファイル:Complex Polygamma 3.jpg|right|thumb|複素平面上でのペンタガンマ関数&psi;<sup>(3)</sup>(z)]]

数学において、'''ポリガンマ関数'''（ぽりがんまかんすう、{{lang-en-short|polygamma function}}）とは、[[ガンマ関数]]の[[対数微分]]による[[導関数]]として定義される[[特殊関数]]。[[ディガンマ関数]]や{{仮リンク|トリガンマ関数|en|Trigamma function}}はポリガンマ関数の一種である。

== 定義 ==

[[ガンマ関数]] &Gamma;(''z'') に対し、その[[対数微分]]

:<math>
\psi^{(n)}(z) 
 = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln{\Gamma(z)}  = \frac{d^n}{dz^n} \psi(z) 
</math>

で、定義される関数を'''ポリガンマ関数'''と呼ぶ。

&psi;(''z''), &psi;<sup>(1)</sup>(''z''), &psi;<sup>(2)</sup>(''z''), &psi;<sup>(3)</sup>(''z''),  &psi;<sup>(4)</sup>(''z'') は、それぞれ'''ディ'''-、'''トリ'''-、'''テトラ'''-、'''ペンタ'''-、'''ヘキサ'''-'''ガンマ関数'''と呼ばれる。

ポリガンマ関数 &psi;<sup>(''n'')</sup>(''z'' ) は ''z'' = 0, &minus;1, &minus;2, ... で ''n'' + 1 位の[[極 (複素解析)|極]]をもち，それらの点を除く全[[複素平面]]では[[解析関数|解析的]]になる。

== 漸化式 ==

ポリガンマ関数は次の[[漸化式]]を満たす。

:<math>
\psi^{(n)}(z+1) = \psi^{(n)}(z) + \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}}
</math>

== 級数表示 ==

ポリガンマ関数は''z'' ≠0, -1, -2, -3...で次の[[級数]]表示を持つ。

*<math>
\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( 
\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )
</math>

*<math>
\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^{n+1}}
\qquad (n = 1,2,3, \cdots) 
</math>

また、''z'' =0での[[テイラー展開]]により、|''z'' |<1の領域で次のように表される。

*<math>
\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k 
\zeta(k) z^{k-1}
</math>

*<math>
\psi^{(n)}(z+1) = (-1)^{n+1}  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} 
(n+k-1)! \zeta(n+k) z^{k-1} }{(k-1)!}
\qquad (n = 1,2,3, \cdots)
</math>

但し、γ =0.5772...は[[オイラーの定数]]、''&zeta;''(''n'' )は[[リーマンゼータ関数]]を表す。

== 積分表示 ==

Re''z'' >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

*<math>
\psi(z) = -\gamma+ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}} dt
</math>

*<math>
\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^ne^{-zt}}{1-e^{-t}} dt
\quad (n=1,2,\cdots)
</math>

== 相反公式 ==

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

:<math>
(-1)^n\psi^{(n)}(1-z) - \psi^{(n)}(z) = \pi \frac{d^n}{dz^n} \operatorname{cot} \pi z 
</math>

但し、cot &pi;''z'' は[[余接関数]]を表す。

== 漸近展開 ==

''z'' →&infin;　(|arg''z'' | < &pi;)のとき、ポリガンマ関数は次の[[漸近展開]]をもつ。

*<math>
\psi(z)  \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} 
</math>

*<math>
\psi^{(n)}(z)  \sim  (-1)^{(n-1)} \left( \frac{(n-1)!}{z^n}
+ \frac{n!}{2z^{n+1}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}} \right )
\quad (n=1,2,\cdots)
</math>

但し、''B<sub>2k</sub>''は[[ベルヌーイ数]]である。

== 特殊値 ==

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

*<math>
\psi(1)  = -\gamma 
</math>
*<math>
\psi^{(n)}(1)  = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1)
\quad (n=1,2,\cdots)
</math>

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。
*<math>
\psi(m) = -\gamma + \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k}
= -\gamma + H_{m-1} \qquad (m = 2,3,4, \cdots) 
</math>

*<math>
\psi^{(n)}(m) 
 =  (-1)^n n! \left \{ -\zeta(n+1)
+ \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k^{n+1}} \right \}
\qquad (n = 1,2,3, \cdots,m = 2,3,4, \cdots) 
</math>

但し、γ はオイラーの定数、''H<sub>m-1</sub>''は[[調和数]]を表す。

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]''.  Dover (1965) ISBN 978-0486612720
* E. T. Whittaker and G. N. Watson, ''A Course of Modern Analysis''. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
* George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 [[権平健一郎]]、[[神原武志]]、[[小山直人]] (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

== 関連項目 ==
* [[ガンマ関数]]
* [[ディガンマ関数]]

{{DEFAULTSORT:ほりかんまかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]