マシュー函数のソースを表示

{{otheruses||熱力学におけるマシュー(Massieu)函数|熱力学ポテンシャル}}
[[数学]]の分野における'''マシュー函数'''（マシューかんすう、{{Lang-en-short|Mathieu function}} 、'''マチウ函数'''とも書かれる）とは、ある特定の[[特殊函数]]のことで、以下に挙げるような様々な応用数学の問題を扱う上で有用となるものである。
* 楕円型太鼓膜の振動
* [[質量分析]]のための[[四重極型質量分析計]]や四重極[[イオントラップ]]
* [[光格子]]における[[冷却原子気体|極低温原子]]のような、周期的媒質における波の運動
* [[強制振動|強制振動子]]における[[係数励振]]現象
* [[一般相対性理論]]における厳密な平面波解
* 回転する[[電気双極子]]に対する[[シュタルク効果]]
* 一般に、{{仮リンク|楕円柱座標|en|elliptic cylindrical coordinates}}における[[変数分離|分離可能]]な[[微分方程式]]の解

これらは、{{harvs|txt|authorlink=:en:Émile Léonard Mathieu|first=Émile Léonard |last=Mathieu|year= 1868}} の第一問題として提唱されたものであった。

== マシュー方程式 ==
'''マシューの微分方程式'''（Mathieu's differential equation）の標準形は次のようなものである。

:<math> \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0. </math>

このマシュー方程式は、ただ一つの調和モードを持つ[[ヒル微分方程式|ヒル方程式]]である。

この方程式と密接に関連するのは、次のような'''マシューの修正微分方程式'''（Mathieu's modified differential equation）である。

:<math> \frac{d^2y}{du^2}-[a-2q\cosh (2u) ]y=0. </math>

これは <math>u=ix</math> を代入することで従う。

これら二つの方程式は、二次元の[[ヘルムホルツ方程式]]を{{仮リンク|楕円座標系|en|Elliptic coordinate system}}で表現し、二変数に分離することで得られる [http://optica.mty.itesm.mx/pmog/Papers/P009.pdf]。この事実から、これらの方程式はそれぞれ'''アンギュラ'''（angular）および'''ラディアル'''（radial）'''マシュー方程式'''としても知られている。

<math>t=\cos(x)</math> を代入することで、マシュー方程式は次の代数形式に変換される。

:<math> (1-t^2)\frac{d^2y}{dt^2} - t\, \frac{d y}{dt} + (a + 2q (1- 2t^2)) \, y=0.</math>

この方程式は <math>t = -1,1</math> において二つの確定特異点を持ち、無限大において一つの不確定特異点を持つ。このことは、一般に（他の多くの特殊函数とは異なり）マシュー方程式の解は[[超幾何関数|超幾何函数]]を用いて表現できないことを意味する。

マシューの微分方程式は、列車が走る時の鉄道レールの安定性や、人口動態の季節性、四次元[[波動方程式]]、[[リミットサイクル]]の安定性に関する[[フロケ理論]]など、多くの文脈において数理モデルとして扱われる。

== フロケ解 ==

[[フロケ理論|フロケの定理]]（あるいは[[ブロッホの定理]]）によると、値の固定された a および q に対し、マシューの方程式は次の形状の複素数値解を許すものである。
:<math>F(a,q,x) = \exp(i \mu \,x) \, P(a,q,x).</math>
ここで <math>\mu</math> はマシュー指数（Mathieu exponent）と呼ばれるある複素数で、P は <math>x</math> に関する周期 <math>\pi</math> の周期函数で、複素数に値を取るものである。しかし、一般に P は正弦函数ではない。下図の例では、<math>a=1, \, q=\frac{1}{5}, \, \mu \approx 1 + 0.0995 i</math> の場合が与えられている（実部は赤、虚部は緑で表す）。
[[Image:MathieuFloquet.gif|center]]

== マシュー正弦とマシュー余弦 ==

固定された a および q に対し、'''マシュー余弦'''（Mathieu cosine）<math>C(a,q,x)</math> はマシュー方程式の唯一つの解として定義される <math>x</math> の函数で、次の性質を満たす。
# <math>C(a,q,0)=1</math>。
# [[偶函数]]である。したがって <math>C^\prime(a,q,0)=0</math>。

同様に、'''マシュー正弦'''（Mathieu sine）<math>S(a,q,x)</math> は次を満たす唯一つの解である。
# <math>S^\prime(a,q,0)=1</math>。
# [[奇函数]]である。したがって <math>S(a,q,0)=0</math>。

これらは、フロケ解と密接に関連する実数値函数である。
:<math> C(a,q,x) = \frac{F(a,q,x) + F(a,q,-x)}{2 F(a,q,0)}</math>
:<math> S(a,q,x) = \frac{F(a,q,x) - F(a,q,-x)}{2 F^\prime(a,q,0)}.</math>
（固定された a および q に対する）マシュー方程式の一般解は、マシュー余弦函数およびマシュー正弦函数の線型結合である。

注目すべき特殊な例として、
:<math>C(a,0,x) = \cos(\sqrt{a} x), \; S(a,0,x) = \frac{\sin(\sqrt{a} x)}{\sqrt{a}} </math>
がある。すなわち、対応する[[ヘルムホルツ方程式]]の問題が円対称性を持つ例である。

一般に、マシュー正弦およびマシュー余弦は非周期的である。それにもかかわらず、q の値が小さい場合には、近似的に
:<math> C(a,q,x) \approx \cos(\sqrt{a} x), \; \; S(a,q,x) \approx \frac{\sin (\sqrt{a} x)}{\sqrt{a}} </math>
が成立する。

例：
[[Image:MathieuC shortwave.gif|left|thumb|300px|Red: C(0.3,0.1,x).]]
[[Image:MathieuCPrime shortwave.gif|left|thumb|300px|Red: C'(0.3,0.1,x).]] 
{{clear}}

== 周期解 ==

<math>q</math> が与えられたとき、特性値（characteristic value）と呼ばれる <math>a</math> の可算個の多くの特別な値に対して、マシュー方程式は周期が <math>2\pi</math> であるような周期解を許す。マシュー余弦函数およびマシュー正弦函数の各々の特性値は、[[自然数]] ''n'' に対して <math>a_n(q), \, b_n(q)</math> と記述される。そのようなマシュー余弦函数およびマシュー正弦函数が周期的である特殊例はしばしば <math>CE(n,q,x), \, SE(n,q,x)</math> と書かれる。しかし、それらは伝統的には異なる正規化（それらの L<sup>2</sup> ノルムが <math>\pi</math> に等しいような正規化）によって与えられている。したがって、''q'' が正の値であるとき、
:<math>C \left( a_n(q),q,x \right) = \frac{CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}</math>
:<math>S \left( b_n(q),q,x \right) = \frac{SE(n,q,x)}{SE^\prime(n,q,0)}</math>
が成立する。ここで、''q''&nbsp;=&nbsp;1 のときの周期的なマシュー余弦函数のうち初めのいくつかを図示する。
[[Image:MathieuCE.gif|center]]
ここで、例えば <math>CE(1,1,x)</math>（図中の緑の曲線）は余弦函数に似たものであるが、丘の部分はより平坦に、谷の部分はより浅くなっている。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|単色電磁平面波|en|Monochromatic electromagnetic plane wave}}：[[一般相対性理論]]における[[アインシュタイン方程式]]のある重要な厳密平面波解の一例。マシュー余弦函数を用いて表される。
* [[倒立振子]]
* [[ラメ函数]]

== 参考文献 ==
* {{cite journal | author=Mathieu, E. |title=Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d’une Membrane de forme Elliptique |journal=[[:en:Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]] | year=1868 | pages=137–203 | url=http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16412&Deb=145&Fin=211&E=PDF}}
* Gertrude Blanch, "[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_721.htm Chapter 20. Mathieu Functions]", in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'' (Dover: New York, 1972)
* {{cite book | author=McLachlan, N. W. | title=Theory and application of Mathieu functions | location=New York | publisher=Dover | year=1962 (reprint of 1947 ed.) | id=LCCN 64016333}}
*{{dlmf|first=G.|last=Wolf|id=28|title=Mathieu Functions and Hill’s Equation}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Mathieu functions|urlname=Mathieu_functions}}
* Timothy Jones, ''[http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/mat/mat.html Mathieu's Equations and the Ideal rf-Paul Trap]'' (2006)
* {{mathworld|urlname=MathieuFunction |title=Mathieu function}}
* ''[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0234.pdf Mathieu equation]'', [http://eqworld.ipmnet.ru/en/ EqWorld]
*[http://functions.wolfram.com/MathieuandSpheroidalFunctions/ List of equations and identities for Mathieu Functions] functions.wolfram.com
*[http://dlmf.nist.gov/28 NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill's Equation]

{{Normdaten}}
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[[Category:微分方程式]]
[[Category:常微分方程式]]
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[[Category:数学のエポニム]]