マズールの補題のソースを表示

[[数学]]における'''マズールの補題'''（マズールのほだい、{{Lang-en-short|Mazur's lemma}}）は[[バナッハ空間]]の理論における結果の一つであり、バナッハ空間で[[弱位相|弱収束]]する任意の列に対して、列の要素の[[凸結合]]から作られる列であって同じ極限に強収束するようなものがとれることを主張する。この補題を使って{{仮リンク|トネリの定理|en|Tonelli's theorem (functional analysis)}}を証明することができる。

==補題の主張==

(''X'',&nbsp;||&nbsp;||) をバナッハ空間とし、 (''u''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''&isin;'''N'''</sub> はある ''X'' の要素 ''u''<sub>0</sub> に弱収束する ''X'' の要素の列とする:

:<math>u_{n} \rightharpoonup u_{0} \mbox{ as } n \to \infty</math>

つまり、''X''<sup>&lowast;</sup>（ ''X'' の[[双対ベクトル空間]]）に属する任意の[[連続線形作用素]] ''f'' に対し

:<math>f(u_{n}) \to f(u_{0}) \mbox{ as } n \to \infty</math>

であるとする。

このとき、ある関数 ''N''&nbsp;:&nbsp;'''N'''&nbsp;&rarr;&nbsp;'''N''' と[[実数]]の有限集合の列

:<math>\{ \alpha(n)_{k} | k = n, \dots, N(n) \} ,\ n=1,2,3, \cdots</math> 
:<math>\alpha(n)_{k} \ge 0, \ \sum_{k = n}^{N(n)} \alpha(n)_{k} = 1</math>

が存在して、凸結合

:<math>v_{n} = \sum_{k = n}^{N(n)} \alpha(n)_{k} u_{k}</math>

で定義された ''X'' の要素の列 (''v''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''&isin;'''N'''</sub> が ''u''<sub>0</sub> に強収束する、つまり

:<math>\| v_{n} - u_{0} \| \to 0 \mbox{ as } n \to \infty</math>

となるようにできる。

==参考文献==
* {{cite book
|author1=Renardy, Michael  |author2=Rogers, Robert C.
 |name-list-style=amp |    title = An introduction to partial differential equations
|   series = Texts in Applied Mathematics 13
|  edition = Second
|publisher = Springer-Verlag
| location = New York
|     year = 2004
|    pages = 350
|       isbn = 0-387-00444-0
}}

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{{Functional Analysis}}
{{DEFAULTSORT:ますうるのほたい}}
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