マルファッティの円のソースを表示

[[File:Malfatti's circles.svg|thumb|300px|マルファッティの円]]

[[幾何学]]における'''マルファッティの円'''（マルファッティのえん）は、それぞれが[[三角形]]の2辺に接し互いに外接する3つの円の名称である。名前はこの円を（誤った予想と共に）初期に研究した[[ジアン・フランチェスコ・マルファッティ]]([[:en:Gian Francesco Malfatti|en]])に由来する。

'''マルファッティの問題'''という言葉は、「マルファッティの円を作図する」「三角形内で合計面積が最大となる3つの円を求める」という2通りの意味で使用される。

== マルファッティの問題 ==
[[File:Malfatti circles in equilateral triangle.svg|thumb|275px|[[正三角形]]におけるマルファッティの円と最大面積の円。ただし、右図においては、小さな円をひとつ無視する。]]

1803年に[[ジアン・フランチェスコ・マルファッティ|マルファッティ]]は、「大理石の[[三角柱]]から3つの円柱を切り出し、その合計体積を最大にする」という問題を提起した。彼は、マルファッティの円が最適解を示すと予想していた。

マルファッティの問題はイタリア語で出版されたため、多くの人の目には止まらなかった。フランスの[[ジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌ|ジェルゴンヌ]]が ''Annales''([[:fr:Annales de Gergonne|fr]])1810-11 に取り上げたことで、約10号にわたって議論が続けられた。ただし、ジェルゴンヌはこの問題を最大面積の問題ではなく円の接触に関する問題として紹介したため、最大面積の結論にはたどり着いていない。

{{harvs|last1=Lob|last2=Richmond|year=1930|txt}} によって、マルファッティの予想が間違いだと示された。彼らはイタリア語の原典を確認し、最大面積の問題を研究した。彼らは[[貪欲法]]によって得られる3つの円がマルファッティの円の面積を上回ることがあるのを見つけた<ref group="注釈">ここでいう貪欲法とは、次のような手続きである。まず、三角形から最大の円を切り取る（これは当然内接円である）。次に、切り取った残りの3つの部分から、最大の円を切り取る。最後に、切り取った残りの5つの部分から、最大の円を切り取る。3つより多くの円を切り取る場合も、以下同様である。</ref>。[[正三角形]]において面積差は1%程度である{{sfnp|Wells|1991}}。[[ハワード・イーヴス|ハワード・イーブズ]]は、頂角が狭い[[二等辺三角形]]の場合、貪欲法で得られる円の面積がマルファッティの円の面積の約2倍になることを見つけた<ref>{{harvtxt|Eves|1946}}; {{harvtxt|Ogilvy|1990}}.</ref>。

{{harvs|last=Goldberg|year=1967|txt}}は、任意の三角形において Lob とリッチモンドの方法がマルファッティの円よりも大きい円を与えることを示した。{{harvs|last1=Zalgaller|last2=Los'|year=1994|txt}}は、円の置き方を分類することで任意の三角形に対して最大面積の円を見つける方法を示した。1997年に Melissen は博士論文で、任意の n に対し最大面積を与えるn個の円が貪欲法で求められると予想し、{{math|''n'' ≤ 3}} で正しいことが知られている<ref>{{harvtxt|Andreatta|Bezdek|Boroński|2010}}.</ref>。

== 歴史 ==
18世紀に日本の[[安島直円]]がこのような問題を研究している。この研究は安島の死後弟子の[[日下誠]]によってまとめられている{{sfnp|Fukagawa|2008}}。更に古い記録として、1384年に Gilio di Cecco da Montepulciano が書いたと思われる記録が[[シエーナ]]の図書館で見つかっている{{sfnp|Simi|Toti Rigatelli|1993}}。
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Since the work of Malfatti, there has been a significant amount of work on methods for constructing Malfatti's three tangent circles; [[Richard K. Guy]] writes that the literature on the problem is "extensive, widely scattered, and not always aware of itself".<ref name="guy07"/> Notably, in 1826 [[Jakob Steiner]] presented a simple geometric construction based on [[bitangent]]s; other authors have since claimed that Steiner's presentation lacked a proof, which was later supplied by [[Andrew Searle Hart|Andrew Hart]] (1856), but Guy points to the proof scattered within two of Steiner's own papers from that time. Lob and Richmond cite solutions by [[C. L. Lehmus]] (1819), [[Eugène Charles Catalan]] (1845), J. Derousseau (1895), A. Pampuch (1904), and J. L. Coolidge (1916), all based on algebraic formulations of the problem. The algebraic solutions do not distinguish between internal and external tangencies among the circles and the given triangle; if the problem is generalized to allow tangencies of either kind, then a given triangle will have 32 different solutions<ref>{{harvtxt|Bottema|2001}} credits the enumeration of these solutions to Pampuch (1904), but Cajori (1893) notes that this count of the number of solutions was already given in an 1826 remark by Steiner.</ref> and conversely a triple of mutually tangent circles will be a solution for eight different triangles.<ref name="guy07"/> {{harvtxt|Bottema|2001}} and {{harvtxt|Guy|2007}} cite additional work on the problem and its generalizations by C. Adams (1846), Adolphe Quidde (1850), K. H. Schellbach (1853), [[Arthur Cayley]] (1854, 1857, 1875), [[Alfred Clebsch]] (1857), P. Simons (1874), [[John Casey (mathematician)|J. Casey]] (1888), Rouché and Comberousse (1900), [[H. F. Baker]] (1925), [[Leonard James Rogers|L. J. Rogers]] (1928), Angelo Procissi (1932), Jun Naito (1975), and D. G. Rogers (2005).

{{harvtxt|Gatto|2000}} and {{harvtxt|Mazzotti|1998}} recount an episode in 19th-century [[Kingdom of the Two Sicilies|Neapolitan]] mathematics related to the Malfatti circles. In 1839, Vincenzo Flauti, a [[synthetic geometry|synthetic geometer]], posed a challenge involving the solution of three geometry problems, one of which was the construction of Malfatti's circles; his intention in doing so was to show the superiority of synthetic to analytic techniques. Despite a solution being given by Fortunato Padula, a student in a rival school of [[analytic geometry]], Flauti awarded the prize to his own student, Nicola Trudi, whose solutions Flauti had known of when he posed his challenge. More recently, the problem of constructing the Malfatti circles has been used as a test problem for [[computer algebra system]]s.<ref>{{harvtxt|Hitotumatu|1995}}; {{harvtxt|Takeshima|Anai|1996}}.</ref>
-->

== シュタイナーの作図 ==
[[File:Construction of Malfatti circles.svg|thumb|right|360px|シュタイナーによる作図法]]

初期の構成法では[[解析幾何学]]がよく用いられていた。1826年に[[ヤコブ・シュタイナー]]は[[統合幾何学]]を用いた以下の方法を与えている。

三角形の2辺に接する円の中心は、[[角の二等分線]]（図の緑色の線）上にある。角の2等分線によって三角形は3つの部分に分けられる。この小さい三角形それぞれの内接円（図の点線の円）を描く。これらの円の2つを通る共通内接線は2本ずつあるが、角の2等分線でないものを図に赤の点線で示した。三角形の3辺を {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} とし、赤い点線を {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}} とする。ここで、{{mvar|x}} は {{mvar|a}} に接しない2円の共通接線とし、{{mvar|y}}, {{mvar|z}} も同様とする。3つの四角形 {{math|''abyx''}}, {{math|''aczx''}}, {{math|''bczy''}} の[[内接円]]が求めるマルファッティの円である<ref>{{harvtxt|Martin|1998}}, exercise 5.20, p.96.</ref>。共通接線が辺と交わる点は、もう1つの円と辺の接点でもある。その点が角の2等分線に対して対称の位置にある点は、内接円の中心同士を結ぶ線上にある<ref name="guy07">{{harvtxt|Guy|2007}}.</ref>。

== 半径の大きさ ==
マルファッティの円の半径は、3辺の長さを {{math|''a'', ''b'', ''c''}}、内接円の半径を {{mvar|r}}、周長の半分を {{math|1=s = (a + b + c)/2}}、内心から長さ {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} の辺に向かい合う各頂点までの距離をそれぞれ {{mvar|d}}, {{mvar|e}}, {{mvar|f}} としたとき、以下の式で表すことができる。
:<math>r_1 = \frac{r}{2(s-a)}(s+d-r-e-f),</math>
:<math>r_2 = \frac{r}{2(s-b)}(s+e-r-d-f),</math>
:<math>r_3 = \frac{r}{2(s-c)}(s+f-r-d-e).</math>
この式は 1811年にマルファッティが発表している。

この式は有理式なので、3辺と内接円の半径と内心から各頂点への距離がすべて有理数であれば、マルファッティの円の半径も有理数になる。たとえば、3辺が 28392, 21000, 25872 であれば内接円の半径は 6930 であり、マルファッティの円の半径は 3969, 4900, 4356 となる。また、3辺を 152460, 165000, 190740 とすれば内接円の半径は 47520 であり、マルファッティの円の半径は 27225, 30976, 32400 となる{{sfnp|Miller|1875}}。

== 安島-マルファッティ点 ==
[[File:Primo punto di Malfatti.svg|thumb|300px|第1安島-マルファッティ点]]

与えられた三角形 ''ABC'' のマルファッティの円同士の接点を ''D'', ''E'', ''F'' とする。ただし、''D'' を ''BC'' に接する2円の接点とする。このとき ''AD'', ''BE'', ''CF'' は1点で交わる。この交点を「第1安島-マルファッティ点」と呼ぶ。三角形の3つの傍心を ''I<sub>A</sub>'', ''I<sub>B</sub>'', ''I<sub>C</sub>'' としたとき、''I<sub>A</sub>D'', ''I<sub>B</sub>E'', ''I<sub>C</sub>F'' の交点を「第2安島-マルファッティ点」と呼ぶ<ref>{{mathworld|title=Ajima-Malfatti Points|urlname=Ajima-MalfattiPoints}}.</ref><ref>C. Kimberling, [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers], X(179) and X(180).</ref>。

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Other triangle centers also associated with the Malfatti circles include the Yff–Malfatti point, formed in the same way as the first Malfatti point from three mutually tangent circles that are all tangent to the lines through the sides of the given triangle, but that lie partially outside the triangle,<ref>Encyclopedia of Triangle Centers, X(400).</ref> and the [[power center (geometry)|radical center]] of the three Malfatti circles.<ref>{{harvtxt|Stevanović|2003}}.</ref>
-->

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== 関連項目 ==
*[[Circle packing in an equilateral triangle]]
*[[Circle packing in an isosceles right triangle]]
*[[Six circles theorem]]
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== 注釈 ==
<references group="注釈" />

== 出典 ==
{{reflist|colwidth=30em}}

== 参考文献 ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{citation
 | last1 = Andreatta | first1 = Marco
 | last2 = Bezdek | first2 = András
 | last3 = Boroński | first3 = Jan P.
 | doi = 10.1007/s00283-010-9154-7
 | issue = 1
 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]]
 | pages = 72–76
 | title = The problem of Malfatti: two centuries of debate
 | url = http://alpha.science.unitn.it/~andreatt/Malfatti.pdf
 | volume = 33
 | year = 2010}}.
*{{citation|title=Geometric problems on maxima and minima|first1=Titu|last1=Andreescu|first2=Oleg|last2=Mushkarov|first3=Luchezar N.|last3=Stoyanov|publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-0-8176-3517-6|pages=80–87|url=https://books.google.co.jp/books?id=Gvrr-7wt__gC&pg=PA80&redir_esc=y&hl=ja|contribution=2.3 Malfatti's Problems}}.
*{{citation
 | last = Bottema | first = Oene
 | mr = 1891514
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 43–50
 | title = The Malfatti problem
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200107.pdf
 | volume = 1
 | year = 2001}}.
*{{citation|title=A history of mathematics|first=Florian|last=Cajori|publisher=Macmillan & Co.|year=1893|page=296|url=https://books.google.co.jp/books?id=bfgRxVzjbMYC&pg=PA296&redir_esc=y&hl=ja}}.
*{{citation|last=Dörrie|first= H. |contribution=§30. Malfatti's Problem|title=100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions|location=New York|publisher=Dover|pages=147–151|year= 1965|isbn=0-486-61348-8|url=https://books.google.co.jp/books?id=i4SJwNrYuAUC&pg=PA147&redir_esc=y&hl=ja}}.
*{{citation|last=Eves|first=Howard|authorlink=Howard Eves|contribution=Malfatti Problem (problem 4145)|title=Problems and Solutions|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=53|issue=5|year=1946|pages=285–286|jstor=2305117}}.
*{{citation|title=Sacred mathematics: Japanese temple geometry|first1=Hidetoshi|last1=Fukagawa|first2=Tony|last2=Rothman|publisher=Princeton University Press|year=2008|isbn=978-0-691-12745-3|page=79|url=https://books.google.co.jp/books?id=OxKKDCmGDlEC&pg=PA79&redir_esc=y&hl=ja}}.
* {{citation
 | last = Gatto | first = Romano
 | mr = 1834240
 | journal = Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti in Napoli. Rendiconto dell'Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche. Serie IV
 | pages = 181–233
 | title = The debate about methods and Vincenzo Flauti's challenge to the mathematicians of the Kingdom of Naples
 | volume = 67
 | year = 2000}}.
*{{citation|last=Goldberg|first= M.|title=On the Original Malfatti Problem|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=40|pages= 241–247|year= 1967|jstor=2688277|mr=1571715}}.
*{{citation
 |last        = Guy
 |first       = Richard K.
 |authorlink  = Richard K. Guy
 |mr          = 2290364
 |issue       = 2
 |journal     = [[American Mathematical Monthly]]
 |pages       = 97–141
 |title       = The lighthouse theorem, Morley & Malfatti—a budget of paradoxes
 |jstor       = 27642143
 |url         = http://www.math.ucalgary.ca/files/publications/3414848.pdf
 |volume      = 114
 |year        = 2007
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20110706211211/http://math.ucalgary.ca/files/publications/3414848.pdf
 |archivedate = 2011年7月6日
 |deadurldate = 2017年9月
}}.
*{{citation
 | last = Hitotumatu | first = Sin
 | mr = 1385273
 | volume = 915
 | series = Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku
 | title = The state of the art of scientific computing and its prospects, II
 | language = Japanese
 | pages = 167–170
 | contribution = The Malfatti problem
 | year = 1995}}.
*{{citation|first1=H.|last1=Lob|first2=H. W.|last2=Richmond|title=On the Solutions of Malfatti's Problem for a Triangle|journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]]|year=1930|series=2nd ser.|volume=30|issue=1|pages=287–304|doi=10.1112/plms/s2-30.1.287}}.
*{{citation|title=Geometric Constructions|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=George Edward|last=Martin|publisher=Springer-Verlag|year=1998|isbn=978-0-387-98276-2|url=https://books.google.co.jp/books?id=ABLtD3IE_RQC&pg=PA92&redir_esc=y&hl=ja|contribution=Malfatti's Problem|pages=92–95}}. The cover of Martin's book features an illustration of the Malfatti circles.
*{{citation
 | last = Mazzotti | first = Massimo
 | doi = 10.1086/384160
 | mr = 1670633
 | issue = 4
 | journal = [[Isis (journal)|Isis]]
 | pages = 674–701
 | title = The geometers of God: mathematics and reaction in the kingdom of Naples
 | url = http://history.berkeley.edu/faculty/Mazzotti/The%20Geometers%20of%20God.pdf
 | volume = 89
 | year = 1998}}.
*{{citation
 | last = Melissen | first = J.B.M. 
 | format = PhD thesis
 | title = Packing and Covering with Circles
 | place = Utrecht University
 | year = 1997}}.
*{{citation|title=Mathematical questions with their solutions, from the "Educational times"|editor-first=W. J. C.|editor-last=Miller|year=1875|publisher=Hodgson|contribution=Problem 4331|page=70--71|url=http://dbooks.bodleian.ox.ac.uk/books/PDFs/600030296.pdf}}. Proposed by [[Artemas Martin]]; solved by the proposer and by Asher B. Evans; compare Martin's Question 4401,also in this volume, pp. 102-103, again solved by Evans and Martin. Note further that Martin had asked for a geometrical solution in [http://dbooks.bodleian.ox.ac.uk/books/PDFs/555078161.pdf ''The Lady's and Gentleman's Diary''] for 1869 (so appearing in late 1868), with solution in the LDG for the following year, pp. 89-90. Versions of the problem then appear from 1879 in ''The Mathematical Visitor'', edited by Martin. A solver of the first of these, Marcus Baker, proposed the second; he also presented a talk surveying the subject to the Philosophical Society of Washington in 1877 that then appeared in the Society's ''Bulletin''. This survey is perhaps the first in English to cite the work of Adolph Gustav Quidde, but copied in from a survey in German. 
* {{Citation | last = Ogilvy |first=C. Stanley | year = 1990 | title = Excursions in Geometry | publisher = Dover | isbn = 0-486-26530-7 | pages = 145–147|contribution=Malfatti's problem|url=https://books.google.co.jp/books?id=B2eLvr-jiG4C&pg=PA145&redir_esc=y&hl=ja }}.
*{{citation
 | last1 = Simi | first1 = A.
 | last2 = Toti Rigatelli | first2 = L.
 | contribution = Some 14th- and 15th-century texts on practical geometry
 | mr = 1258835
 | location = Amsterdam
 | pages = 453–470
 | publisher = Rodopi
 | title = Vestigia mathematica
 | year = 1993}}.
*{{citation
 | last = Stevanović | first = Milorad R.
 | mr = 2004112
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 83–93
 | title = Triangle centers associated with the Malfatti circles
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200308.pdf
 | volume = 3
 | year = 2003}}.
* {{citation
 | last1 = Takeshima | first1 = Taku
 | last2 = Anai | first2 = Hirokazu
 | mr = 1410316
 | volume = 941
 | series = Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku
 | title = Studies in the theory of computer algebra and its applications
 | language = Japanese
 | pages = 15–24
 | contribution = Computer algebra applied to Malfatti's problem of constructing three tangent circles inside a triangle—the construction of towers over the field of rational functions
 | year = 1996}}.
* {{citation | last = Wells |first = David | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 145–146|contribution=Malfatti's problem}}.
*{{citation
|title=The solution of Malfatti's problem
|last1=Zalgaller|first1= V.A. |author1-link=Victor Zalgaller|last2= Los'|first2= G.A.
|journal=Journal of Mathematical Sciences
|volume=72
|issue=4
|pages=3163&ndash;3177
|year=1994
|doi=10.1007/BF01249514}}.
{{refend}}

== 外部リンク ==
{{Commons category|Malfatti circles}}
* {{mathworld|urlname=MalfattiCircles|title=Malfatti Circles}}
* {{mathworld|urlname=MalfattisProblem|title=Malfatti's Problem}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Malfatti.shtml Malfatti's Problem]

{{DEFAULTSORT:まるふあつていのえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]