ミケルの定理のソースを表示


[[ファイル:Miquel_Circles.svg|フレーム|{{Math|△''ABC''}}とそのそれぞれの辺上の点{{Math|''A' '', ''B' '', ''C' ''}}に対するミケルの定理（ミケル点{{Mvar|M}}）。]]
'''ミケルの定理'''（みけるのていり、{{Lang-en|Miquel's theorem}}）は[[フランス]]の高校教師である[[オーギュスト・ミケル]]の名を冠する[[幾何学]]の諸[[定理]]である<ref>A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to {{Harvnb|Ostermann|Wanner|2012|p=94}}</ref>。一般にミケルの定理と言えば、次の定理を指す。
:[[三角形]]の3[[辺]]またはその{{仮リンク|辺の延長|en|Extended side|label=延長}}に点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る[[円 (数学)|円]]は、一点で交わる。
他のミケルの定理と区別して、ミケルの三角形定理とも呼ばれる<ref>{{Cite book|和書 |title=幾何教程 |publisher=丸善出版 |date=2017-1 |author= |isbn=978-4-621-30131-9 |translator=[[蟹江幸博]]}}</ref>。ミケルの発見した諸定理は、[[ジョゼフ・リウヴィル]]の[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]] によって出版された。

厳密にいうと、ある{{Math|△''ABC''}}について、[[直線]]{{Math|''BC'', ''CA'', ''AB''}}上にそれぞれ点{{Math|''A' '',''B' '',''C' ''}}をとり、{{Math|△''A'B'C'', △''B'C'A'', △''C'A'B''}}の[[外接円]]を描く。3つのミケル円は一点で交わる。さらに3つの角{{Math|∠''MA'C'', ∠''MB'A'',  ∠''MC'B''}}は等しくまた、{{Math|∠''MA'B'', ∠''MB'C'', ∠''MC'A''}} も等しい<ref>{{Citation|title=Mémoire de Géométrie|last=Miquel|first=Auguste|year=1838|url=http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3|archive-url=https://archive.today/20130213095630/http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3|archive-date=2013-02-13|journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|volume=1|pages=485–487}}</ref><ref name="Wells">{{Harvnb|Wells|1991|p=184}} - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem</ref>。

この定理は、 [[円に内接する四角形|内接四角形]]の角の性質と[[有向角]]を用いることで示すことができる。円{{Math|''A'B'C'', ''AB'C' ''}}の交点<math> M \ne B' </math>について<math> \angle A'MC' = 2\pi - \angle B'MA' - \angle C'MB' = 2\pi - (\pi - C) - (\pi - A) = A + C = \pi - B </math> と角度追跡することにより{{Mvar|BA'MC'}}の[[共円]]が示されてミケルの定理を得る。

== Pivot theorem ==
[[ファイル:Pivot_theorem.svg|右|サムネイル|288x288px|幾つかの三角形のPivot Theorem]]
ミケルの定理を[[共線]]でない3点{{Math|''A' '', ''B' '', ''C' ''}}の成す三角形に着目した場合は{{Harvtxt|Forder|1960|p=17}}によって'''Pivot theorem'''（ミケルの要の定理<ref>{{Cite journal|和書|journal=初等数学|author=横田捷宏|year=2014|title=ミケルの要(pivot)の定理と連鎖円の研究|issue=71|issn=1345-739X}}</ref>）と名づけられている<ref>{{Harvnb|Coxeter|Greitzer|1967|p=62}}</ref>。

== ミケル点の三線座標 ==
{{Math|''A' '', ''B' '', ''C' ''}}の{{Math|''BC'', ''CA'', ''AB''}}に対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれ{{Math|''d''{{sub|''a''}},''d''{{sub|''b''}},''d''{{sub|''c''}}}}、[[線分]]{{Math|''BC'', ''CA'', ''AB''}}の長さをそれぞれ{{Mvar|a,b,c}}としてそのミケル点の[[三線座標]]{{Math|(''x'',''y'',''z'')}}は以下の式で表される。

: <math>x=a \left(-a^2 d_a d_a' + b^2 d_a d_b + c^2 d_a' d_c' \right)</math>
: <math>y=b \left(a^2 d_a' d_b' - b^2 d_b d_b' + c^2 d_b d_c \right)</math>
: <math>z=c \left(a^2 d_a d_c + b^2 d_b' d_c' - c^2 d_c d_c' \right),</math>

ただし{{Math|1=''d' ''{{sub|''a''}}= 1 - ''d''{{sub|''a''}},''d' ''{{sub|''b''}}= 1 - ''d''{{sub|''b''}},''d' ''{{sub|''c''}}= 1 - ''d''{{sub|''c''}}}} である。

{{Math|1=''d''{{sub|''a''}}=''d''{{sub|''b''}}=''d''{{sub|''c''}}=1/2}}である場合、ミケル点は[[外心]]{{Math|(cos &alpha; : cos &beta; : cos &gamma;)}}になる。

== ミケルの定理の逆 ==
ミケルの定理の[[逆]]は次のような定理である。点{{Mvar|M}}を通る3円について、1つの円上に点{{Mvar|A}} をとり、2つ目の円との{{Mvar|M}}でないほうの交点の一つを{{Mvar|C'}}として、直線{{Mvar|AC'}}と2つ目の円の{{Mvar|C'}}でない方の交点を{{Mvar|B}}とする。同様に、3つ目の円に対して{{Mvar|B}}から{{Mvar|A',C}}をつくる。このとき点{{Mvar|A,C,B'}}は[[共線]]であり、{{Math|△''ABC''}}の辺上に{{Math|''A' '',''B' '',''C' ''}}が存在する。
{| style="margin: 0 auto;"
|[[ファイル:Miquelquad.svg|サムネイル|350x350ピクセル|ミケルの四辺形定理]]
|[[ファイル:Miquel5.svg|サムネイル|300x300ピクセル|ミケルの五点円定理]]
|[[ファイル:Miquel's_Theorem_2.svg|フレーム|ミケルの六円定理:4円の隣り合う円との交点の一方が[[共円]]なら、もう一方の交点も共円であるという定理。]]
|}

== 相似な内接三角形 ==
{{Math|△''XYZ''}}が三角形{{Math|△''ABC''}}に[[接する|内接]]し[[図形の相似|相似]]であるとき、任意の{{Math|△''XYZ''}}において、そのミケル点は不動である<ref>{{Cite journal|author=Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n,|date=2016|title=Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=vol 16|pages=257-267}}</ref>{{Rp|p. 257}}。

== ミケルの四辺形定理 ==
{{仮リンク|完全四辺形|en|complete quadrilateral}}の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる<ref name="Oster96">{{Harvnb|Ostermann|Wanner|2012|p=96}}</ref>。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。また、この共点を四辺形のミケル点という。

この定理は、1827,1828年に[[ヤコブ・シュタイナー]]によって[[ジョセフ・ジェルゴンヌ]] の出版物（[[Annales de Gergonne]]）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた<ref name="Oster96" /><ref>{{Citation|title=Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet|last=Steiner|first=J. (1827/1828)|journal=Annales de Mathématiques|volume=18|pages=302&ndash;304}}</ref>。

== ミケルの五点円定理 ==
凸な[[五角形]]{{Mvar|ABCDE}}について、その辺を延長し[[星型五角形|星形五角形]]{{Mvar|FGHIK}}をつくる。5つの円{{Math|''CFD'',''DGE'',''EHA'',''AIB'',''BKC''}}の、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は[[共円]]である<ref>{{Harvnb|Ostermann|Wanner|2012|pp=96&ndash;97}}</ref>。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、[[五円定理]]が知られている。

== ミケルの六円定理 ==
円上に四点{{Mvar|A,B,C,D}}をとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これを'''ミケルの六円定理'''（Miquel's six circle theorem）または'''六円定理'''（six circles theorem）、'''四円定理'''（four circles theorem）という<ref>{{Harvnb|Pedoe|1988|p=424}}</ref>。ただし、[[六円定理]]は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである<ref>{{Harvnb|Ostermann|Wanner|2012|p=352}}</ref>。 [[David G. Wells]]はこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる<ref>{{Harvnb|Wells|1991|pp=151–2}}</ref>。

== 三次元におけるミケルの定理 ==
[[ファイル:Pivot_theorem_3d.png|右|サムネイル|300x300ピクセル|三次元のミケルの定理:4つの球の交円（黒）は一点で交わる。]]
ミケルの定理は[[三次元]]に一般化されている。三角形を[[四面体]]に、円を[[球面|球]]に置き換える。4つの球は一点で交わる<ref name="Wells">{{Harvnb|Wells|1991|p=184}} - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem</ref>。

== 関連項目 ==

* [[クリフォードの定理]]
* [[八円定理]]
* {{仮リンク|Bundle theorem|en|Bundle theorem}}
* {{仮リンク|ミケル配置|en|Miquel configuration}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Citation|title=Geometry Revisited|last1=Coxeter|first1=H.S.M.|author1-link=ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター|last2=Greitzer|first2=S.L.|year=1967|publisher=[[Mathematical Association of America]]|series=[[New Mathematical Library]]|volume=19|location=[[Washington, D.C.]]|isbn=978-0-88385-619-2|zbl=0166.16402}}
* {{Citation|title=Geometry|last=Forder|first=H.G.|year=1960|publisher=Hutchinson|location=London}}
* {{Citation|title=Geometry by its History|last=Ostermann|first=Alexander|last2=Wanner|first2=Gerhard|year=2012|publisher=Springer|isbn=978-3-642-29162-3}}
* {{Citation|title=Geometry / A Comprehensive Course|last=Pedoe|first=Dan|author-link=ダニエル・ペドー|year=1988|origyear=1970|publisher=Dover|isbn=0-486-65812-0}}
* {{Citation|title=Modern Geometries|last=Smart|first=James R.|year=1997|edition=5th|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-35188-3}}
* {{Citation|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry|last=Wells|first=David|author-link=David G. Wells|year=1991|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well|publisher=Penguin Books|location=New York|isbn=0-14-011813-6|zbl=0856.00005}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Miquel's theorem|urlname=MiquelsTheorem}}
* {{MathWorld|title=Miquel Five Circles Theorem|urlname=MiquelFiveCirclesTheorem}}
* {{MathWorld|title=Miquel Pentagram Theorem|urlname=MiquelsPentagramTheorem}}
* {{MathWorld|title=Pivot theorem|urlname=PivotTheorem}}
* [https://web.archive.org/web/20110718201406/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/napole-general.html Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem] at [https://web.archive.org/web/20090321024112/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches]
*{{高校数学の美しい物語|1364|ミケルの定理とミケル円}}
{{デフォルトソート:みけるのていり}}
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]