マイスナー方程式のソースを表示

[[数学]]における'''マイスナー方程式'''（マイスナーほうていしき、{{Lang-en-short|Meissner equation}}）とは、[[ヒル微分方程式]]の特殊例であるような線型[[常微分方程式]]で、その周期関数が[[矩形波]]で与えられるようなものである<ref>{{cite book |
  title=Analysis of periodically time-varying systems |
  author=Richards, J. A. |
  isbn=9783540116899 |
  lccn=82005978 |
  year=1983 |
  publisher=Springer-Verlag
}} </ref> <ref>
{{cite article | author=E. Meissner | 
title=Ueber Schüttelerscheinungen in Systemen mit periodisch veränderlicher Elastizität |
journal=Schweiz. Bauzeit. |
volume=72 |
number=11 |
year=1918 |
pages=95–98
}}
</ref>。マイスナー方程式を記述する方法は多く存在する。一つ目は、

: <math> \frac{d^2y}{dt^2} + (\alpha^2 + \omega^2 \sgn \cos(t)) = 0 </math>

あるいは

: <math> \frac{d^2y}{dt^2} + ( 1 + r f(t;a,b) ) y = 0 </math>

である。ここで
: <math> f(t;a,b) = -1 + 2 H_a( t \mod (a+b) ) </math>
であり、<math> H_c(t) </math> は <math>c</math> にシフトされた[[ヘヴィサイドの階段関数|ヘビサイド関数]]である。他には

: <math> \frac{d^2y}{dt^2} + \left(   1 + r \frac{\sin( \omega t)}{|\sin(\omega t)|} \right) y = 0 </math>

などのようにも記述される。マイスナー方程式ははじめ、ある共振問題に関する簡単な問題として研究された。それはまた、[[進化生物学]]における共振問題を理解する上でも役に立つ。

マイスナー方程式の時間依存性は[[区分線形関数|区分線型]]であるため、[[マシュー函数]]とは異なり、多くの計算を正確に実行することが出来る。<math> a = b = 1</math> のとき、その[[フロケ理論|フロケ指数]]は二次方程式

: <math> \lambda^2 - 2 \lambda \cosh(\sqrt{r}) \cos(\sqrt{r}) + 1 = 0 .</math>

の根であるが、フロケ行列の行列式は 1 であるため、<math> |\cosh(\sqrt{r}) \cos(\sqrt{r})| < 1 </math> であれば原点は中心であり、そうでない場合はサドルノードとなる。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:まいすなあほうていしき}}
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]