ポーランド空間のソースを表示

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数学の[[位相空間論]]において、'''ポーランド空間'''（ポーランドくうかん）とは、[[可分空間|可分]]で[[完備距離空間|完備距離づけ可能]]な[[位相空間]]のことである。すなわち、[[可算集合|可算]]な[[稠密集合|稠密部分集合]]をもつ[[完備距離空間]]と[[位相同型|同相]]な空間のことである。名前の由来は、この空間が著名なポーランド人研究者たち（例えば、[[ヴァツワフ・シェルピニスキ]]、[[カジミェシュ・クラトフスキ]]、[[アルフレト・タルスキ]]など）によって研究され始めたことによる。今日では、[[Borel equivalence relation]]などの研究を含んだ[[記述集合論]]の研究のための基礎としても重要視されている。

ポーランド空間の例としては、[[実数直線]]、[[可分空間|可分]]な[[バナッハ空間]]、[[カントール空間]]、[[ベール空間]]がある。さらに言えば、普通の距離づけでは完備でないがポーランド空間ではあるようなものも存在する。例えば、[[区間 (数学)|開区間]] (0,&nbsp;1) はポーランド空間である。

いかなる2つの[[不可算]]なポーランド空間の間にも、[[ボレル同型写像]]が存在する。すなわち、[[全単射]]でボレル構造を保つものが存在する。特に、不可算なポーランド空間の濃度は必ず[[連続体濃度]]となる。

== 性質 ==
# ([[Pavel Sergeevich Alexandrov|Alexandrov]]'s theorem) ''X'' がポーランド空間ならその[[Gδ集合|''G''<sub>δ</sub>]]部分集合もポーランド空間である。
# ([[Cantor–Bendixson theorem]]) ''X'' がポーランド空間ならその閉部分集合は[[可算集合]]と[[完全集合]]の[[非交和]]で表せる。
# ポーランド空間 ''P'' の部分空間 ''Q'' がポーランド空間であるのは ''Q'' が ''P'' の開部分集合列の交叉で表されるとき、かつそのときのみである。
# 位相空間 ''X'' がポーランド空間であるのは ''X'' がヒルベルトキューブ <math>I^N</math> の開部分集合列の交叉と同相であるとき、かつそのときのみである。

次の空間はポーランド空間である：
* ポーランド空間の閉部分集合
* ポーランド空間の開部分集合
* 可算個のポーランド空間の非交和や直積
* ハウスドルフ空間のポーランド部分空間の可算交叉
* 無理数全体の集合に実数直線上の位相を導入した空間

== 参考文献 ==
* {{cite book | last=Arveson | first=William | authorlink=William Arveson | title=An Invitation to C*-Algebras | edition = [[Graduate Texts in Mathematics]] 39 | publisher=[[Springer-Verlag]]| location=New York | year=1981 | isbn=0-387-90176-0}}
* {{cite book | author=[[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, Nicolas]] | title=Elements of Mathematics: General Topology | publisher=Addison–Wesley| year=1966 | id= }}
* {{cite book|author = Kechris, A. | authorlink = Alexander S. Kechris | title = Classical Descriptive Set Theory | edition = [[Graduate Texts in Mathematics]] 156 | publisher = Springer | year = 1995 | isbn = 0-387-94374-9}}
* {{cite book|author =[[Kuratowski|Kuratowski, K.]]|publisher=Academic Press |year =1966|title=Topology Vol. I|id =ISBN 012429202X}}

{{デフォルトソート:ほおらんとくうかん}}
[[Category:記述集合論]]
[[Category:位相空間論]]
[[Category:数学に関する記事]]