マンデルブロ集合のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
{{正確性|date=2015年3月}}
[[ファイル:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|322px|thumb|マンデルブロ集合]]
[[数学]]、特に[[複素力学系]]における'''マンデルブロ集合'''（マンデルブロしゅうごう、{{Lang-en-short|''Mandelbrot set''}} ）は、 [[充填ジュリア集合]]に対する指標として提唱された[[集合]]である。[[数学者]][[ブノワ・マンデルブロ]]の名に因む。

== 定義 ==
[[ファイル:Mandelbrot sets by FractScope.jpg|right|270px|thumb|左上：場所 a の拡大図，右上：場所 b の拡大図，左下：場所 c の拡大図，右下：全体図]]
次の[[漸化式]]

:<math>
\begin{cases}
z_{n+1} = z_n^2 + c \\
z_0 = 0
\end{cases}
</math>

で定義される[[複素数|複素]][[数列]] {''z''<sub>''n''</sub>}<sub>''n''&isin;'''N∪{0}'''</sub> が ''n'' &rarr; &infin; の[[極限]]で[[無限|無限大]]に[[極限#数列の極限|発散]]しないという条件を満たす複素数 ''c'' 全体が作る集合がマンデルブロ集合である<ref>{{Cite web|和書|title=マンデルブロ集合とは|url=https://azisava.sakura.ne.jp/mandelbrot/definition.html|website=マンデルブロ集合の不思議な世界|accessdate=2020-07-27|language=ja}}</ref>。

複素数 ''c'' を[[複素平面]]上の点として（あるいは同じことだが ''c'' = ''a'' + ''ib'' と表して ''c'' を ''xy''-平面上の点 (''a'', ''b'') として）表すと、この平面上でマンデルブロ集合は[[フラクタル幾何|フラクタル図形]]として表される。右に示した 4 つの図は複素平面上でのマンデルブロ集合である。右下が全体像、他の 3 つの図は各部の拡大像である。図中の黒い部分がマンデルブロ集合に相当し、周囲の色は発散する速さを表している。

複素平面上においてマンデルブロ集合の大半の面積を占めるのは、原点を含む[[カージオイド]]に無数の円が外接し、その円にさらに無数の小さい円が外接することを無限に繰り返してできるフラクタル図形である。さらに、周囲を拡大すると、このフラクタル図形に類似した「飛び地」のような図形（図左上など）が無数に見られる。また、これらの図形を包含する、発散の遅い領域もやはり[[フラクタル]]の特徴を有しており、螺旋・相似等の多様な図形要素を構成する（[[#拡大イメージ]]参照）。マンデルブロ集合全体は、「飛び地」を含め、[[連結空間|連結]]であることが証明されている。

マンデルブロ集合の周を拡大すると繰り返し現れる「飛び地」はマンデルブロ集合全体に良く似ているものの、互いに異なっている。つまりマンデルブロ集合の周は''自己相似ではないフラクタル''の一種であり、その[[相似次元]]は''平面内の曲線としては最大の2次元''である。{{要出典範囲|このことはマンデルブロの予想と呼ばれ未解決問題の一つ|date=2023年12月}}だったが、{{要検証範囲|[[宍倉光広]]によって肯定的に証明|date=2023年12月}}された。

なお、上式で ''z''<sub>0</sub> を 0 以外の複素数にした場合、マンデルブロ集合の周が変形し、[[ジュリア集合]]に似たフラクタル状の曲線が現れる。

マンデルブロ集合を複素数を使わずに書き直すには、''z''<sub>''n''</sub> を点 (''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>''n''</sub>) に、''c'' を点 (''a'', ''b'') にそれぞれ置き代えて、

:<math>
\begin{cases}
x_{n+1} = x_n^2 - y_n^2 + a \\
y_{n+1} = 2x_n y_n + b
\end{cases}
</math>

とすればよい。

== 拡大イメージ ==
{| border=0
|-
|[[画像:mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|140px]]<br />全体図
|[[画像:mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|140px]]<br />拡大 1
|[[画像:mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|140px]]<br />拡大 2
|[[画像:mandel zoom 03 seehorse.jpg|140px]]<br />拡大 3
|[[画像:mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|140px]]<br />拡大 4
|-
|[[画像:mandel zoom 05 tail part.jpg|140px]]<br />拡大 5
|[[画像:mandel zoom 06 double hook.jpg|140px]]<br />拡大 6
|[[画像:mandel zoom 07 satellite.jpg|140px]]<br />拡大 7
|[[画像:mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|140px]]<br />拡大 8
|[[画像:mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|140px]]<br />拡大 9
|-
|[[画像:mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|140px]]<br />拡大 10
|[[画像:mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|140px]]<br />拡大 11
|[[画像:mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|140px]]<br />拡大 12
|[[画像:mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|140px]]<br />拡大 13
|[[画像:mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|140px]]<br />拡大 14
|}

== フリー・フラクタル発生プログラム ==
マンデルブロ集合を高解像度で描画しようとするほど、膨大な計算時間を必要とするようになっていくことから、コンピュータの[[ベンチマーク|ベンチマークテスト]]として利用されることがある。また、描き出される図形の幾何学的な美しさから鑑賞を目的として美麗な描画を行うプログラムもある。

* [https://web.archive.org/web/20090206141840/http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html Fractint] (ほとんどのプラットフォームをサポート)
* [http://skyscraper.fortunecity.com/terabyte/966 Makin' Magic Fractals]
* [http://www.chaospro.de ChaosPro] - for Microsoft Windows
* [https://github.com/xaos-project/XaoS Xaos] - リアルタイム発生プログラム - Windows, Mac, Linux, etc.
* [http://www.bridge1.com/amseq.html Amseq] - マンデルブロ集合（フラクタル）アニメーションを描き出す Mac OS X 用スクリーンセーバー

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Mandelbrot sets}}
* [[複素力学系]]
* [[充填ジュリア集合]]
* [[フラクタル]]
* [[ブノワ・マンデルブロ]]

{{Fractals}}

{{デフォルトソート:まんてるふろしゆうこう}}
[[Category:フラクタル]]
[[Category:複素力学系]]
[[Category:ブノワ・マンデルブロ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]