マッケイ三次曲線のソースを表示

[[ユークリッド幾何学]]において、'''マッケイ三次曲線'''（まっけいさんじきょくせん、[[英語|英]]:McCay cubic, M'Cay cubic<ref>{{Cite web |author=Weisstein, Eric W |title=M'Cay Cubic |url=https://mathworld.wolfram.com/MCayCubic.html |website=MathWorld-A Wolfram Web Resource |publisher=Wolfram Research, Inc. |access-date=5 December 2021}}</ref> ,Griffiths cubic<ref name="K003">{{Cite web |author=Bernard Gibert |title=K003 McCay Cubic = Griffiths Cubic |url=http://bernard-gibert.fr/Exemples/k003.html |website=Cubics in the Triangle Plane |publisher=Bernard Gilbert |access-date=5 December 2021}}</ref>）とは、[[三角形]]に関する[[三次曲線]]の一つである<ref>{{Cite book |title=The modern geometry of the triangle |url=http://archive.org/details/cu31924001522782 |publisher=London, F. Hodgson |date=1910 |others=Cornell University Library |first=William |last=Gallatly}}</ref>。'''グリフィス三次曲線'''とも呼ばれる。 Bernard Gibertの「[[Catalogue of Triangle Cubics]]」ではK003として登録されている<ref name="K003" />。

== 定義 ==
[[ファイル:McCayCubicLocus.png|サムネイル|
{{Legend-line|solid blue|基準三角形{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend-line|solid magenta|{{math|△''ABC''}}の[[九点円]]}}
{{Legend-line|solid brown|{{mvar|P}}の[[垂足三角形]]}}
{{Legend-line|solid #03a9fc|{{mvar|P}}の垂足円（垂足三角形の[[外接円]]）}}
{{Legend-line|solid red|'''マッケイ三次曲線''':垂足円と九点円が接するときの{{mvar|P}} の軌跡}}
]]
マッケイ三次曲線はいくつかの[[軌跡 (数学)|軌跡]]として定義される<ref name="K003" />。

* [[垂足三角形|垂足円]]と[[九点円]]が接するような点{{Mvar|P}}の軌跡<ref>{{Cite book |last=John Griffiths |title=Mathematical Questions and Solutions from the Educational Times 2 (1902) 109, and 3 (1903) 29}}</ref>
* 点{{Mvar|P}}と{{Mvar|P}}の[[等角共役点]]と[[外接円|外心]]が[[共線]]である点の軌跡
* [[擬調和三角形]]{{Mvar|DEF}}と元の三角形{{Mvar|ABC}}について{{Math|''AB''⊥''FP'',''BC''⊥''DP'',''CA''⊥''EP''}}となるような（[[対垂三角形|対垂]]であるような）点{{Mvar|P}}の軌跡
* 外心を通る直線と、その直線上の点の等角共役点の軌跡が成す[[接円錐曲線|外接円錐双曲線]]の交点（'''フォントネー点''',Fontene points）の軌跡<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201841.pdf |title=Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points |access-date=2024/2/21 |publisher=Forum Geometricorum |author=Roger C. Alperin}}</ref>

などがある。

== 方程式 ==
マッケイ三次曲線は[[重心座標]] <math>x:y:z</math> を用いて下の式で表される。

: <math>\sum_{\text{cyclic}}(a^2(b^2+c^2-a^2)x(c^2y^2-b^2z^2))=0.</math>

[[三線座標]]<math>\alpha : \beta : \gamma </math>では以下のように表される。

: <math>\alpha (\beta^2 - \gamma^2)\cos A + \beta (\gamma^2 - \alpha^2)\cos B + \gamma (\alpha^2 - \beta^2)\cos C = 0</math>

== 三次曲線上の点 ==
マッケイ三次曲線は以下の点を通る<ref name="K003" /><ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-28}}</ref>。

* [[三角形の内接円と傍接円|内心と傍心]]
* 外心
* [[垂心]]
* 垂心の外心[[チェビアン#チェバ共役|チェバ共役点]]X<sub>1075</sub>
* X<sub>1075</sub>の等角共役点X<sub>3362</sub>
* [[三角形の内接円と傍接円#ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形|ジェルゴンヌ三角形]]の垂心X<sub>65</sub>の、垂心チェバ共役点X<sub>225</sub>のミモザ変換（Mimoza transform,内心の、点Xと垂心の三線座標の積で表される点でのチェバ共役点）X<sub>1745</sub>
* X<sub>1745</sub>の等角共役点X<sub>13855</sub>

== 漸近線 ==
[[ファイル:McCayStelloid.png|サムネイル|マッケイ三次曲線の3つの漸近線]]
Stelloid（不正規双曲線<ref>{{Cite book|和書 |title=国際十進分類法 |year=1948 |publisher=全日本科学技術団体聯合会 |page=513.618.5 |doi=10.11501/1122661}}</ref>）とは3つの[[漸近線]]の成す角が60°である三次曲線を指す。マッケイ三次曲線はStelloidで、漸近線の交点は[[幾何中心|重心]]である<ref name="K003" />。マッケイ三次曲線の漸近線と[[漸近線]]が平行でまた、有限個の点で交わり、circum-stelloid（3つの頂点を通るStelloid）である三次曲線は、'''McCay stelloid'''と呼ばれる。漸近線の交点はStelloidのradial centerと呼ばれる<ref>{{Cite web |author=Bernard Gibert |title=McCay Stelloids |url=https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/files/Resources/stelloidsK003.pdf |website=Catalogue of Triangle Cubics |publisher=Bernard Gilbert |access-date=25 December 2021}}</ref>。 有限個のradial centerが与えられたとき、McCay Stelloidはただ一つに決まる。

== 関連 ==
* [[フォイエルバッハの定理]]
* 第三[[フォントネーの定理]]
* [[三次曲線#三角形の三次曲線|三角形の三次曲線]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>{{デフォルトソート:まつけいさんしきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:三次曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]