マルコフ確率場のソースを表示

{{翻訳中途|1=[[:en:Markov_random_field]] 9 October 2017 12:33 UTC|date=2017年11月}}
{{物理学}}
<!--[[ファイル:Markov_random_field_example.png|サムネイル|マルコフ確率場の例。それぞれの辺が従属性を表す。AはB、Dに依存している。BはA、Dに依存している。DはA、B、Dに依存している。EはD、Cに依存している。CはEに依存している。]]-->

[[物理学]]や[[統計学]]において、 '''マルコフ確率場''' ('''Markov Random Field'''; '''MRF''')、'''マルコフネットワーク'''、'''無向[[グラフィカルモデル]]'''とは、[[無向グラフ]]で表現されるような[[マルコフ性]]のある確率変数の集合を指す。言い換えると、{{仮リンク|確率場|en|Random_field}}が[[マルコフ性]]を満たす場合にマルコフ確率場と呼ばれる。

マルコフ確率場は、従属性の表現の仕方においては[[ベイジアンネットワーク]]に似ている。違いは、[[ベイジアンネットワーク]]では従属性は有向非巡回であるのに対し、マルコフ確率場では無向で巡回していても構わないことである。このように、マルコフ確率場は[[ベイジアンネットワーク]]で表現できない種類の従属性を表現できる（たとえば、従属性が巡回するもの）。他方、マルコフ確率場で表現できないが、[[ベイジアンネットワーク]]で表現できる従属性もある（例えば、因果関係）。マルコフ確率場の[[グラフ (離散数学)|グラフ]]は、有限・無限どちらもありうる。

確率変数同士の同時確率が[[狭義正測度]]であるとき、マルコフ確率場は[[ギブス確率場]]とも呼ばれる。これは、{{仮リンク|Hammersley-Clifford の定理|en|Hammersley-Clifford_theorem}}により、確率変数同士の同時確率が真に正なマルコフ確率場は、適切な（局所的な）エネルギー関数を持つ{{仮リンク|ギブス測度|en|Gibbs_measure}}で表現できるからである。初期のマルコフ確率場としては[[イジング模型]]がある。それどころか、マルコフ確率場は[[イジング模型]]を一般化する形で導出された。<ref>Kindermann, Ross; Snell, J. Laurie (1980). Markov Random Fields and Their Applications (PDF). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-5001-6. MR 0620955.</ref>

== 定義 ==
[[無向グラフ]] <math>{\displaystyle G=(V,E)}</math> 、および変数の集合<math>{\displaystyle X=(X_{v})_{v\in V}}</math> が与えられ、それらが以下の[[マルコフ性]]の仮定を満たすとき、マルコフ確率場を成す。<ref name=watanabe2016graphical>渡辺有祐. (2016). グラフィカルモデル. 講談社.</ref>

: '''ペアワイズマルコフ性''': 隣接しない任意の二変数が、他のすべての変数を与えられたきに条件付き独立になる:
:: <math>{\displaystyle X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{v}\mid X_{V\setminus \{u,v\}}}</math>
: '''局所マルコフ性''': ある変数に直接つながっている変数が条件付けられたとき、その変数が他のすべての変数と条件付き独立になる:
:: <math>{\displaystyle X_{v}\perp \!\!\!\perp X_{V\setminus \operatorname {N} [v]}\mid X_{\operatorname {N} (v)}}</math>
: なお、<math>{\textstyle \operatorname {N} (v)}</math>は<math>{\displaystyle v}</math>に隣接するノードの集合を表す。
: '''大域マルコフ性''': 確率変数の集合の任意の二つの部分集合が、その二つを分割するような部分集合を与えられたとき、条件付き独立になる:
:: <math>X_A \perp\!\!\!\perp X_B \mid X_S</math>
: なお、ノード <math>A</math> からノード <math>B</math> に至るすべての経路が <math>S</math> を通るものとする。

上記の三つの[[マルコフ性]]は等価ではない。大域マルコフ性は局所マルコフ性より強い仮定であり、局所マルコフ性はペアワイズマルコフ性より強い仮定である。ただし、同時分布が[[狭義正測度]]であれば、交差律より上記の三つの[[マルコフ性]]は同値になる。<ref name=watanabe2016graphical/>

== クリーク分解 ==
確率変数の集合 <math>X = (X_v)_{v\in V}</math> が与えられたとすると、 <math>X</math> は集合なので、 <math>X</math> がある値 <math>x</math> を取る確率は、 <math>X_v</math> の[[同時確率]]と解釈できる。

もしこの同時確率が、次のようにグラフ<math>G</math>のクリークに分解可能であったとする:

:<math>P(X=x) = \prod_{C \in \operatorname{cl}(G)} \phi_C (x_C) </math>

ここで、<math>\operatorname{cl}(G)</math>は<math>G</math>におけるクリークの集合である。クリーク分解可能であるとき、大域マルコフ性が成り立ち、<math>X</math> はグラフ<math>G</math>に対してマルコフ確率場を成す。


== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
[[ボルツマンマシン]]

{{DEFAULTSORT:まるこふかくりつは}}
[[Category:物理学]]
[[Category:統計学]]
[[Category:グラフィカルモデル]]
[[Category:機械学習]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]