ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数のソースを表示

{{要改訳}}
'''ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数'''（{{lang-en-short|Minakshisundaram&ndash;Pleijel zeta function}}）はコンパクト[[リーマン多様体]]の[[ラプラシアン]]の固有値をエンコードした[[ゼータ函数 (作用素)|ゼータ函数]]である．このゼータ函数は{{仮リンク|サバラミア・ミナクシサンドラム|en|Subbaramiah Minakshisundaram|label=ミナクシサンドラム}}と{{仮リンク|アケ・プレイジェル|en|Åke Pleijel|label=プレイジェル}}{{harvs|txt|author1-link=Subbaramiah Minakshisundaram |first1=Subbaramiah |last1=Minakshisundaram |author2-link=Åke Pleijel|first2=Åke |last2=Pleijel|year=1949}} により導入された．平面のコンパクトな領域の場合には、より早く {{harvtxt|Carleman|1935}} により導入された．

==定義==

固有値 <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots </math> の[[ラプラス作用素|ラプラス-ベルトラミ作用素]] Δ を持つ ''N'' 次元コンパクトリーマン多様体 ''M'' に対して、作用素 Δ のゼータ函数が、<math>\operatorname{Re}(s) </math> が十分大きい ''s'' について

:<math> Z(s) = \operatorname{Tr}(\Delta^{-s}) = \sum_{n=1}^{\infty} \vert \lambda_{n} \vert^{-s}.</math>

で与えられる（ここにもし固有値がゼロであれば、この和から除外する）．多様体が境界を持つ場合は、ディリクレ条件やノイマン条件のような適当な境界条件を課さねばならない．

さらに一般的には、多様体上の点 ''P'' と ''Q'' について

:<math> Z(P, Q, s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_n(P)f_n(Q)}{ \lambda_{n}^s}</math>

とゼータ函数を定義することができる．ここに ''f<sub>n</sub>'' は正規化された固有函数である．この定義は全複素数 ''s'' について s の有理型函数へと[[解析接続]]され、P≠Q では正則である。

ありうる極は一位の極だけで、N が奇数のときは、s = N/2, N/2&minus;1, N/2&minus;2,..., 1/2,&minus;1/2, &minus;3/2,... で極を持ち、N が偶数のときは、s = N/2, N/2&minus;1, N/2&minus;2, ...,2, 1 で極を持つ．N が奇数のときは Z(P,P,s) は s = 0, &minus;1, &minus;2,... でゼロとなる．N が偶数のときは、[[ウィーナー＝池原の定理]]から、系として明らかに値を得ることができ、関係式

:<math>\displaystyle Z(P,P,s)\sim\frac{T^{N/2}}{(2\sqrt{\pi})^N\Gamma(N/2+1)} </math>

を得る．ここに記号～は T が +∞ へ近づくときに、両辺の商が 1 へ近づくことを意味する．

函数 Z(s) はこの式より、Z(P,P,s) を多様体 M 全体を渡り積分することにより得られる．
:<math>\displaystyle Z(s) = \int_M Z(P,P,s)dP</math>

==熱核==

ゼータ函数の解析接続は、[[熱核]]の式
:<math> K(P,Q,t) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(P)f_n(Q) e^{- \lambda_{n}t} </math>

により、[[メリン変換]]
:<math> Z(P,Q,s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty K(P,Q,t) t^{s-1} dt </math>
として、表現することができる．

熱核の場合には、リーマン多様体 (M,g) が与えられると、固有函数の[[正規直交基底]]を取ることができて、分配函数
:<math> Z(s)=\sum^\infty_{i=1}e^{-\lambda_i s}. </math>
を得る．

ゼータ函数の極は、t → 0 での熱核の漸近的振る舞いから得ることができる．

==例==

多様体が次元 N=1 の円であれば、ラプラシアンの固有値は整数 n として n<sup>2</sup> である．ゼータ函数は、
:<math>Z(s) = \sum_{n\ne 0}\frac{1}{(n^2)^s} = \zeta(2s)</math>
となる．ここに ζ は[[リーマンゼータ函数]]である．

==応用==

漸近展開による熱核の方法をリーマン多様体 (M,g) へ適用すると、次の2つの定理を得る．双方とも[[逆問題]]の解であり、作用素のスペクトルから幾何学的性質を得る．

1,ミナクシサンドラム-プレイジェル漸近展開

(M,g) を n-次元リーマン多様体とする．すると次の漸近展開が t → 0+ で成り立つ．
:<math> Z(s)\sim(4\pi s)^{-n/2}\sum^\infty_{m=0}a_ms^m. </math>
次元が2の場合は、これは[[スカラー曲率]]の積分が M の[[オイラー標数]](Euler characteristic)となっていることを意味している．これは[[ガウス-ボネの定理]](Gauss-Bonnet Theorem)である．

特に、
:<math> a_0=Vol(M,g),\ \ \ \ a_1=\frac{1}{6}\int_MS(x)dV </math>
であり、ここに S(x) は M のスカラー曲率で、[[リッチ曲率]]のトレースである．

2,ワイルの漸近公式

M をコンパクトリーマン多様体で、固有値
<math> 0=\lambda_0\le\lambda_1\le\lambda_2\cdots, </math>
を持っているとする．ここに固有値は多重度の分、各々の固有値を繰り返すものとする．N(λ) で値が λ よりも小さな固有値の数を表すとするとして、<math>\omega_n</math> で <math>\mathbb{R}^n</math> の中の単位ディスクの体積を表すとする．すると、
:<math>N(\lambda)\sim\frac{\omega_n Vol(M)\lambda^{n/2}}{(2\pi)^n},</math>
が、λ → ∞ に対して成り立つ．加えて、k → ∞ に対しては、
:<math> (\lambda_k)^{n/2}\sim\frac{(2\pi)^nk}{\omega_n Vol(M)}.</math>
が成り立つ．これは{{仮リンク|太鼓の音で形を聞き分けられるか|label=ワイルの法則|en|Hearing the shape of a drum#Weyl's formula}}(Weyl's formula)とも呼ばれ、ミナクシサンドラム-プレイジェルの漸近展開の精密化でもある．

==参考文献==

*{{Citation | last1=Berger | first1=Marcel | author1-link=Marcel Berger | last2=Gauduchon | first2=Paul | last3=Mazet | first3=Edmond | title=Le spectre d'une variété riemannienne | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | doi=10.1007/BFb0064643 | mr=0282313 | year=1971 | volume=194}}
*{{Citation | last1=Carleman | first1=Torsten | title=Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes. | url=https://books.google.com/books?id=ZdHGSgAACAAJ | language=French | zbl=0012.07001 | year=1935 | journal=8. Skand. Mat.-Kongr. | pages=34–44}}
*{{Citation | last1=Minakshisundaram | first1=S. | last2=Pleijel | first2=Å. | title=Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds | url=http://math.ca/10.4153/CJM-1949-021-5 | doi=10.4153/CJM-1949-021-5 | mr=0031145 | year=1949 | journal=[[Canadian Journal of Mathematics]] | issn=0008-414X | volume=1 | pages=242–256}}

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