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数学において、'''マース形式''' (Maass form)、もしくは、'''マース波動形式''' (Maass wave form) とは、[[上半平面]]上の関数であって、[[モジュラー形式]]のように変換するが、[[正則関数|正則]]とは限らないものをいう。マース形式は、最初に {{harvtxt|Maass|1949}} において{{仮リンク|ハンス・マース|en|Hans Maass}} (Hans Maass) により研究された。

==定義==
''k'' を[[半整数]]、''s'' を複素数、Γを{{仮リンク|SL2(R)|en|SL2(R)|label=SL<sub>2</sub>('''R''')}}の[[離散部分群]]とする。Γのウェイト ''k'', ラプラス固有値 ''s'' の'''マース形式''' (Maass form) とは、[[上半平面]]から複素平面への[[滑らか]]な関数であって以下の条件を満たすものである：
*すべての <math>\gamma = \left(\begin{smallmatrix} a &  b \\ c & d\end{smallmatrix}\right) \in \Gamma</math> とすべての <math> \tau \in \mathbb{H}</math> に対し、<math> f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau)</math> が成り立つ。
* <math>\Delta_{k} f = s f </math> が成り立つ、ただし <math>\Delta_{k}</math> は <math>\Delta_{k} = 
-y^{2} \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)+
i k y \left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)</math>
で定義されたウェイト ''k'' の双曲的ラプラシアンである。
*関数 ''f'' は[[カスプ形式|カスプ]]において高々多項式のオーダーである。

'''弱マース波動形式''' (weak Maass wave form) は同様に定義されるが、第三の条件が次で置き換えられる：「関数 ''f'' はカスプにおいて高々 linear exponential growth である」。さらに、''f'' が'''調和''' (harmonic) であるとは、ラプラス作用素によって 0 になることをいう。

==主要な結果==
<math>f</math> をウェイト 0 のマースカスプ形式とする。素数 ''p'' におけるその正規化されたフーリエ係数は <math>p^{7/64}</math> によりおさえられる (Kim and Sarnak)。

==関連項目==
*{{仮リンク|モックモジュラー形式|en|Mock modular form}}
*[[実解析的アイゼンシュタイン級数]]

==参考文献==
*{{Citation | last1=Bump | first1=Daniel | title=Automorphic forms and representations | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-55098-7 |mr=1431508 | year=1997 | volume=55}}
*{{Citation | last1=Maass | first1=Hans | authorlink=Hans Maass|title=Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen | doi=10.1007/BF01329622 |mr=0031519 | year=1949 | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=121 | pages=141–183}}
*K. Bringmann, A. Folsom, ''Almost harmonic Maass forms and Kac–Wakimoto characters'', [[Crelle's Journal]], Volume 2014, Issue 694, Pages 179–202 (2013). DOI: 10.1515/crelle-2012-0102
*W. Duke, J. B. Friedlander and H. Iwaniec, ''The subconvexity problem for Artin L-Functions'', [[Inventiones Mathematicae]], 149, pp.&nbsp;489–577 (2002). Section 4. DOI: 10.1007/BF01329622.

{{デフォルトソート:まあすけいしき}}
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