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{{要改訳}}
数学において、[[レフ・ポントリャーギン]](Lev Pontryagin)の名前のついた'''ポントリャーギン類'''(Pontryagin classes)は[[特性類]]のひとつで、4 の倍数の次数を持つ[[コホモロジー群]]の中にある。ポントリャーギン類は、実[[ベクトルバンドル]]へ適用される。
<!--In [[mathematics]], the '''Pontryagin classes''', named for [[Lev Pontryagin]],  are certain [[characteristic class]]es. The Pontryagin class lies in [[cohomology group]]s with degree a multiple of four. It applies to real [[vector bundle]]s.-->

== 定義 ==
''M'' 上の実ベクトルバンドル ''E'' が与えられると、その ''k''-次'''ポントリャーギン類'''(Pontryagin class) ''p<sub>k</sub>''(''E'') は、
:''p<sub>k</sub>''(''E'') = ''p<sub>k</sub>''(''E'', '''Z''') = (−1)<sup>''k''</sup> ''c''<sub>2''k''</sub>(''E'' ⊗ '''C''') ∈ ''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Z''')
として定義される。ここに
* ''c''<sub>2''k''</sub>(''E'' ⊗ '''C''') は、''E'' の{{仮リンク|複素化|en|complexification}}(complexification) ''E'' ⊗ '''C''' = ''E'' ⊕ ''iE'' の2''k''-次[[チャーン類]]である。
*''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Z''') は ''M'' の整数係数の 4''k''-次[[コホモロジー群]]である。

有理ポントリャーギン類 ''p<sub>k</sub>''(''E'', '''Q''') は、''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Q''') の中の ''p<sub>k</sub>''(''E'') の像、[[有理数|有理]]係数の ''M'' 上の 4''k''-次[[コホモロジー群]]として定義される。
<!--== Definition ==
Given a real vector bundle ''E'' over ''M'', its ''k''-th Pontryagin class ''p<sub>k</sub>''(''E'') is defined as 
:''p<sub>k</sub>''(''E'') = ''p<sub>k</sub>''(''E'', '''Z''') = (−1)<sup>''k''</sup> ''c''<sub>2''k''</sub>(''E'' ⊗ '''C''') ∈ ''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Z'''),
where:
*''c''<sub>2''k''</sub>(''E'' ⊗ '''C''') denotes the 2''k''-th [[Chern class]] of the [[complexification]] ''E'' ⊗ '''C''' = ''E'' ⊕ ''iE'' of ''E'', 
*''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Z''') is the 4''k''-[[cohomology]] group of ''M'' with [[integer]] coefficients.

The rational Pontryagin class ''p<sub>k</sub>''(''E'', '''Q''') is defined to be the image of ''p<sub>k</sub>''(''E'') in ''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Q'''), the 4''k''-[[cohomology]] group of ''M'' with [[Rational number|rational]] coefficients.-->

== 性質 ==
'''全ポントリャーギン類'''(total Pontryagin class) 
:<math>p(E)=1+p_1(E)+p_2(E)+\cdots\in H^*(M,\mathbf{Z}),</math>
は、ベクトルバンドルの{{仮リンク|ホイットニー和|en|Glossary of differential geometry and topology#W}}(Whitney sum)の観点から modulo 2-torsion で乗法的である。ホイットニー和とは、''M'' の 2つのベクトルバンドル ''E'' と ''F'' に対し、
:<math>2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)</math>
となることである。個々のポントリャーギン類 ''p<sub>k</sub>'' の項では、
:<math>2p_1(E\oplus F)=2p_1(E)+2p_1(F),</math>
:<math>2p_2(E\oplus F)=2p_2(E)+2p_1(E)\smile p_1(F)+2p_2(F)</math>
などとなる。

ベクトルバンドルのポントリャーギン類や[[スティーフェル・ホイットニー類]]が 0 となることは、ベクトルバンドルが自明であることを保証するものではない。たとえば、[[ベクトルバンドル#定義および直ちに従うこと|ベクトルバンドルの同型]]を同一視すると、一意な非自明なランク 10 のベクトルバンドル ''E''<sub>10</sub> が [[N-球面|9-球面]]上に存在する。（''E''<sub>10</sub> の{{仮リンク|クランチ函数|en|clutching function}}(clutching function)は、{{仮リンク|安定ホモトピー群|en|Orthogonal group#Homotopy groups}}(stable homotopy group) π<sub>8</sub>(O(10)) = '''Z'''/2'''Z''' から来る。）ポントリャーギン類とスティーフェル・ホイットニー類はすべて 0 となる。ポントリャーギン類は次数 9 には存在しないので、''E''<sub>10</sub> のスティーフェル・ホイットニー類 ''w''<sub>9</sub> は、[[スティーフェル・ホイットニー類#スティンロッド代数上の関係式|ウーの公式]] ''w''<sub>9</sub> = ''w''<sub>1</sub>''w''<sub>8</sub> + Sq<sup>1</sup>(''w''<sub>8</sub>) により 0 となる。さらに、このベクトルバンドルは安定で非自明、つまり、すべての自明バンドルを持つ ''E''<sub>10</sub> のホイットニー和は、非自明のままである{{Harv|Hatcher|2009|p=76}}。

2''k''-次元ベクトルバンドル ''E'' があたえられると、
:<math>p_k(E)=e(E)\smile e(E),</math>
を得る。ここに ''e''(''E'') は ''E'' の[[オイラー類]]を表し、<math>\smile</math> はコホモロジー類の[[カップ積]](cup product)を表す。
<!--== Properties ==
The '''total Pontryagin class''' 
:<math>p(E)=1+p_1(E)+p_2(E)+\cdots\in H^*(M,\mathbf{Z}),</math>
is (modulo 2-torsion) multiplicative with respect to 
[[Glossary of differential geometry and topology#W|Whitney sum]] of vector bundles, i.e., 
:<math>2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)</math>
for two vector bundles ''E'' and ''F'' over ''M''.  In terms of the individual Pontryagin classes ''p<sub>k</sub>'', 
:<math>2p_1(E\oplus F)=2p_1(E)+2p_1(F),</math>
:<math>2p_2(E\oplus F)=2p_2(E)+2p_1(E)\smile p_1(F)+2p_2(F)</math>
and so on.

The vanishing of the Pontryagin classes and [[Stiefel-Whitney class]]es of a vector bundle does not guarantee that the vector bundle is trivial.  For example, up to [[Vector bundle#Vector bundle morphisms|vector bundle isomorphism]], there is a unique nontrivial rank 10 vector bundle ''E''<sub>10</sub> over the [[N-sphere|9-sphere]].  (The [[clutching function]] for ''E''<sub>10</sub> arises from the [[Orthogonal group#Homotopy groups|stable homotopy group]] π<sub>8</sub>(O(10)) = '''Z'''/2'''Z'''.)  The Pontryagin classes and Stiefel-Whitney classes all vanish: the Pontryagin classes don't exist in degree 9, and the [[Stiefel-Whitney class]] ''w''<sub>9</sub> of ''E''<sub>10</sub> vanishes by the [[Stiefel-Whitney class#Relations over the Steenrod algebra|Wu formula]] ''w''<sub>9</sub> = ''w''<sub>1</sub>''w''<sub>8</sub> + Sq<sup>1</sup>(''w''<sub>8</sub>).  Moreover, this vector bundle is stably nontrivial, i.e. the [[Glossary of differential geometry and topology#W|Whitney sum]] of ''E''<sub>10</sub> with any trivial bundle remains nontrivial. {{Harv|Hatcher|2009|p=76}}

Given a 2''k''-dimensional vector bundle ''E'' we have 
:<math>p_k(E)=e(E)\smile e(E),</math>
where ''e''(''E'') denotes the [[Euler class]] of ''E'', and <math>\smile</math> denotes the [[cup product]] of cohomology classes. -->

=== ポントリャーギン類と曲率 ===
[[陳省身]](Shiing-Shen Chern)と[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)により 1948年頃に示されたように、有理ポントリャーギン類
:<math>p_k(E,\mathbf{Q})\in H^{4k}(M,\mathbf{Q})</math>
は、ベクトルバンドルの[[曲率形式]]に多項式を通して依存した微分形式として表現することができる。この[[チャーン・ヴェイユ理論]]は、代数トポロジーと大域微分幾何学の間に大きな関係があることを明らかにした。

[[接続形式]]を持つ ''n''-次元[[微分可能多様体]](differentiable manifold) ''M'' 上の[[ベクトルバンドル]] ''E'' に対し、全ポントリャーギン類は、
:<math>p=\left[1-\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)}{8 \pi ^2}+\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)^2-2 {\rm Tr}(\Omega ^4)}{128 \pi ^4}-\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)^3-6 {\rm Tr}(\Omega ^2) {\rm Tr}(\Omega ^4)+8 {\rm Tr}(\Omega ^6)}{3072 \pi ^6}+\cdots\right]\in H^*_{dR}(M)</math>

として表現される。ここに Ω は[[曲率形式]]を表し、''H*''<sub>dR</sub>(''M'') は[[ド・ラームコホモロジー]]群を表す。{{Citation needed|date=July 2009}}
<!--=== Pontryagin classes and curvature ===
As was shown by [[Shiing-Shen Chern]] and [[André Weil]] around 1948, the rational Pontryagin classes 
:<math>p_k(E,\mathbf{Q})\in H^{4k}(M,\mathbf{Q})</math>
can be presented as differential forms which depend polynomially on the [[curvature form]] of a vector bundle. This [[Chern–Weil theory]] revealed a major connection between algebraic topology and global differential geometry.

For a [[vector bundle]] ''E'' over a ''n''-dimensional [[differentiable manifold]] ''M'' equipped with a [[connection form|connection]], the total Pontryagin class is expressed as 
:<math>p=\left[1-\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)}{8 \pi ^2}+\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)^2-2 {\rm Tr}(\Omega ^4)}{128 \pi ^4}-\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)^3-6 {\rm Tr}(\Omega ^2) {\rm Tr}(\Omega ^4)+8 {\rm Tr}(\Omega ^6)}{3072 \pi ^6}+\cdots\right]\in H^*_{dR}(M),</math>

where Ω denotes the [[curvature form]], and ''H*''<sub>dR</sub>(''M'') denotes the [[de Rham cohomology]] groups.{{Citation needed|date=July 2009}}-->

=== 多様体のポントリャーギン類 ===
'''滑らかな多様体のポントリャーギン類'''は、多様体の[[接バンドル]]のポントリャーギン類として定義される。

[[セルゲイ・ノヴィコフ]](Sergei Novikov)は 1966年に、多様体が[[同相]]であれば、''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Q''') の中の有理ポントリャーギン類 ''p<sub>k</sub>''(''M'', '''Q''') は同じであることを証明した。

次元が少なくとも 5 であれば、与えられた[[ホモトピー型]](homotopy type)とポントリャーギン類を持つ微分可能多様体は高々有限個しか存在しない。

== ポントリャーギン数 ==
'''ポントリャーギン数'''(Pontryagin numbers)は、滑らかな多様体の[[位相不変量]](topological invariant)である。ポントリャーギン数は、多様体の次元が 4 で割り切れないような滑らかな多様体 0 であり、次のように多様体のポントリャーギン類の項で定義される。

滑らかな 4''n''-次元多様体 ''M'' と自然数の集まり
:''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ..., ''k<sub>m</sub>'' such that ''k''<sub>1</sub>+''k''<sub>2</sub>+...+''k<sub>m</sub>'' =''n'' が与えられると、ポントリャーギン数 <math>P_{k_1,k_2,\dots,k_m}</math> は、
:<math>P_{k_1,k_2,\dots, k_m}=p_{k_1}\smile p_{k_2}\smile \cdots\smile p_{k_m}([M])</math>
により定義される。ここに ''p<sub>k</sub>'' は ''k''-次ポントリャーギン類を表し、[''M''] は ''M'' の[[基本類]] を表す。
<!--=== Pontryagin classes of a manifold ===
The '''Pontryagin classes of a smooth manifold''' are defined to be the Pontryagin classes of its [[tangent bundle]].

[[Sergei Novikov (mathematician)|Novikov]] proved in 1966 that if manifolds are [[homeomorphism|homeomorphic]] then their rational Pontryagin classes ''p<sub>k</sub>''(''M'', '''Q''') in ''H''<sup>4''k''</sup>(''M'', '''Q''') are the same.

If the dimension is at least five, there are at most finitely many different smooth manifolds with given [[Homotopy#Homotopy equivalence of spaces|homotopy type]] and Pontryagin classes.

== Pontryagin numbers ==
'''Pontryagin numbers''' are certain [[topological invariant]]s of a smooth [[manifold]]. The Pontryagin number vanishes if the dimension of manifold is not divisible by 4. It is defined in terms of the Pontryagin classes of a [[manifold]] as follows:

Given a smooth 4''n''-dimensional manifold ''M'' and a collection of natural numbers 
:''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ..., ''k<sub>m</sub>'' such that ''k''<sub>1</sub>+''k''<sub>2</sub>+...+''k<sub>m</sub>'' =''n''.
the Pontryagin number <math>P_{k_1,k_2,\dots,k_m}</math> is defined by
:<math>P_{k_1,k_2,\dots, k_m}=p_{k_1}\smile p_{k_2}\smile \cdots\smile p_{k_m}([M])</math>
where ''p<sub>k</sub>'' denotes the ''k''-th Pontryagin class and [''M''] the [[fundamental class]] of ''M''.-->

=== 性質 ===
#ポントリャーギン数は、向き付けられた[[コボルディズム]](cobordism)不変量であり、[[スティーフェル・ホイットニー数]]とともに、向きつけられた多様体のコボルディズムを決定する。
#閉リーマン多様体のポントリャーギン数（ポントリャーギン類と同様に定義される）は、リーマン多様体の曲率テンソルからある多項式の積分として計算することができる。
#{{仮リンク|符号 (トポロジー)|label=符号|en|Signature (topology)}}(signature)や[[種数]] and [[種数 (乗法的数列)#Â 種数|<math>\hat A</math>-genus]]はポントリャーギン数を通して表現することができる。

== 一般化 ==
[[四元数]]構造を持つベクトルバンドルに対し、'''四元数'''ポントリャーギン類も存在する。
<!--=== Properties ===
#Pontryagin numbers are oriented [[cobordism]] invariant; and together with [[Stiefel-Whitney number]]s they determine an oriented manifold's oriented cobordism class.
#Pontryagin numbers of closed Riemannian manifold (as well as Pontryagin classes) can be calculated as integrals of certain polynomial from curvature tensor of Riemannian manifold.
#Such invariants as [[Signature (topology)|signature]] and [[Â genus|<math>\hat A</math>-genus]] can be expressed through Pontryagin numbers.

== Generalizations ==
There is also a ''quaternionic'' Pontryagin class, for vector bundles with [[quaternion]] structure.-->

== 関連項目 ==
*[[チャーン・サイモンズ形式]]

== 参考文献 ==
*{{cite book
  |author= [[John Milnor|Milnor John W.]]
  |author2=Stasheff, James D. |authorlink2=Jim Stasheff 
  |title= Characteristic classes
  |work= Annals of Mathematics Studies
  |issue=76
  |publisher=Princeton University Press / University of Tokyo Press
  |location=Princeton, New Jersey; Tokyo
  |year= 1974
  |isbn= 0-691-08122-0}}
* {{Cite journal | last=Hatcher | first=Allen | author-link=Allen Hatcher  | title=Vector Bundles & K-Theory | edition=2.1 | year=2009 | ref=harv | postscript=<!--None--> | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html}}

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Pontryagin class|urlname=Pontryagin_class}}

{{DEFAULTSORT:ほんとりやあきんるい}}
[[Category:特性類]]
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]