ミッテンプンクトのソースを表示


[[ファイル:Mandart_inellipse_-_resized.svg|サムネイル|300x300ピクセル|
赤い線は[[マンダート楕円|マンダルト楕円]](その中心はミッテンプンクト)。青い線は傍心三角形の[[類似中線]]。緑の線は{{仮リンク|中界線|en|Splitter (geometry)}}、[[ナーゲル点]]<small>で交わる。</small>]]
[[幾何学]]において、'''ミッテンプンクト'''（[[英語|英]]:Mittenpunkt）または'''類外心'''<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=重心座標による幾何学 |date=9/12 |year=2014 |publisher=[[現代数学社]] |pages=49,54 |author=[[一松信]],[[畔柳和生]]}}</ref>とは三角形の{{仮リンク|ユークリッド変換|en|Rigid transformation}}について不変である[[三角形の中心]]である。[[ドイツ語]]で中間点（middle point）を意味する言葉に由来する。1836年、[[クリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲル|ナーゲル]]によって[[三角形の内接円と傍接円|傍心三角形]]の[[類似重心]]であることが発見された<ref name="k94">{{Citation|title=Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle|last=Kimberling|first=Clark|year=1994|journal=Mathematics Magazine|volume=67|issue=3|pages=163–187|doi=10.2307/2690608|jstor=2690608|mr=1573021}}</ref><ref>{{Citation|title=Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise|last=v. Nagel|first=C. H.|author-link=Christian Heinrich von Nagel|year=1836|location=Leipzig}}</ref>。

== 座標 ==
ミッテンプンクトの三線座標は以下の式で与えられる<ref name="k94" /><ref name=":0">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-20}}</ref>。

: <math>(b+c-a): (c+a-b ):(a+b-c)</math>
: <math>=\cot\frac{ A }{2}:\cot\frac{ B }{2}:\cot\frac{ C }{2}</math>
: <math>=\csc A+\cot A:\csc B+\cot B:\csc C+\cot C</math>

ここで {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}} は三角形の辺の長さで、 {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}}, {{Mvar|C}}は角の大きさである。

[[重心座標]]では以下の様に与えられる<ref name=":0" /> 。<math>a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c) = (1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).</math>

== 性質 ==

* 3つの[[三角形の内接円と傍接円|傍心三角形]]の[[類似中線]]はミッテンプンクトで交わる。したがってミッテンプンクトは傍心三角形と[[中点三角形]]の[[配景]]の中心である。その[[デザルグの定理|配景の軸]]は[[ジェルゴンヌ点]]の[[三線極線]]、[[三角形の内接円と傍接円#ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形|ジェルゴンヌ線]]である<ref>{{Citation|title=A Desarguesian dual for Nagel's middlespoint|last=Eddy|first=Roland H.|year=1989|url=http://eudml.org/doc/141457|journal=Elemente der Mathematik|volume=44|issue=3|pages=79–80|mr=999636}}.</ref><ref>{{Cite web |title=Gergonne Line |url=https://mathworld.wolfram.com/GergonneLine.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-20 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。
*
* ミッテンプンクトは[[幾何中心|重心]]とジェルゴンヌ点を結ぶ直線、[[内心]]と[[類似重心]]を結ぶ直線、[[垂心]]と[[シュピーカー点|シュピーカー中心]]を結ぶ直線の交点である<ref>{{Cite web |url=http://lya.fciencias.unam.mx/gfgf/ga20071/data/material/barycentricpaper.pdf |title=The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry |access-date=2024/3/20 |publisher=Paul Yiu}}</ref>。
* ミッテンプンクトは、{{仮リンク|マンダルト楕円|en|Mandart inellipse}}、つまり傍接円と対応する辺の接点で辺に接する楕円の中心である。
* 中点三角形のジェルゴンヌ点である<ref>{{Citation|title=Generalized Mandart conics|last=Gibert|first=Bernard|year=2004|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200421.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=4|pages=177–198|mr=2130231}}.</ref>。

== 等角共役点 ==
ミッテンプンクトの[[等角共役]]は[[Encyclopedia of Triangle Centers]]にX(57)として登録されており、以下のような性質を持つ<ref>{{Cite web |title=Isogonal Mittenpunkt |url=https://mathworld.wolfram.com/IsogonalMittenpunkt.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-06-23 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

* 傍心三角形と[[ジェルゴンヌ点|接触三角形]]の相似中心である<ref name=":1" /><ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(57) = ISOGONAL CONJUGATE OF X(9) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X57 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-23}}</ref>。
* OI線、重心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線上にある。

三線座標は以下の式で与えられる。

<math>\frac{1}{b+c-a}:\frac{1}{c+a-b}:\frac{1}{a+b-c}</math>

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|urlname=Mittenpunkt|title=Mittenpunkt}}
{{デフォルトソート:みつてんふんくと}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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[[Category:三角形の中心]]