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'''マリアヴァン解析'''（マリアヴァンかいせき）とは、確率解析学において伊藤解析と並ぶもう１つの解析方法である。

マリアヴァン解析は、[[ヘルマンダー条件]]が[[確率微分方程式]]の解に対する密度の存在と滑らかさの十分条件であることの証明に貢献した[[ポール・マリアヴァン]]にちなんで名付けられた。[[ラース・ヘルマンダー|ヘルマンダー]]自身による証明は[[偏微分方程式]]の理論に拠った。マリアヴァン解析は[[確率偏微分方程式]]にも応用可能である。

== 概要および沿革 ==
マリアヴァンは、マリアヴァン解析を導入し、ヘルマンダー条件が[[確率微分方程式]]の解の[[確率密度関数|密度]]の存在の十分条件であることに確率論に基づいた証明を与えた。[[ラース・ヘルマンダー|ヘルマンダー]]自身による証明は[[偏微分方程式]]の理論に拠った。 マリアヴァン解析を用いることで、マリアヴァンは解の密度に対する正則性の限界を証明することができた。  マリアヴァン解析には[[Stochastic partial differential equation|確率偏微分方程式]]が応用されている。 

== 不変性原理 ==
実数全体の上での通常の[[ルベーグ積分]]の不変性原理は、すなわち任意の実数εと可積分関数''f''に関して、次が成り立つことを意味する。 

: <math> \int_{-\infty}^\infty f(x)\, d \lambda(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x+\varepsilon)\, d \lambda(x) </math> したがって、 <math>\int_{-\infty}^\infty f'(x)\, d \lambda(x)=0.</math>

ここから、f=ghとすると、次が成り立つため、[[部分積分]]の公式が示される。

: <math>0 = \int_{-\infty}^\infty f' \,d \lambda = \int_{-\infty}^\infty (gh)' \,d \lambda = \int_{-\infty}^\infty g h'\, d \lambda +
\int_{-\infty}^\infty g' h\, d \lambda.</math>

同様の考えは、Cameron-Martin-Girsanovの方向に沿った確率解析において応用することができる。実際に、 <math>h_s</math>を二乗可積分である予測可能な過程であるとし、以下を仮定する。

: <math> \varphi(t) = \int_0^t h_s\, d s .</math>

<math>X</math>が [[ウィーナー過程]]であるならば、Girsanovの定理により次の不変原理のアナロジーが得られる。

: <math> E(F(X + \varepsilon\varphi))= E \left [F(X) \exp \left ( \varepsilon\int_0^1 h_s\, d X_s -
\frac{1}{2}\varepsilon^2 \int_0^1 h_s^2\, ds \right ) \right ].</math>

εに関して両側で微分し、ε=0で評価すると、次の部分積分の公式を得る。

: <math>E(\langle DF(X), \varphi\rangle) = E\Bigl[ F(X) \int_0^1 h_s\, dX_s\Bigr].
</math>

ここで、左辺は、 方向 <math>\varphi</math>での確率変数 <math>F</math>の マリアヴァン微分であり、右辺に出てくる積分は伊藤積分であると解釈される。 

== Clark-Oconeの公式 ==
マリアヴァン解析から得られるもっとも有用な結果の一つは、[[Martingale representation theorem|マルチンゲールの表現定理]]における過程が明示的に識別可能になる[[Clark-Ocone theorem|Clark-Oconeの公式]]である。この定理の単純化したものが以下になる。

<math> E(F(X)^2) < \infty</math>を満たし、リプシッツ連続であり、強い導関数の核を持つ<math>F: C[0,1] \to \R</math>に対して、すなわち、'C''[0,1]の<math>\varphi</math>に対し

: <math> \lim_{\varepsilon \to 0} (1/\varepsilon)(F(X+\varepsilon \varphi) - F(X) ) = \int_0^1 F'(X,dt) \varphi(t)\ \mathrm{a.e.}\ X</math>

であり

: <math>F(X) = E(F(X)) + \int_0^1 H_t \,d X_t</math>となるとき、

ここで''H''は''F''<nowiki>'</nowiki>(''x'', (''t'',1])の予測可能な射影であり、これは、変域の一部(''t'',1]上の過程''X''の適切な平行移動に関して、関数''F''の導関数とみなせる。

これは以下のようにより簡潔に表せることがある。

: <math>F(X) = E(F(X))+\int_0^1 E (D_t F | \mathcal{F}_t ) \, d X_t .</math>

== 応用 ==
マリアヴァン解析では、 [[確率変数]]による[[部分積分]]が可能である 。この操作は、 [[デリバティブ]]の感応度を計算するのに[[数理ファイナンス|数学ファイナンス]]で用いられる。 マリアヴァン解析は、例えば[[Stochastic control|確率的フィルタリング]]において用途を有する。 

== 参考文献 ==

* Kusuoka, S. and Stroock, D. (1981) "Applications of Malliavin Calculus I", ''Stochastic Analysis, Proceedings Taniguchi International Symposium Katata and Kyoto'' 1982, pp 271–306
* Kusuoka, S. and Stroock, D. (1985) "Applications of Malliavin Calculus II", ''J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math.'', 32 pp 1–76
* Kusuoka, S. and Stroock, D. (1987) "Applications of Malliavin Calculus III", ''J. Faculty Sci. Univ. Tokyo Sect. 1A Math.'', 34 pp 391–442
* Malliavin, Paul and Thalmaier, Anton. ''Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance'', Springer 2005, {{ISBN2|3-540-43431-3}}
* {{Cite book|last=Nualart|first=David|title=The Malliavin calculus and related topics|edition=Second|publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-28328-7}}
* Bell, Denis. (2007) ''The Malliavin Calculus'', Dover. {{ISBN2|0-486-44994-7}}
* Schiller, Alex (2009) [https://web.archive.org/web/20110903171132/http://www.alexschiller.com/media/Thesis.pdf ''Malliavin Calculus for Monte Carlo Simulation with Financial Applications'']. Thesis, Department of Mathematics, Princeton University
* Øksendal, Bernt K..(1997) [http://www.quantcode.com/modules/wflinks/visit.php?cid=11&lid=4 ''An Introduction To Malliavin Calculus With Applications To Economics'']. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, University of Oslo (Zip file containing Thesis and addendum)
* Di Nunno, Giulia, Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance", Universitext, Springer. {{ISBN2|978-3-540-78571-2}}

== 外部リンク ==
* {{Cite web|url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~peter/malliavin/Malliavin2005/mall.pdf|title=An Introduction to Malliavin Calculus|accessdate=2007-07-23|author=Friz|first=Peter K.|date=2005-04-10|format=PDF|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070417205303/http://www.statslab.cam.ac.uk/~peter/malliavin/Malliavin2005/mall.pdf|archivedate=2007-04-17}} 講演では、43ページ
* {{Cite web|url=http://frank-oertel-math.de/PhD_thesis_on_Malliavin_Calculus_incl_copy_of_FO.pdf|title=The Malliavin Calculus|accessdate=2004-11-11|author=Zhang|first=H.|date=2004-11-11|format=PDF}} 論文に、100ページ

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