マルコフの不等式のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年4月10日 (水) 13:36 (UTC)}}
'''マルコフの不等式'''（マルコフのふとうしき、{{lang-en-short|Markov's inequality}}）は、[[確率論]]で、[[確率変数]]の非負値[[関数 (数学)|関数]]の値が、ある正の[[定数]]以上になる[[確率]]の[[上限 (数学)|上限]]を与える不等式である。[[アンドレイ・マルコフ]]が証明した。

マルコフの不等式は確率と[[期待値]]の関係を述べたもので、確率変数の[[累積分布関数]]に関して大まかではあるが有用な限界を与える。

== 定式化 ==
マルコフの不等式は、[[測度論]]的には、(''X'', Σ, μ) を[[測度空間]]とし、''f'' を拡張[[実数]]値（無限大もとりうる）[[可測関数]]とし、''t'' > 0 とすれば、
:<math> \mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu</math>
であることを述べる。空間の測度が 1 である特別な場合（つまり確率空間である）には、次のように言い換えられる：

''X'' を任意の確率変数とし、''a'' > 0 とすると、
:<math>\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}</math>

== 確率論における証明 ==
測度空間が確率空間である場合は証明が単純で分かりやすいので、この場合の証明をまず別に示そう。

任意の事象 ''E'' に対して、''I{{sub|E}}'' を ''E'' の特性確率変数、つまり ''E'' が起きるならば ''I{{sub|E}}'' = 1、そうでないならば = 0 であるとする。すると、事象 ''X'' ≥ ''a'' が起きるならば ''I''{{sub|(''X'' ≥ ''a'')}} = 1 であり、''X'' < ''a'' ならば ''I''{{sub|(''X'' ≥ ''a'')}} = 0 である。そこで
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|</math>
ゆえに
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|)</math>
ここでこの不等式の左辺は
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a)\,</math>
と同じであることが解る。従って
:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,</math>
となり、 ''a'' > 0 だから、両辺を ''a'' で割ればよい。

== 一般的証明 ==
任意の可測集合 ''A'' に対して、1{{sub|''A''}} をその[[指示関数|特性関数]]、つまり ''x'' ∈ ''A'' ならば 1{{sub|''A''}}(''x'') = 1 、そうでなければ 0 としよう。''A{{sub|t}}'' を ''A{{sub|t}}'' = {''x'' &isin; ''X''| |''f''(''x'')| &ge; ''t''} として定義すれば、
:<math>0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|</math>
となり、ゆえに
:<math>\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu</math>
ここで、この不等式の左辺は
:<math>t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t)</math>
と同じであることに注意しよう。すると
:<math>t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu</math>
であり、また ''t'' > 0 であるから、両辺を ''t'' で割れば
:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu</math>
となる。

== 応用例 ==
* マルコフの不等式は、[[チェビシェフの不等式]]の証明に用いられる。
* ''X'' を非負[[整数]]値確率変数とする（[[組合せ論]]でよくあるように）と、マルコフの不等式で ''a'' = 1 とすることにより <math>\textrm{Pr}(X \neq 0) \leq \textrm{E}(X)</math> が得られる。''X'' をある[[集合]]の[[濃度 (数学)|濃度]]とすると、これからこの集合は[[空集合]]ではないことが証明される。このように存在証明への応用も可能である。

== 関連項目 ==
* [[チェビシェフの不等式]]
* {{ill|へフディングの不等式|en|Hoeffding's inequality}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|937|マルコフの不等式とその証明}}

{{DEFAULTSORT:まるこふのふとうしき}}
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[[Category:不等式]]
[[Category:アンドレイ・マルコフ]]
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