マーラー測度のソースを表示

{{要改訳|date=2015年2月}}
{{正確性|date=2015年2月}}
数学では、[[複素数]]係数の[[多項式]] <math>p(x) \in \mathbb{C}[x]</math> の'''マーラー測度'''(Mahler measure) <math>M(p)</math> は、
:<math>M(p)=\lim_{\tau \rightarrow 0} \|p\|_{\tau} = \exp\left( \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \ln(|p(e^{i\theta})|)\, d\theta \right)</math>
と定義する。  

ここに
:<math> ||p||_{\tau} =\left( { \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |p(e^{i\theta})|^\tau \, d\theta } \right)^{1/\tau}  \,</math> 
は、 <math>p</math> の[[Lp空間|''L''<sub>τ</sub>ノルム]]である（これは <math>\tau < 1</math> の値の本来のノルムではないのであるが）。

[[イエンセンの公式]]により、
:<math>p(z) = a(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n)</math> 
であれば、
:<math>M(p) = |a| \prod_{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha_i|\}=|a|\prod_{|\alpha_i| \ge 1} |\alpha_i|.</math>
であることを示すことができる。

[[代数的数]] <math>\alpha</math> のマーラー測度は、<math>\mathbb{Q}</math> 上の <math>\alpha</math> の[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]のマーラー測度として定義される。

マーラー測度は、{{仮リンク|クルト・マーラー|en|Kurt Mahler}}(Kurt Mahler)にちなんで命名されている。
<!---In [[mathematics]], the '''Mahler measure''' <math>M(p)</math> of a [[polynomial]] <math>p(x) \in \mathbb{C}[x]</math> with [[complex number|complex]] coefficients is

:<math>M(p)=\lim_{\tau \rightarrow 0} \|p\|_{\tau} = \exp\left( \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \ln(|p(e^{i\theta})|)\, d\theta \right).</math>  

Here 

:<math> ||p||_{\tau} =\left( { \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |p(e^{i\theta})|^\tau \, d\theta } \right)^{1/\tau}  \,</math> 

is the [[Lp norm|<math>L_\tau</math> norm]] of <math>p</math> (although this is not a true norm for values of <math>\tau < 1</math>).

It can be shown due to [[Jensen's formula]] that if

:<math>p(z) = a(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n)</math>

then 
:<math>M(p) = |a| \prod_{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha_i|\}=|a|\prod_{|\alpha_i| \ge 1} |\alpha_i|.</math>

The Mahler measure of an [[algebraic number]] <math>\alpha</math> is defined as the Mahler measure of the [[Minimal polynomial (field theory)|minimal polynomial]] of <math>\alpha</math> over <math>\mathbb{Q}</math>.

The measure is named after [[Kurt Mahler]].-->

==性質==
* '''マーラー測度'''(Mahler measure)は乗法的、つまり、<math>M(p\,q) = M(p) \cdot M(q).</math>
* （[[クロネッカーの定理#ディオファントス近似での結果|クロネッカーの定理]]）<math>p</math> が <math>M(p) = 1</math> なる整数係数の既約なモニック多項式であれば、<math>p(z) = z</math> であるか、もしくは <math>p</math> は[[円分多項式]]である。
* [[レーマーの予想]]は、定数 <math>\mu>1</math> が存在して、<math>p</math> が整数係数の既約多項式であれば、<math>M(p)=1</math> かまたは、<math>M(p)>\mu</math> であるという予想である。
* 整数係数のモニック多項式のマーラー測度は、{{仮リンク|ペロン数|en|Perron number}}(Perron number)である。
<!---==Properties==
* The '''Mahler measure''' is multiplicative, i.e. <math>M(p\,q) = M(p) \cdot M(q).</math>
* (Kronecker's Theorem) If <math>p</math> is an irreducible monic integer polynomial with <math>M(p) = 1</math>, then either <math>p(z) = z,</math> or <math>p</math> is a [[cyclotomic polynomial]].
* [[Lehmer's conjecture]] asserts that there is a constant <math>\mu>1</math> such that if <math>p</math> is an irreducible integer polynomial, then either <math>M(p)=1</math> or <math>M(p)>\mu</math>.
* The Mahler measure of a monic integer polynomial is a [[Perron number]].-->

==高次元マーラー測度==

多変数の多項式 <math>p(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]</math> のマーラー測度 <math>M(p)</math> は、次の公式により同じように定義される<ref name=Sch224>Schinzel (2000) p.224</ref>。

:<math>M(p) = \exp\left( \frac{1}{(2\pi)^n} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \cdots \int_0^{2\pi} \log \Bigl( \bigl |p(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n}) \bigr| \Bigr) \, d\theta_1\, d\theta_2\cdots d\theta_n \right).</math>

多変数のマーラー測度は、一変数のマーラー測度の上記 3つの性質を持っている。（<math> m(P)=\log{M(P)}</math> もマーラー測度と呼ぶ。）

ある場合には、多変数のマーラー測度は[[ゼータ函数]]や[[L-函数]]の特殊値と関係を持つことが示されている。たとえば、1981年、クリス・スミス(Chris Smyth)は、次の式を証明した<ref>Smyth (1981)</ref>。
:<math> m(1+x+y)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}L(\chi_{-3},2)</math>
ここに、<math>L(\chi_{-3},s)</math> は[[ディリクレのL-函数]]であり、また
:<math> m(1+x+y+z)=\frac{7}{2\pi^2}\zeta(3)</math> ,
ここに、<math>\zeta</math> は[[リーマンゼータ函数]]である。この公式では、2変数、および 3変数の多項式のマーラー測度が、それぞれ、{{仮リンク|二重対数函数|en|dilogarithm}}(dilogarithm)や[[多重対数関数|三重対数函数]] (trilogarithm) と関連付けられる。ここで、これらの式を他の導手へ一般化することができるかと問うことができる。つまり、各々の負の[[判別式]] <math>-f</math> に対し、多項式 <math>P_f(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]</math> と 0 でない <math>r_f\in\mathbb{Q}</math> が存在し、
:<math>m(P_f)=r_fd_f\ ,</math>
とすることができるであろうか。ここに <math>d_f=\frac{f\sqrt{f}}{4\pi}L(\chi_{-f},2)</math> とする。さらに一般的に、ある場合には、複素埋め込みをペアで持つ二次体 <math>F</math> が与えられたとき、マーラー測度は、一般化された <math>F</math> の判別式、ゼータ函数 <math>\zeta_F(z)</math> の特殊値、有理数の積として表すことができるであろうか？
<!---====Higher-dimensional Mahler measure==

The Mahler measure <math>M(p)</math> of a multi-variable polynomial <math>p(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]</math> is defined similarly by the formula<ref name=Sch224>Schinzel (2000) p.224</ref>

:<math>M(p) = \exp\left( \frac{1}{(2\pi)^n} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \cdots \int_0^{2\pi} \log \Bigl( \bigl |p(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n}) \bigr| \Bigr) \, d\theta_1\, d\theta_2\cdots d\theta_n \right).</math>
They inherit the above three properties of the Mahler measure for a one variable polynomial. (<math> m(P)=\log{M(P)}</math> is also called Mahler measure.)

The multi-variable Mahler measure has been shown, in some cases, to be related to special values
of [[zeta function|zeta-functions]] and [[L function|<math>L</math>-functions]]. For example, In 1981 Chris Smyth provided<ref>Smyth (1981) </ref> the proof of formulas
:<math> m(1+x+y)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}L(\chi_{-3},2)</math>
where <math>L(\chi_{-3},s)</math> is the [[Dirichlet L-function]], and
:<math> m(1+x+y+z)=\frac{7}{2\pi^2}\zeta(3)</math> ,
where <math>\zeta</math> is the [[Riemann zeta function]]. In these formulas the Mahler measure of two or three variable polynomial are related to dilogarithm or trilogarithm, respectively. Here, We can ask whether the 
above formula could be generalized to other conductors, i.e. for each negative discrimiant <math>-f</math> there is a polynomial <math>P_f(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]</math> and a non-zero <math>r_f\in\mathbb{Q}</math> such that
:<math>m(P_f)=r_fd_f\ ,</math>
where <math>d_f=\frac{f\sqrt{f}}{4\pi}L(\chi_{-f},2)</math> ? More generally, given a number field <math>F</math> of degree 2 with a single pair of complex embeddings, can the Mahler measure described as the product of the generalized discriminant of <math>F</math> , the special value of the zeta function <math>\zeta_F(z)</math> and non-zero rational number in some cases? -->

=== いくつかの結果(Lawton and Boyd) ===

定義よりマーラー測度は、トーラスの上の多項式の積分値とみなすことができる（[[レーマーの予想]]を参照）。<math>p</math> がトーラス <math>(S^1)^n</math> 上で 0 となるとすると、マーラー測度 <math>M(p)</math> を定義する積分の収束は明白とはいえないが、ロートン(Lawton)は <math>M(p)</math> が一変数マーラー測度の極限に等しくなることを証明した<ref name=Law83>Lawton (1983)</ref>。この予想は{{仮リンク|ダヴィッド・ウィリアム・ボイド|en|David William Boyd}}(David William Boyd)により予想されていた<ref>Boyd (1981a)</ref><ref>Boyd (1981b)</ref>。

この定式化は次のようになる。<math>\mathbb{Z}</math> で整数全体の集合を表し、すべての <math>j (1\le j\le N)</math> に対し、<math>\mathbb{Z}^N_+=\{r=(r_1,\dots,r_N)\in\mathbb{Z}^N:r_j\ge0</math> と定義する。<math>Q(z_1,\dots,z_N)</math> を <math>N</math> 変数の多項式とし、<math>r=(r_1,\dots,r_N)\in\mathbb{Z}^N_+</math> に対し、一変数の多項式 <math>Q_r(z)</math> を

:<math>Q_r(z):=Q(z^{r_1},\dots,z^{r_N})</math>

と定義し、<math>q(r)</math> を

:<math>q(r):=\text{min}\{H(s):s=(s_1,\dots,s_N)\in\mathbb{Z}^N,s\ne(0,\dots,0)\ \text{and}\ \sum^N_{j=1}s_jr_j=0\}</math>

と定義する。ここに <math>H(s)=\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}</math> である。すると

'''Theorem (Lawton)''' : <math>Q(z_1,\dots,z_N)</math> を複素数係数の ''N'' 変数の多項式とすると、極限
:<math> \lim_{q(r)\rightarrow\infty}M(Q_r)=M(Q)</math>
を定義できる（たとえ条件 <math>r_i\ge0</math> を緩めても成立する）。
<!--=== Some results by Lawton and Boyd ===

From the definition the Mahler measure is viewed as the integrated values of polynomials over the torus (also see [[Lehmer's conjecture]]). If <math>p</math> vanishes on the torus <math>(S^1)^n</math>, then the convergence of the integral defining <math>M(p)</math> is not obvious, but it is known that <math>M(p)</math> does converge and is equal to a limit of one-variable Mahler measures<ref name=Law83>Lawton (1983)</ref>, which had been conjectured by [[David William Boyd|D. Boyd]]<ref>Boyd (1981a)</ref><ref>Boyd (1981b)</ref>.

This is formulated as follows: Let <math>\mathbb{Z}</math> denote the integers and define <math>\mathbb{Z}^N_+=\{r=(r_1,\dots,r_N)\in\mathbb{Z}^N:r_j\ge0\ \text{for}\ 1\le j\le N\}</math> . If <math>Q(z_1,\dots,z_N)</math> is a polynomial in <math>N</math> variables and <math>r=(r_1,\dots,r_N)\in\mathbb{Z}^N_+</math> define the polynomial <math>Q_r(z)</math> of one variable by

:<math>Q_r(z):=Q(z^{r_1},\dots,z^{r_N})</math>

and define <math>q(r)</math> by

:<math>q(r):=\text{min}\{H(s):s=(s_1,\dots,s_N)\in\mathbb{Z}^N,s\ne(0,\dots,0)\ \text{and}\ \sum^N_{j=1}s_jr_j=0\}</math>

where <math>H(s)=\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}</math> .

'''Theorem (Lawton)''' : Let <math>Q(z_1,\dots,z_N)</math> be a polynomial in ''N'' variables with complex coefficients. Then the following limit is valid (even if the condition that <math>r_i\ge0</math> is relaxed):
:<math> \lim_{q(r)\rightarrow\infty}M(Q_r)=M(Q)</math>-->

=== ボイドの提示 ===

ボイドは上の定理よりも一般的なステートメントを提示していて、現在も完全に証明されてはいない。彼は次のことを指摘した。すべての根を単位円板の中にあるような整数係数のモニック多項式を特徴付ける古典的な[[クロネッカーの定理#ディオファントス近似での結果|クロネッカーの定理]]は、マーラー測度がちょうど 1 であるような一変数多項式を特徴づけていると見なすことができ、この結果は多変数の多項式にも適用できる<ref>D. Boyd (1981b)</ref>。

'''Theorem (Boyd)''' : <math> F(z_1,\dots,z_n)</math> を整数係数の多項式とすると、<math>M(F)=1</math> であることと、<math>F</math> が <math>K_n</math> の元であることとは同値である。この <math>K_n</math> の元は「拡張された円分多項式」と呼ばれ、次の形で定義される。
:<math>\Psi(z)=z_1^{b_1} \dots z_n^{b_n}\Phi(z_1^{v_1},\dots,z_n^{b_n})\ .</math>
ここに、<math>\Phi_m(z)</math> は ''m'' 次既約多項式でり、<math>v_i</math> は整数、<math>b_i=\operatorname{max}(0,-v_i\operatorname{deg}\Phi_m)</math> は <math>\Psi(z)</math> が <math>z_i</math> の多項式となるような最小な整数として選択される。各々の <math>n</math> に対し、<math>K_n</math> は積 <math>\pm z_1^{c_1}\dots z_n^{c_n}</math> として選択され、拡張円分多項式である。

このことより、多項式 <math>P(z)</math> に対し、
:<math>L_n:=\{m(P(z_1,\dots,z_n):P\in\mathbb{Z}[z]\}\ ,</math>
が定義され、集合 <math>\mathbb{L}=\bigcup^\infty_{n=1}L_n</math> をその極限とする。また彼は、集合 <math>\mathbb{L}</math> が閉であることも予想した<ref>D. Boyd (1981a)</ref>。このことは、レーマーの予想の単純な証明を与えるのではあるが、なんら下界が明白ではない。上記、スミス(Smyth)の結果は <math>L_1\subsetneqq L_2</math> であることを示唆していて、彼は
:<math>L_1\subsetneqq L_2\subsetneqq \ \cdots</math>
であることも予想しているが、知られる限りでは、現在、この予想は未解決である。（ロートンの極限定理は、レーマー予想の肯定的な条件付き証明の中では、最も一般的である。）
<!--==== Boyd's proposal ====

D. Boyd provided more general statements than the above theorem, which is not still proved completely now. He pointed out as follows: that the classical [[Kronecker's theorem#A result in diophantine approximation|Kronecker's theorem]] which characterizes monic polynomials with integer coefficients all of whose roots are inside the unit disk can be regarded as characterizing those polynomials of one variable whose measure is exactly 1 and this result is to polynomials in several variables<ref>D. Boyd (1981b)</ref>.

'''Theorem (Boyd)''' : Suppose that <math> F(z_1,\dots,z_n)</math> is a polynomial with integer coefficients then <math>M(F)=1</math> if and only if <math>F</math> is an element of <math>K_n</math>.

where <math>K_n</math> is the ''extended cyclotomic polynomial'' defined to be of the form
:<math>\Psi(z)=z_1^{b_1} \dots z_n^{b_n}\Phi(z_1^{v_1},\dots,z_n^{b_n})\ ,</math>
where <math>\Phi_m(z)</math> is the ''m''-th irreducible polynomial, the <math>v_i</math> are a set of integers and <math>b_i=\text{max}(0,-v_i\text{deg}\Phi_m)</math> is chosen mininally so that <math>\Psi(z)</math> is a polynomial in <math>z_i</math> . For each <math>n</math> , <math>K_n</math> is the set of polynomials which are products of <math>\pm z_1^{c_1}\dots z_n^{c_n}</math> and extended cyclotomic polynomials.

This led him to define for a polynomial <math>P(z)</math>
:<math>L_n:=\{m(P((z_1,\dots,z_n):P\in\mathbb{Z}[z]\}\ ,</math>
and set <math>\mathbb{L}=\bigcup^\infty_{n=1}L_n</math> as their limit. He conjectured<ref>D. Boyd (1981a)</ref> that the set of <math>\mathbb{L}</math> is closed, which would give a trivial proof of Lehmer's conjecture but without any explicit lower bound. As the above Smyth's result suggests <math>L_1\subsetneqq L_2</math> , he also conjectured
:<math>L_1\subsetneqq L_2\subsetneqq \ \cdots</math> .
But as far as is known his conjectures are still not shown now.-->

==関連項目==
*{{仮リンク|ボンビエリのノルム|en|Bombieri norm}}(Bombieri norm)
*{{仮リンク|多項式の高さ|en|Height of a polynomial}}(Height of a polynomial)

== 脚注　==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Mahler measure, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Mahler_measure]
*{{cite book | last=Borwein | first=Peter | authorlink=Peter Borwein | title=Computational Excursions in Analysis and Number Theory | series=CMS Books in Mathematics | volume=10 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=0-387-95444-9 | zbl=1020.12001 | pages=3, 15 }}
*{{cite journal | first=J.L. | last=Jensen | title=Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions | journal=[[Acta Mathematica]] | volume=22 | pages=359–364 | year=1899 | jfm=30.0364.02 | doi=10.1007/BF02417878 }}
*{{cite book |authorlink=Donald E. Knuth | last=Knuth | first=Donald E. | chapter=4.6.2 Factorization of Polynomials |title=Seminumerical Algorithms |series=The Art of Computer Programming |volume=2 |edition=Third |location=Reading, Massachusetts |publisher=Addison-Wesley |year=1997 |pages=439–461, 678–691<!--   xiv+762 -->
|isbn=0-201-89684-2}}
*{{cite journal | first=Wayne M. | last=Lawton | title=A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials | journal=[[Journal of Number Theory]] | volume=16 | pages=356-362 | year=1983 | zbl=0516.12018 | doi=10.1016/0022-314X(83)90063-X }}
*{{cite journal | first=M.J. | last=Mossinghoff | title=Polynomials with Small Mahler Measure | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=67 | pages=1697–1706 | year=1998 | zbl=0918.11056 | doi=10.1090/S0025-5718-98-01006-0 | issue=224 }}
* {{cite book | last=Schinzel | first= Andrzej | authorlink=Andrzej Schinzel | title=Polynomials with special regard to reducibility | zbl=0956.12001 | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=77 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2000 | isbn=0-521-66225-7 }}
* {{cite book | first=Chris | last=Smyth | chapter=The Mahler measure of algebraic numbers: a survey | pages=322–349 | editor1-first=James | editor1-last=McKee | editor2-last=Smyth | editor2-first=Chris | title=Number Theory and Polynomials | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | volume=352 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2008 | isbn=978-0-521-71467-9 | zbl=06093093 }}
* {{cite journal | first=David | last=Boyd | title=Speculations concerning the range of Mahler's measure | pages=453–469 | series=Canad. Math. Bull. | volume=24(4) | year=1981a }}
* {{cite journal | first=David | last=Boyd | title=Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables | pages=116–121 | series=[[Journal of Number Theory]] | volume=13 | year=1981b }}
* {{cite book | first=David | last=Boyd | title=Mahler's measure and invariants of hyperbolic manifolds | pages=127–143 | series=Number theory for the Millenium in M. A. Bennett (ed.)| publisher=A. K. Peters | year=2000 }}
* {{cite journal | first=David | last=Boyd | title=Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm | pages=3–4, 26–28 | series=Canadian Mathematical Society Notes | volume=34 | number=2 | year=2002 }}
*David Boyd and F. Rodriguez Villegas: ''Mahler's measure and the dilogarithm'', part 1, Canadian J. Math., vol, 54, 2002, pp.&nbsp;468–492

==外部リンク==
*[http://mathworld.wolfram.com/MahlerMeasure.html Mahler Measure on MathWorld]
*[http://mathworld.wolfram.com/JensensFormula.html Jensen's Formula on MathWorld]

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