マーラーの定理のソースを表示

{{distinguish|マーラーのコンパクト性定理}}

[[数学]]において、{{harvs|txt|authorlink=:en:Kurt Mahler|first=Kurt|last=Mahler|year=1958}} によって導入された'''マーラーの定理'''（マーラーのていり、{{Lang-en-short|Mahler's theorem}}）とは、連続な p-進関数を多項式で表現することについて述べたものである。

次の結果は任意の[[可換体|体]]において成立する。今、前進[[差分法|差分作用素]]を

:<math>(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,</math>

と定める。このとき、[[多項式|多項式関数]] ''f'' に対して、次のニュートン級数が得られる：

:<math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty (\Delta^k f)(0){x \choose k}.</math>

ただし

:<math>{x \choose k}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}</math>

は ''k'' 番目の二項係数多項式である。

実数体上では、関数 ''f'' が多項式であるという仮定は弱められるが、単なる[[連続 (数学)|連続性]]の仮定のみでは上の等式は成り立たない。

マーラーの定理では、''f'' が ''p''-進整数上の連続な [[p進数|p-進値関数]]であるなら、その等式が成り立つと述べられている。

上述の作用素 Δ と[[多項式列]]との関係は、微分と ''x''<sup>''k''</sup> を ''k'' 番目の項とする数列との関係と似ている。

驚くべきことは、連続性と同程度弱い仮定の下で、上述の等式が成り立つということである。それと比較して、[[複素数|複素数体]]上のニュートン級数ではより強い制限が必要となり、特に{{仮リンク|カールソンの定理|en|Carlson's theorem}}の成立が必要となる。

''f'' が[[標数]] 0 の任意の[[可換体|体]]内の係数を持つ多項式関数であるなら、上述の等式は右辺が有限の項の和として成立する。これは代数的事実の一つである。

== 参考文献 ==

* {{Citation | last1=Mahler | first1=K. | title=An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002177846 | mr=0095821 | year=1958 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=199 | pages=23–34}}

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