ミラー対称性 (弦理論)のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]や[[理論物理学]]において、'''ミラー対称性'''(mirror symmetry)は[[カラビ・ヤウ多様体]]と呼ばれる[[幾何学|幾何学的]]な対象の間の関係であり、2つの カラビ・ヤウ多様体が幾何学的には全く異なっているにもかかわらず、[[弦理論]]の[[余剰次元]]としてそれらを扱うと等価となる対称性のことを言う。この場合、多様体は互いに'''「ミラー多様体」'''であると呼ばれる。
<!--In [[algebraic geometry]] and [[theoretical physics]], '''mirror symmetry''' is a relationship between [[geometry|geometric]] objects called [[Calabi–Yau manifold]]s. The term refers to a situation where two Calabi–Yau manifolds look very different geometrically but are nevertheless equivalent when employed as [[extra dimension]]s of [[string theory]].-->

ミラー対称性はもともとは、物理学者によって発見された。数学者がミラー対称性に興味を持ち始めたのは1990年頃で、特に、{{仮リンク|フィリップ・キャンデラス|en|Philip Candelas}}(Philip Candelas)、ゼニア・デ・ラ・オッサ(Xenia de la Ossa)、パウル・グリーン(Paul Green)、リンダ・パークス(Linda Parks)らによって、ミラー対称性を数々の方程式の解の数を数える数学の分野である[[数え上げ幾何学]]で使うことができることが示されていた。実際、キャンデラスたちは、ミラー対称性を使いカラビ・ヤウ多様体の上の[[有理曲線]]を数えることができ、長きにわたり未解決であった問題を解明できることを示した(参照項目:ミラー対称性の応用)<ref>Yau and Nadis 2010</ref>。元来のミラー対称性へのアプローチは、理論物理学者からの必ずしも数学的には厳密([[:en:mathematical rigor|mathematical rigor]])ではないアイデアに基づいているにもかかわらず、数学者はミラー対称性予想のいくつかを数学的に厳密な証明に成功しつつある<ref name="#1">Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000</ref>。

今日では、ミラー対称性は[[純粋数学]]の主要な研究テーマであり、数学者は物理学者の直感に基づくミラー対称性を数学的に深く理解しつつある<ref>Hori et al. 2003; Aspinwall et al. 2009</ref>。ミラー対称性は弦理論の計算を実行する際の基本的なツールでもある<ref>Zaslow 2008</ref>。ミラー対称性への主要なアプローチは、[[マキシム・コンツェビッチ]](Maxim Kontsevich)の[[ホモロジカルミラー対称性予想]]のプログラムや[[アンドリュー・ストロミンガー|アンドリュー・ストロミンジャー]](Andrew Strominger)、[[シン＝トゥン・ヤウ]](Shing-Tung Yau)、{{仮リンク|エリック・ザスロフ|en|Eric Zaslow}}(Eric Zaslow)の[[SYZ予想]]<ref name="#2">Strominger, Yau, and Zaslow 1996</ref>を含んでいる。
<!--Mirror symmetry was originally discovered by physicists. Mathematicians became interested in mirror symmetry around 1990 when [[Philip Candelas]], Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parks showed that mirror symmetry could be used as a tool in [[enumerative geometry]], a brach of mathematics concerned with counting the number of solutions to geometric questions. Candelas and his collaborators showed that mirror symmetry could be used to count [[rational curve]]s on a Calabi-Yau manifold, thus solving a longstanding problem.<ref>Yau and Nadis 2010</ref> Although the original approach to mirror symmetry was based on [[mathematical rigor|nonrigorous]] ideas from theoretical physics, mathematicians have gone on to [[mathematical proof|rigorously prove]] some of the mathematical predictions of mirror symmetry.<ref>Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000</ref>

Today mirror symmetry is a major research topic in [[pure mathematics]], and mathematicians are working to develop a mathematical understanding of mirror symmetry based on physicists' intuition. <ref>Hori et al. 2003; Aspinwall et al. 2009</ref> Mirror symmetry is also a fundamental tool for doing calculations in string theory.<ref>Zaslow 2008</ref> Major approaches to mirror symmetry include [[homological mirror symmetry]] program of [[Maxim Kontsevich]]<ref>Kontsevich 2005</ref> and the [[SYZ conjecture]] of [[Andrew Strominger]], [[Shing-Tung Yau]], and [[Eric Zaslow]].<ref>Strominger, Yau, and Zaslow 1996</ref>-->

==オーバービュー==
===ミラー対称性のアイデア===
[[Image:Open and closed strings.svg|320px|right|thumb|弦理論の基本的な対象物は開{{仮リンク|弦 (物理)|label=弦|en|string (physics)}}と閉弦である。]]
物理学では、[[弦理論]]は、その中では[[素粒子]]を[[点粒子|点状の粒子]]とは考えずに、{{仮リンク|弦 (物理)|label=弦|en|string (physics)}}と呼ばれる 1次元の対象で置き換えた{{仮リンク|数学的理論|label=理論的フレームワーク|en|mathematical theory}}(theoretical framework)である。これらの弦は通常の弦のループや小さな区分のように見える。弦理論は、どのように弦が空間の中を伝搬するか、互いに相互作用するかを記述する。弦のスケールよりも大きな距離スケールでは、弦は通常の粒子のように見え、[[質量]]や[[電荷]]を持ち、弦の振動状態によりきめられる他の性質を持っている。弦が分裂したり結合したりすることには、粒子の輻射や吸収が対応し、粒子の間の相互作用を惹き起す<ref>入手可能な弦理論の入門書は、Greene 2000 を参照。</ref>。
<!---[[Image:Open and closed strings.svg|right|thumb|The fundamental objects of string theory are open and closed [[string (physics)|strings]]. ]]
In physics, [[string theory]] is a [[mathematical theory|theoretical framework]] in which the [[point particle|point-like particles]] of [[particle physics]] are replaced by [[one dimensional|one-dimensional]] objects called [[string (physics)|strings]]. These strings look like small segments or loops of ordinary string. String theory describes how strings propagate through space and interact with each other. On distance scales larger than the string scale, a string will look just like an ordinary particle, with its [[mass]], [[charge (physics)|charge]], and other properties determined by the vibrational state of the string. Splitting and recombination of strings correspond to particle emission and absorption, giving rise to the interactions between particles.<ref>For an accessible introduction to string theory, see Greene 2000.</ref>-->

弦理論の記述する世界と日常の世界の間には、確かに差異がある。日常生活では、3つの空間次元（上下、左右、前後）と、1つの時間次元（以後以前）が存在する。このように、現代物理の言葉では、[[時空]]は4次元である<ref>Wald 1984, p. 4</ref>。 弦理論の特別な有様の一つに、数学的な整合性のために時空の[[:en:Dimension (mathematics and physics)#Additional dimensions|余剰次元]]<!-- 現状では、英語版へ直接リダイレクト-->(extra dimensions)を要求される。[[超弦理論]]である[[超対称性]]と呼ばれる理論上の考え方と両立する理論のバージョンでは、毎日の体験の中で慣れ親しんでいる4次元に加えて、6次元の時空の余剰次元がある<ref>Zwiebach 2009, p. 8</ref>。
<!---There are notable differences between the world described by string theory and the everyday world. In everyday life, there are three familiar dimensions of space (up/down, left/right, and forward/backward), and there is one dimension of time (later/earlier). Thus, in the language of modern physics, one says that [[spacetime]] is four-dimensional.<ref>Wald 1984, p. 4</ref> One of the peculiar features of string theory is that it requires [[extra dimensions]] of spacetime for its mathematical consistency. In [[superstring theory]], the version of the theory that incorporates a theoretical idea called [[supersymmetry]], there are six extra dimensions of spacetime in addition to the four that are familiar from everyday experience.<ref>Zwiebach 2009, p. 8</ref>-->

弦理論の現在の研究の目標のひとつは、高エネルギー物理実験で観察される粒子を、弦が再現するようなモデルを構成することである。観察と整合性を持たせるためには、そのような時空の次元は4である必要があるので、通常の距離スケールでは弦理論の余剰次元を消し去る方法を見つけなくてはならない。弦理論を基礎とする最も現実的なモデルでは、[[コンパクト化 (物理学)|コンパクト化]]と呼ばれる過程を通して行われる<ref name=autogenerated1>Yau and Nadis 2010, Ch. 6</ref>。コンパクト化の考え方は、弦理論の特定の次元が円をなして自分で「閉じている」ようなものかもしれない。次元が巻きあがっている極限では、非常に小さくなり、有効理論ではより低い次元となっている理論を得る。このことの標準的な類似物は、庭のホースのような多次元の対象を考えることである。ホースを充分に遠い距離で見ると1次元となり、長さしか持っていないように見える。しかし、ホースに近づくにつれ、第二の円周という次元を持っていることが分かる。このようにして、ホースの表面を這う蟻は2次元的に動くことができる<ref>この類似は Greene 2000, p. 186 で例として使われている。</ref>。
<!---One of the goals of current research in string theory is to develop models in which the strings represent particles observed in high energy physics experiments. In order to be consistent with observations, the spacetime in such a model must be four-dimensional, and therefore one must look for ways to eliminate the extra dimensions of string theory at ordinary distance scales. In most realistic models of physics based on string theory, this is accomplished by a process called [[compactification (physics)|compactification]].<ref name=autogenerated1>Yau and Nadis 2010, Ch. 6</ref> The idea of compactification is that some of the dimensions of string theory may "close up" on themselves to form circles. In the limit where these curled up dimensions become very small, one obtains a theory in which spacetime has effectively a lower number of dimensions. A standard analogy for this is to consider multidimensional object such as a garden hose. If the hose is viewed from a sufficient distance, it appears to have only one dimension, its length. However, as one approaches the hose, one discovers that it contains a second dimension, its circumference. Thus, an ant crawling inside it would move in two dimensions.<ref>This analogy is used for example in Greene 2000, p. 186</ref>-->

[[Image:Calabi yau.jpg|left|thumb|240px|実 3次元での[[カラビ・ヤウ多様体]]の断面を平面へ射影した図形]]

コンパクト化は、時空の有効次元が4次元となるようなモデルを構成することに使うことができる。しかし、余剰次元をコンパクト化する全ての方法が、自然を記述する良い性質を持つモデルを作り出すとは限らない。素粒子物理学で確認できるようなモデルを構成するためには、コンパクトな余剰次元は[[カラビ・ヤウ多様体]]の形をしている必要がある<ref name=autogenerated1 />。カラビ・ヤウ多様体は複雑な（典型では）6次元の形をしていて、あるテクニカルな条件を満たす。それらは、数学者の[[エウジェニオ・カラビ]](Eugenio Calabi)と[[シン＝トゥン・ヤウ]](Shing-Tung Yau)の名前から命名された<ref>Yau and Nadis 2010, p. ix</ref>。
<!---Compactification can be used to construct models in which spacetime is effectively four-dimensional. However, not every way of compactifying the extra dimensions produces a model with the right properties to describe nature. In order to construct viable models of particle physics, the compact extra dimensions must be shaped like a [[Calabi–Yau manifold]].<ref name=autogenerated1 /> These are complex (typically six-dimensional) shapes which satisfy a certain technical condition. They are named after mathematicians [[Eugenio Calabi]] and [[Shing-Tung Yau]].<ref>Yau and Nadis 2010, p. ix</ref>-->

1980年代後半、弦理論のそのようなコンパクト化をすると、対応するカラビ・ヤウ多様体が一意に再構成されることが可能ではないことが分かった。代わりに、'''2'''つのカラビ・ヤウ多様体が同じ物理を持つことが発見された<ref>Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989</ref>。 これらの多様体はたがいに「ミラー」といわれる。全部の双対性はいまだ予想でしかないが、[[位相的弦理論]]の脈絡でのミラー対称性のバージョンがある。位相的弦理論は[[エドワード・ウィッテン]]<ref name="#3">Witten 1990</ref> により導入された簡素化された弦理論のバージョンであり、このバージョンは数学者により厳密性([[:en:mathematical rigor]])を持っている<ref name="#1"/> 。位相的弦理論の脈絡では、ミラー対称性は、2つの理論、A-モデルとB-モデルがある正確な意味で等価であることを主張する<ref name="#4">Zaslow 2008, p.531</ref>。

弦理論のこれらのカラビ・ヤウコンパクト化が自然の正しい記述をもたらすかどうかは別として、異なるカラビ・ヤウ多様体の間のミラー対称性関係の存在は、重要な数学的結果である<ref>Zaslow 2008, p.523</ref>。 弦理論に使われるカラビ・ヤウ多様体は純粋数学的には興味深く、ミラー対称性は、ミラーカラビ・ヤウと同等な問題を解くことで[[数え上げ幾何学|数え上げ代数幾何学]]の多くの問題を数学者が解決できるようにした<ref name="#5">Yau and Nadis 2010, p.168</ref>。 今日、ミラー対称性は数学の研究の活発な領域であり、数学者たちは今も物理学者の直感に基づくミラー対称性の数学的理解を深めようと努力している<ref>Hori et al. 2003, p. xix</ref>。
<!---In the late 1980s, it was noticed that given such a compactification of string theory, it is not possible to uniquely reconstruct a corresponding Calabi-Yau manifold. Instead, one finds that there are ''two'' Calabi-Yau manifolds that give rise to the same physics.<ref>Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989</ref> These manifolds are said to be "mirror" to one another. Although the full duality is still only a conjecture, there is a version of mirror symmetry in the context of [[topological string theory]], a simplified version of string theory introduced by [[Edward Witten]],<ref>Witten 1990</ref> and this version has been [[mathematical rigor|rigorously proven]] by mathematicians.<ref>Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000</ref> In the context of topological string theory, mirror symmetry states that two theories, the A-model and B-model, are equivalent in a certain precise sense.<ref>Zaslow 2008, p.531</ref>

Regardless of whether these Calabi-Yau compactifications of string theory provide a correct description of nature, the existence of the mirror symmetry relationship between different Calabi-Yau manifolds has significant mathematical consequences.<ref>Zaslow 2008, p.523</ref> The Calabi-Yau manifolds used in string theory are of interest in pure mathematics, and mirror symmetry allows mathematicians to solve many problems in [[enumerative geometry|enumerative algebraic geometry]] by solving equivalent problems for the mirror Calabi-Yau.<ref>Yau and Nadis 2010, p.168</ref> Today mirror symmetry is an active area of research in mathematics, and mathematicians are still working to develop a mathematical understanding of mirror symmetry based on physicists' intuition.<ref>Hori et al. 2003, p. xix</ref>-->

===複素幾何学===
{{main|複素幾何学}}
[[File:Torus.png|left|thumb|トーラス]]
ミラー双対の片側に現れる幾何学の一種を理解するためには、ここで[[複素平面]]の点を同一視することで、[[トーラス]]（ドーナツのようにひとつの穴のあいた閉曲面）の構成を考える。このトーラスを構成するためには、最初に商 <math>\omega_1/\omega_2</math> が[[実数]]ではない複素数のペア <math>\omega_1</math> と <math>\omega_2</math> を選ばねばならない. この最後の条件は、これらの点が一直線上にない([[:en:collinear]])ことを確かなものとしている．従って、選択された点は、もう他の[[頂点]]が 0 と <math>\omega_1+\omega_2</math> である[[平行四辺形]]を決定する。この平行四辺形の反対側の辺を同一視することで、求めるトーラスが得られる。

[[Image:Lattice torsion points.svg|right|thumb|300px| [[トーラス]]は[[複素平面]]の中の[[平行四辺形]]の反対側の辺を同一視することで構成できる。このトーラスの[[複素多様体|複素構造]]は、大まかにいうと、トーラスの｢形｣を記述する。]]

このようにして得られるトーラスは、ひとつのトーラスが他のトーラスと[[ホモトピー|連続変形]]可能であるという意味ですべて同値である<ref>Zaslow 2008, p.530</ref>。 他方、トーラスは加法構造を持っているので、区別することが可能となる<ref name="#4"/>。 すなわち、この方法で構成されたトーラスは[[複素多様体|複素構造]]を持っていて、そのようなトーラス上の任意の点の近傍は、複素平面の中にある[[領域 (解析学)|領域]]のように見えることを意味する。
<!---To understand the kind of geometry that appears on one side of the mirror duality, we will consider here a construction of a [[torus]], a closed surface with a single hole like a donut, by identifying points of the [[complex plane]]. To construct this torus, we first choose a pair of complex numbers <math>\omega_1</math> and <math>\omega_2</math> such that the quotient <math>\omega_1/\omega_2</math> is not [[real number|real]]. This last condition ensures that these points are not [[collinear]]. Then the chosen points determine a [[parallelogram]] whose other [[vertex (geometry)|vertices]] are 0 and <math>\omega_1+\omega_2</math>. By identifying opposite sides of this parallelogram, we obtain the desired torus.

[[Image:Lattice torsion points.svg|right|thumb|300px| A [[torus]] can be constructed by identifying opposite sides of a [[parallelogram]] in the [[complex plane]]. This torus inherits a [[complex manifold|complex structure]] which, roughly speaking, describes the "shape" of the torus. ]]

The tori obtained in this way are all equivalent in the sense that we can [[homotopy|continuously deform]] one torus into another.<ref>Zaslow 2008, p.530</ref> On the other hand, they have an additional structure which allows us to distinguish them.<ref>Zaslow 2008, p.531</ref> Namely, the tori constructed in this way have a [[complex manifold|complex structure]], meaning that a neighborhood of any point on such a torus looks just like a [[domain (mathematical analysis)|region]] in the complex plane.-->

このトーラスの構成の中で、替わりに元のペアと共通因子（つまり、ある複素数 <math>\lambda</math> により<math>\omega_1'=\lambda\omega_1</math> と <math>\omega_2'=\lambda\omega_2</math> である）としてリスケールによって複素数のペア <math>\omega_1'</math> と <math>\omega_2'</math> が関連づけられるとすると、同値なトーラスを得る。従って、｢比率｣ <math>\tau=\omega_1/\omega_2</math> でトーラス全体の集まりをパラメトライズすることはさらに便利である。この比率はリスケール <math>\omega_i</math> によっては変わらない。[[一般性を失わない|一般性を失うことなしに]]、このパラメータ <math>\tau</math> は正の[[虚部]]を持つので、<math>\tau</math> は[[上半平面]]に値を持つ。また、パラメータ <math>\tau</math>, <math>\tau+1</math>, と <math>-1/\tau</math> が同じトーラスに対応している。

もし 2つのトーラスがもともと異なる <math>\tau</math> 値に対応しているとすると、それらは等価ではない複素構造を持つ<ref>さらに詳しくは、トーラスは[[モジュラ群]]に対し{{仮リンク|基本領域|en|fundamental domain}}によりパラメトライズされる。</ref>。 パラメータ <math>\tau</math> は、平行四辺形の対辺を同一視して構成されるトーラスの｢形｣として記述することができる。上で説明したように、ミラー対称性は 2つの物理学的な理論、[[位相的弦理論]]のA-モデルとB-モデルとを関連付ける。この双対性では、位相的B-モデルが[[時空]]の複素構造にのみ依存している。このようにして、もし｢時空｣がトーラスであるような理論を考えると、理論はパラメータ <math>\tau</math> にのみ依存することになる<ref name="#4"/>。
<!---If in the construction of a torus we had instead used a pair of complex numbers <math>\omega_1'</math> and <math>\omega_2'</math> related to the original pair by rescaling by a common factor (that is, <math>\omega_1'=\lambda\omega_1</math> and <math>\omega_2'=\lambda\omega_2</math> for some complex number <math>\lambda</math>), then we would get an equivalent torus. It is therefore more convenient to parametrize the collection of tori by the ''ratio'' <math>\tau=\omega_1/\omega_2</math>, which does not change when we rescale the <math>\omega_i</math>. One can assume, [[without loss of generality]], that this parameter <math>\tau</math> has positive [[imaginary part]] so that <math>\tau</math> takes values in the [[upper half plane]]. One can also show that the parameters <math>\tau</math>, <math>\tau+1</math>, and <math>-1/\tau</math> correspond to the same torus.

If two tori correspond to genuinely different values of <math>\tau</math>, then they have inequivalent complex structures.<ref>More precisely, tori are parametrized by the [[fundamental domain]] for the [[modular group]].</ref> One can think of the parameter <math>\tau</math> as describing the "shape" of a torus constructed by identifying opposite sides of a parallelogram. As explained above, mirror symmetry relates two physical theories, the A- and B-models of [[topological string theory]]. In this duality, the topological B-model depends only on the complex structure of [[spacetime]]. Thus, if we consider the theory in which "spacetime" is a torus, the theory will depend continuously only on the parameter <math>\tau</math>.<ref>Zaslow 2008, p.531</ref>-->

===シンプレクティック幾何学===
{{main|シンプレクティック幾何学}}
トーラスの幾何学のもう一つの側面は、トーラスのサイズである。さらに詳しくは、トーラスを{{仮リンク|単位四方形|en|unit square}}の対辺を同一視することにより得られる曲面としてみることができ、トーラスの面積はこの四辺形上の[[面積要素]] <math>\rho dxdy</math> で特定できる。単位四方形上の面積要素を積分することにより、対応するトーラスの面積 <math>\rho</math> を得る。これらの概念を高次元にも一般化することができ、面積要素は[[斜交ベクトル空間|シンプレクティック形式]]の考え方により一般化される。シンプレクティック形式を持つ空間の研究は、シンプレクティック幾何学と呼ばれる<ref>Zaslow 2008, p. 531</ref>。

ミラー対称性では、[[位相的弦理論]]のA-モデルが、[[時空]]のシンプレクティック幾何学に依存した理論である。その中では｢時空｣がトーラスである理論を考えると、A-モデルは連続的にパラメータ <math>\rho</math> に依存する<ref name="#4"/>。
<!---Another aspect of the geometry of a torus is the size of the torus. More precisely, we can talk view a torus as the surface obtained by identifying opposite sides of a unit square, and the area of the torus is specified by an [[area element]] <math>\rho dxdy</math> on this square. By [[integral|integrating]] this area element over the [[unit square]], we obtain the [[area]] <math>\rho</math> of the corresponding torus. These concepts can be generalized to higher dimensions, and the area element is generalized by the notion of a [[symplectic form]]. The study of spaces equipped with a symplectic form is called [[symplectic geometry]].<ref>Zaslow 2008, p. 531</ref>

In mirror symmetry, the A-model of [[topological string theory]] is a theory that depends only on the symplectic geometry of [[spacetime]]. Thus, if we consider the theory in which "spacetime" is a torus, then the A-model depends continuously only on the parameter <math>\rho</math>.<ref>Zaslow 2008, p.531</ref>-->

===T-双対===
[[File:torus cycles.png|thumb|right|トーラスは2つの円の積であり、この場合は赤い円がピンクの円を定義する軸の周りを掃くようになった場合である。<math>R_1</math> は赤い円の半径で、<math>R_2</math> はピンクの円の半径である。]]
{{main|T-双対}}
どのようにしてトーラスが複素平面の中の平行四辺形の対辺を同一視すると得ることができるかを見てみる。特別に単純例は、複素数 <math>\omega_1</math> と <math>\omega_2</math> それぞれが実軸と虚軸にある場合である。この場合には、<math>\omega_1=R_1</math> および <math>\omega_2=iR_2</math> と書くことができる。ここに <math>R_1</math> と <math>R_2</math> は実数である。上記の議論のようにして得られたトーラス上の複素構造は、数値 <math>\tau=iR_2/R_1</math> により特徴づけられる。

どのようにトーラスのシンプレクティック構造が面積要素により決定されるかを、すでに説明した。平行四辺形上の座標 <math>x</math> と <math>y</math> を、複素数により張られる平行四辺形の各々の辺が長さ 1 を持つように選ぶことができる。すると、このトーラスの面積要素は <math>R_1R_2dxdy</math> であり、単位正方形上で積分し <math>R_1R_2</math> となる。シンプレクティックパラメータ <math>\rho</math> を積 <math>iR_1R_2</math> と定義する。
<!---[[File:torus cycles.png|thumb|right|A torus is the product of two circles, in this case the red circle is swept around axis defining the pink circle. <math>R_1</math> is the radius of the red circle, <math>R_2</math> is the radius of the pink one.]]

{{main|T-duality}}

We have now seen how a torus can be obtained by identifying opposite sides of a parallelogram in the complex plane. A particularly simple example is where the complex numbers <math>\omega_1</math> and <math>\omega_2</math> lie on the real and imaginary axes, respectively. In this case, we can write <math>\omega_1=R_1</math> and <math>\omega_2=iR_2</math> where <math>R_1</math> and <math>R_2</math> are real numbers. As discussed above, the complex structure on the torus obtained in this way is characterized by the number <math>\tau=iR_2/R_1</math>.

We have explained how the symplectic structure of the torus is determined by an area element. We can choose coordinates <math>x</math> and <math>y</math> on our parallelogram so that each side of the parallelogram spanned by the chosen complex numbers has length 1. Then the area element of our torus is <math>R_1R_2dxdy</math> which integrates to <math>R_1R_2</math> on the unit square. We define the symplectic parameter <math>\rho</math> to be the product <math>iR_1R_2</math>.-->

2つの円の[[直積集合|カルテシアン積]]としてトーラスを考えることができることに注意する。このことは、トーラス（ピンクで表示されている）の赤道の各々の点に、経線の円（赤で表示されている）がある。

さて、トーラスは[[物理的理論]]での｢時空｣を表現することを想像すると、この理論の基本的な対象は、[[量子力学]]の規則に従い時空の中を伝搬する{{仮リンク|弦 (物理学)|en|string (physics)}}である。[[弦理論]]の{{仮リンク|弦双対性|label=双対性|en|String duality}}の一つに [[T-双対|T-双対性]]がある。このことは、すべての一方での観測可能量は双対な記述での量と同一視されるという意味で、半径 <math>R</math> の円の周りを伝搬する弦は、半径 <math>1/R</math> の円の周りを伝搬する弦に等価となる<ref name="#6">Zaslow 2008, p.532</ref> 。例えば、弦のある方向への[[運動量]]は離散的な値をとり、弦が双対方向の円の周りへ何周り[[回転数 (数学)|巻き付いて]]いるかを表す<ref name="#6"/>。 T-双対をトーラスの経線方向の円へ適用すると、別のトーラスにより表現される時空の中にある等価な記述が存在することがわかる。T-双対性は <math>R_1</math> を <math>1/R_1</math> へと変換し、この変換は <math>\tau\leftrightarrow\rho</math> と複素パラメータとシンプレクティックパラメータとを入れ替える。
<!---Note that the torus can also be considered as a [[cartesian product]] of two circles. This means that at each point of an equatorial circle on the torus (illustrated in pink), there is a longitudinal circle (illustrated in red).

Let us now imagine that the torus represents the "spacetime" for a [[physical theory]]. The fundamental objects of this theory will be [[string (physics)|strings]] propagating through the spacetime according to the rules of [[quantum mechanics]]. One of the basic [[duality (physics)|dualities]] of [[string theory]] is [[T-duality]], which states that a string propagating around a circle of radius <math>R</math> is equivalent to a string propagating around a circle of radius <math>1/R</math> in the sense that all observable quantities in one description are identified with quantities in the dual description.<ref>Zaslow 2008, p.532</ref> For example, the [[momentum]] of a string in one description takes discrete values and is equal to the number of times the string [[winding number|winds]] around the circle in the dual description.<ref>Zaslow 2008, p.532</ref> Applying T-duality to the longitudinal circle on the torus, we find that there is an equivalent description in which spacetime is represented by a different torus. The duality changes <math>R_1</math> to <math>1/R_1</math>, and thus it interchanges the complex and symplectic parameters: <math>\tau\leftrightarrow\rho</math>.-->

===一般の場合===

一般にミラー対称性は、2つの物理理論の同値性であり、[[複素幾何学]]の問題を[[シンプレクティック幾何学]]の問題へ翻訳することでもある。ここで考えるトーラスは、単に[[コンパクト空間|位相空間としてコンパクト<!--ここの｢コンパクト｣は、mathematical compactですので、あえて｢位相空間として｣という表現を付加します．他は物理的なstrign theoretic compactificationのcompact-->]]な（実）次元が2であるカラビ・ヤウ多様体であり、従って、ミラー対称性のもっとも単純な例である<ref>Zaslow 2008, p.533</ref>。 弦理論への応用では、普通、6次元のカラビ・ヤウ多様体を考える。この 6次元は、時空の観測されえない次元に対応する。
<!---===The general case===

In general, mirror symmetry is an equivalence of two physical theories that translates problems in [[complex geometry]] into problems in symplectic geometry. The torus considered above is the only [[compact topological space|compact]] Calabi-Yau manifold of (real) dimension two and therefore provides the simplest example of mirror symmetry.<ref>Zaslow 2008, p. 533</ref> In applications to string theory, one usually considers a six-dimensional Calabi-Yau manifold, where the six dimensions correspond to the six unobserved dimensions of spacetime.<ref>Yau and Nadis 2010, Ch. 6</ref>-->

上記の例の中のように、カラビ・ヤウ多様体は非常に変わった形をしているかもしれない。6次元のカラビ・ヤウ多様体の形は、数学的にはある{{仮リンク|位相不変量|label=不変量|en|topological invariant}}(invariant)を使い記述される（不変量とは多様体に付随する数値であり、幾何学的に同じ多様体は同じ付随する数値を持つ）。例えば、カラビ・ヤウ多様体の形は大雑把には[[オイラー標数]]と呼ばれる数値により記述され、ミラー双対のカラビ・ヤウ多様体は、（ペアの相手のカラビ・ヤウ多様体の）反対の符号をもつオイラー数となることができる<ref>Yau and Nadis 2010, p. 160</ref>。 多くの異なって見える形が同じオイラー標数を持っていて、この不変量はカラビ・ヤウ多様体の形の単に粗い記述をするものでしかない。しかしながら、この粗さは[[ベッチ数]]と呼ばれる数の和へとオイラー標数を分解することにより、詳しくすることができる<ref>Yau and Nadis 2010, p. 161</ref>。このためには、[[ホッジ理論|ホッジ数]]と呼ばれるミラーカラビ・ヤウ多様体の興味深い対称性を持っている不変量を使う<ref>Yau and Nadis 2010, p. 163</ref>。
<!---As in the above example, these Calabi-Yau manifolds may have very different shapes. The shape of a six-dimensional Calabi-Yau manifold is described mathematically using certain numerical [[topological invariant|invariants]] (numbers associated to the manifolds so that geometrically similar manifolds have the same associated numbers). For example, the shape of a Calabi-Yau manifold is roughly described by a number called the [[Euler characteristic]], and Calabi-Yau mirror pairs can have Euler characteristics of opposite sign.<ref>Yau and Nadis 2010, p. 160</ref> Many different-looking shapes have the same Euler characteristic, so this invariant provides only a crude description of the shape of a Calabi-Yau manifold. This crudeness can be refined, however, by breaking the Euler characteristic into a sum of numbers called [[Betti numbers]].<ref>Yau and Nadis 2010, p. 161</ref> A further refinement is provided by invariants called [[Hodge number]]s, which exhibit interesting symmetries for mirror Calabi-Yau manifolds.<ref>Yau and Nadis 2010, p. 163</ref>-->

一般にミラー対称性では、[[相関函数 (場の量子論)|相関函数]]と呼ばれる物理量を計算することに興味がある<ref>Zaslow 2008, p. 529</ref>。相関函数の例のひとつは、弦の相関函数である。A-モデルでは、弦の相関函数を表す、[[グロモフ・ウィッテン不変量]]と呼ばれる無限個の数値は計算することが難しい。しかしながら、ミラー対称性は、A-モデルの相関函数をB-モデルの相関函数へ関連付け、カラビ・ヤウ多様体の古典的な複素幾何学へ依存したものとし、より容易に計算を可能とする。この事実がミラー対称性の導入時に数学者たちを興味を惹いた点である<ref>Zaslow 2008, p. 534</ref>。
<!---In general in mirror symmetry, one is interested in computing physical quantities called [[correlation function (quantum field theory)|correlation functions]].<ref>Zaslow 2008, p. 529</ref> One example of a correlation function is the string [[partition function (quantum field theory)|partition function]]. In the A-model, the expression representing the string partition function involves infinitely many numbers called [[Gromov-Witten invariant]]s, which can be difficult to compute. However, mirror symmetry relates the A-model partition function to the B-model partition function, which depends only on the classical complex geometry of the Calabi-Yau manifold and is easier to compute. This fact is what led mathematicians to become interested in mirror symmetry at its inception.<ref>Zaslow 2008, p. 534</ref>-->

==ミラー対称性の応用==
===数え上げ幾何学===
[[File:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|アポロニウスの円]]
ミラー対称性の重要な数学への応用の多くは、[[数え上げ幾何学]]と呼ばれる数学の分野に属している。数え上げ幾何学では、典型的には[[代数幾何学]]を使い、幾何学的な問題の解の数を数え上げることに興味がある。数え上げ幾何学のもっとも早い時期の問題の一つに、ギリシャの数学者[[ペルガのアポロニウス|アポロニウス]]による紀元前200年頃に提案された問題である。彼は、どのようにすれば与えられた3つの円に接する平面上の円はいくつあるかが分かるかと問うた<ref name="#7">Yau and Nadis 2010, p.166</ref>。 一般に、[[アポロニウスの問題]]の解は、8つの円が存在する。右の図は黒で示した3つの与えられた円の例を示している。
<!---[[File:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|[[Problem of Apollonius|Circles of Apollonius]].]]

Many of the important mathematical applications of mirror symmetry belong to the branch of mathematics called [[enumerative geometry]]. In enumerative geometry, one is interested in counting the number of solutions to geometric questions, typically using the techniques of [[algebraic geometry]]. One of the earliest problems of enumerative geometry was posed around the year 200 [[BCE]] by the ancient Greek mathematician [[Apollonius]], who asked how many circles in the plane are tangent to three given circles.<ref>Yau and Nadis 2010, p.166</ref> In general, the solution to the [[problem of Apollonius]] is that there are eight such circles. The picture on the right shows an example where the three given circles are illustrated in black.-->

[[File:Clebsch Cubic.png|thumb|left|{{仮リンク|クレブシュ3次曲面|en|Clebsch cubic}}]]
数学の数え上げ問題はしばしば、[[多項式]]の値がゼロとなる点として定義されるいわゆる[[代数多様体]]という幾何学的対象のクラスに関係している。例えば、{{仮リンク|クレブシュ3次曲面|en|Clebsch cubic}}は左に図示してある4変数の3次[[:en:degree of a polynomial|多項式]]により定義される。19世紀の数学者[[アーサー・ケイリー]](Arthur Cayley)と{{仮リンク|ジョージ・サルモン|en|George Salmon}}(George Salmon)の結果は、この曲面上にはちょうど 27 本の直線があるとのことであった<ref>Yau and Nadis 2010, p.167</ref>。

この問題を一般化すると、上に述べたカラビ・ヤウ多様体である[[クインティックスリーフォールド]]（5次多項式で記述される複素3次元多様体）の上に何本の直線を描くことができるかという問題となる。この問題は19世紀のドイツの数学者{{仮リンク|ヘルマン・シューベルト|en|Hermann Schubert}}(Hermann Schubert)により解かれ、彼はそのような直線はちょうど 2,875 本存在することを発見した。さらに、1986年に幾何学者、セルダン・カッツ(Sheldon Katz)が、クインティックスリーフォールドに完全に入っている（円のような）2次曲線の数は 609,250 個あることを証明した<ref name="#7"/>。
<!---[[File:Clebsch Cubic.png|thumb|left|The [[Clebsch cubic]].]]

Enumerative problems in mathematics often concern a class of geometric objects called [[algebraic varieties]] which are defined by the vanishing of [[polynomial]]s. For example, the [[Clebsch cubic]] is the surface illustrated on the left which is defined using a certain polynomial of [[degree of a polynomial|degree]] three in four variables. A celebrated result of nineteenth-century mathematicians [[Arthur Cayley]] and [[George Salmon]] states that there are exactly 27 straight lines that lie entirely on such a surface.<ref>Yau and Nadis 2010, p.167</ref>

Generalizing this problem, one can ask how many lines can be drawn on a quintic such as the Calabi-Yau illustrated above. This problem was solved by the nineteenth-century German mathematician [[Hermann Schubert]], who found that there are exactly 2,875 such lines. In 1986, geometer [[Sheldon Katz]] proved that the number of curves of degree two (such as circles) which lie entirely in the quintic is 609,250.<ref>Yau and Nadis 2010, p.166</ref>-->

1991年頃には、数え上げ幾何学の古典的な問題の大半が解かれ、数え上げ幾何学への興味は下火になり始めていた。数学者{{仮リンク|マーク・グロス|en|Mark Gross}}(Mark Gross)によれば、｢古い問題が解かれるとともに、人々はシューベルトの数を現代のテクニックを使いチェックするほうへ戻りはしたものの、非常に古めかしいものでした<ref name="#8">Yau and Nadis 2010, p.169</ref>。」 しかしながら、この分野は1991年5月にふたたび活発化し始めた。そのとき物理学者であった{{仮リンク|フィリップ・キャンデラス|en|Philip Candelas}}(Philip Candelas)、ゼニア・デ・ラ・オッサ(Xenia de la Ossa)、ポール・グリーン(Paul Green)とリンダ・パークス(Linda Parks)は、ミラー対称性をクインティックスリーフォールドに含まれる3次曲線の数を数えることに使うことができるかもしれないことを示した。大まかにいうと、カラビ・ヤウ多様体の内部に完全に含まれる球として、3次曲線を考えることができる<ref name="#5"/>。 キャンデラスと彼の協力者は、そのような6次元カラビ・ヤウ多様体は3次曲線をちょうど 317,206,375 個含むことができることを発見した<ref name="#8"/>。

クインティックスリーフォールド上の3次曲線を数えることに加えて、キャンデラスと彼の協力者は、数学者たちの得た結果をはるかに超える有理曲線の数え上げに関するより一般的な数多くの結果を得た<ref>Yau and Nadis 2010, p.171</ref>。 この仕事で使われた方法は[[理論物理学]]からの数学的には厳密([[:en:mathematical rigor]])ではないアイデアを基礎としていたが、数学者たちはミラー対称性予想のいくつかを数学的厳密に証明した。特に、ミラー対称性の数え上げ幾何学の予想は、現在では厳密に証明されている<ref>Yau and Nadis 2010, p.172</ref>。
<!---By the year 1991, most of the classical problems of enumerative geometry had been solved and interest in enumerative geometry had begun to diminish. According to mathematician [[Mark Gross]], "As the old problems had been solved, people went back to check Schubert's numbers with modern techniques, but that was getting pretty stale."<ref>Yau and Nadis 2010, p.169</ref> The field was reinvigorated in May 1991 when physicists [[Philip Candelas]], Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parks showed that mirror symmetry could be used to count the number of degree three curves lie on a quintic Calabi-Yau. Roughly speaking, one can think of such a degree three curve as a sphere that lies entirely inside the Calabi-Yau.<ref>Yau and Nadis 2010, p.168</ref> Candelas and his collaborators found that such these six-dimensional Calabi-Yau manifolds can contain exactly 317,206,375 curves of degree three.<ref>Yau and Nadis 2010, p.169</ref>

In addition to counting degree-three curves on a quintic three-fold, Candelas and his collaborators obtained a number of more general results for counting rational curves which went far beyond the results obtained by mathematicians.<ref>Yau and Nadis 2010, p.171</ref> Although the the methods used in this work were based on [[mathematical rigor|nonrigorous]] ideas from [[theoretical physics]], mathematicians have gone on to [[mathematical proof|rigorously prove]] some of the predictions of mirror symmetry. In particular, the enumerative predictions of mirror symmetry have now been rigorously proven.<ref>Yau and Nadis 2010, p.172</ref>-->

===理論物理学===
数え上げ幾何学への応用に加えて、ミラー対称性は[[弦理論]]での計算の実行の基本的なツールである。位相的弦理論のA-モデルでは、[[グロモフ・ウィッテン不変量]]と呼ばれる無限個の数値により、計算することは極めて難しいが、物理的に興味のある量を表現できる。一方、B-モデルでは計算が古典的な[[積分]]へ還元することができ、非常に容易になる<ref>Zaslow 2008, pp. 533–4</ref>。 理論家たちは、ミラー対称性を適用することで、A-モデルでの難しい計算を、等価であるが技術的にはやさしいB-モデル上の計算へ移し替えができるようになった。従って、現在ではこれらの計算は、弦理論の様々な物理的過程の確率を決定することに使われている。ミラー対称性は他の双対性と結合されて、一方の理論を別の異なる理論の等価な計算へ移し替える。この方法で別な理論の計算へ外出しすることにより、理論家たちは双対性を使わずには計算が不可能であった多くの量の計算が可能となった<ref>Zaslow 2008, sec. 10</ref>。
<!---In addition to its applications in enumerative geometry, mirror symmetry is a fundamental tool for doing calculations in string theory. In the A-model of topological string theory, physically interesting quantities are expressed in terms of infinitely many numbers called [[Gromov-Witten invariants]], which are extremely difficult to compute. In the B-model, the calculations can be reduced to classical [[integrals]] and are much easier.<ref>Zaslow 2008, pp. 533–4</ref> By applying mirror symmetry, theorists can translate difficult calculations in the A-model into equivalent but technically easier calculations in the B-model. These calculations are then used to determine the probabilities of various physical processes in string theory. Mirror symmetry can be combined with other dualities to translate calculations in one theory into equivalent calculations in a different theory. By outsourcing calculations to different theories in this way, theorists can calculate many quantities that are impossible to calculate without the use of dualities.<ref>Zaslow 2008, sec. 10</ref>-->

弦理論以外では、ミラー対称性は[[基本粒子]]を記述するために、物理学者が使う形式である[[場の量子論]]の一側面を理解することに使われる。例えば、ミラー対称性は[[ゲージ理論]]の性質を理解することに使われる。ゲージ理論は、基本粒子の[[標準模型]]の中に現れ、高度に対称性をもった物理理論である。そのような理論は、近接した背景を伝播する弦から発生し、ミラー対称性はこれらの理論の計算をすることに有用な道具である<ref>Hori et al. 2003, p. 677</ref>。実際、このアプローチは、[[ネーサン・サイバーグ]](Nathan Seiberg)やエドワート・ウィッテンにより研究された 4次元の時空の中の重要なゲージ理論の計算の実行に使われ、[[ドナルドソン不変量]]の脈絡での数学に良く似ている<ref>Hori et al. 2003, p. 679</ref>。 ミラー対称性の一般化として、{{仮リンク|3次元ミラー対称性|en|3D mirror symmetry}}(3D mirror symmetry)と呼ばれるミラー対称性もあって、3次元時空の中の場の量子論のペアを関係付ける<ref>Intriligator and Seiberg 1996</ref>。
<!---Outside of string theory, mirror symmetry is used to understand aspects of [[quantum field theory]], the formalism that physicists use to describe [[elementary particle]]s. For example, mirror symmetry can be used to understand properties of [[gauge theory|gauge theories]] (a class of highly symmetric physical theories appearing, for example, in the standard model of particle physics). Such theories arise from strings propagating on a nearly singular background, and mirror symmetry is a useful tool for doing computations in these theories.<ref>Hori et al. 2003, p. 677</ref> Indeed, this approach can be used to perform calculations in an important gauge theory in four spacetime dimensions that was studied by [[Nathan Seiberg]] and Edward Witten and is also familiar in mathematics in the context of [[Donaldson invariant]]s.<ref>Hori et al. 2003, p. 679</ref> There is also a generalization of mirror symmetry called [[3D mirror symmetry]] which relates pairs of quantum field theories in three spacetime dimensions.<ref>Intriligator and Seiberg 1996</ref>-->

==ミラー対称性へのアプローチ==
===ホモロジカルミラー対称性===
{{main|ホモロジカルミラー対称性予想}}
[[File:D3-brane et D2-brane.PNG|thumb|right|350px|[[Dブレーン|D-ブレーン]]のペアに端点を固定された開弦]]
[[弦理論]]や[[超重力理論]]のような関連する理論では、'''｢ブレーン｣'''(brane)が点粒子の考え方の高次元への一般化された物理的対象である。例えば、点粒子はゼロ次元のブレーンと考えることができるのに対し、弦は 1次元のブレーンとして考えることができる。また高次元のブレーンも考えることができる。ブレーンということばは、'''｢メンブレーン｣'''(membrane)ということばから来ていて、2次元のブレーンである。<ref>Moore 2005, p.214</ref>

弦理論では、{{仮リンク|弦 (物理学)|en|string (physics)}}は、（2つの端点を持つ構成となっている）開弦と（閉じたループになっている）閉弦がある。[[Dブレーン|D-ブレーン]]は、開弦を考えるときに発生する重要なブレーンのクラスである。開弦は時空の中を伝搬し、その端点は D-ブレーンの上にあることを要求される。D-ブレーンの中の文字の "D" は、[[ディリクレ境界条件]]として知られているある数学的条件を導入するという事実から来る。<ref>Moore 2005, p.215</ref>
<!---
=== Homological mirror symmetry ===
{{main|Homological mirror symmetry}}
[[File:D3-brane et D2-brane.PNG|thumb|right|350px|Open strings attached to a pair of [[D-brane]]s.]]
In string theory and related theories such as [[Supergravity|supergravity theories]], a ''brane'' is a physical object that generalizes the notion of a point particle to higher dimensions. For example, a point particle can be viewed as a brane of dimension zero, while a string can be viewed as a brane of dimension one. It is also possible to consider higher dimensional branes. The word brane comes from the word "membrane" which refers to a two-dimensional brane.<ref>Moore 2005, p. 214</ref>

In string theory, a string may be open (forming a segment with two endpoints) or closed (forming a closed loop). [[D-brane]]s are an important class of branes that arise when one considers open strings. As an open string propagates through spacetime, its endpoints are required to lie on a D-brane. The letter "D" in D-brane refers to the fact that one imposes a certain mathematical condition on the system known as the [[Dirichlet boundary condition]].<ref>Moore 2005, p. 215</ref>-->

数学的には、ブレーンは[[圏 (数学)|圏]]の概念を使い記述することができる。<ref>Aspinwall et al. 2009</ref> これは'''対象'''と対象の任意のペアに対して、それらの間の'''射'''(morphism)からなる数学的な構造である。大半の例では、対象はある数学的な構造を持っていて（例えば、[[集合]]、[[ベクトル空間]]や[[位相空間]]といった）、射はこれらの構造の間の[[函数]]により与えられる。<ref>A basic reference on category theory is Mac Lane 1998.</ref> 対象がD-ブレーンで、射が2つのD-ブレーン <math>\alpha</math> と <math>\beta</math> の間の射が <math>\alpha</math> と <math>\beta</math> の間に伸びた開弦の[[波動函数]]であるとも考えられる。<ref>Zaslow 2008, p.536</ref>

[[位相的弦理論]]のB-モデルでは、D-ブレーンのカテゴリは、その上に弦が伝搬するカラビ・ヤウ多様体の[[複素幾何学]]から構成される。数学のことばでは、カラビ・ヤウ多様体上の[[連接層]]の[[導来圏]]として知られている。他方、A-モデルのD-ブレーンのカテゴリは、ミラーであるカラビ・ヤウ多様体の[[シンプレクティック幾何学]]から構成される。数学では、これは{{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya category}}として知られている。<ref>Aspinwall et al. 2009, p.575</ref> [[マキシム・コンツェビッチ]]の[[ホモロジカルミラー対称性予想]]は、ある意味でこれらの 2つのブレーンのカテゴリが同値であることを言っている。<ref>Aspinwall et al. 2009, p.616</ref>
<!---Mathematically, branes can be described using the notion of a [[category (mathematics)|category]].<ref>Aspinwall et al. 2009</ref> This is a mathematical structure consisting of ''objects'', and for any pair of objects, a set of ''morphisms'' between them. In most examples, the objects are mathematical structures of some kind (for example, [[set (mathematics)|set]]s, [[vector spaces]], or [[topological spaces]]) and the morphisms are given by [[function (mathematics)|functions]] between these structures.<ref>A basic reference on category theory is Mac Lane 1998.</ref> One can also consider categories where the objects are D-branes and the morphisms between two branes <math>\alpha</math> and <math>\beta</math> are [[wavefunction]]s of open strings stretched between <math>\alpha</math> and <math>\beta</math>.<ref>Zaslow 2008, p. 536</ref>

In the B-model of [[topological string theory]], the category of D-branes is constructed from the [[complex geometry]] of the Calabi-Yau manifold on which the strings propagate. In mathematical language, it is known as the [[derived category]] of [[coherent sheaves]] on the Calabi-Yau. On the other hand, the category of D-branes in the A-model is constructed from the [[symplectic geometry]] of the mirror Calabi-Yau. It is known in mathematics as the [[Fukaya category]].<ref>Aspinwall et al. 2009, p.575</ref> The [[homological mirror symmetry]] conjecture of [[Maxim Kontsevich]] states that these two categories of branes are equivalent in a certain sense.<ref>Aspinwall et al. 2009, p.616</ref>-->

===SYZ予想===
{{main|SYZ予想}}
ミラー対称性を理解しようとするもう一つのアプローチは、[[アンドリュー・ストロミンガー|アンドリュー・ストロミンジャー]](Andrew Strominger)、[[シン＝トゥン・ヤウ]]([[:en:Shing-Tung Yau]])、{{仮リンク|エリック・ザスロフ|en|Eric Zaslow}}(Eric Zaslow)により1996年の論文で示唆された。<ref name="#2"/> SYZ予想に従うと、ミラー対称性は複雑なカラビ・ヤウ多様体をより単純なピースへ分解し、これらのピースの上での [[#T-双対|T-双対]]を考えることにより理解することができる。<ref>Yau and Nadis 2010, p.174</ref>

オーバービューのセクションで[[トーラス]]を考えたことを思い出すと、このトーラスが2つの円の[[直積集合|積]]とみなすことができた。このことは、（図の中の赤い円として示したように）縦の円（経線）を集めた[[合併 (集合論)|合併]]として考えることができることを意味する。これらの円をどのように編成するかという補助的な空間が存在し、この空間自体が円となる（ピンクの円で示した）。この空間はトーラス上で経線の円を'''パラメトライズ'''すると言われる。上で説明したように、ミラー対称性は経線に作用するT-双対に同値で、半径 <math>R_1</math> から <math>1/R_1</math> へ変換することとなる。
<!---Another approach to understanding mirror symmetry was suggested by [[Andrew Strominger]], [[Shing-Tung Yau]], and [[Eric Zaslow]] in 1996.<ref>Strominger, Yau, and Zaslow 1996</ref> According to the SYZ conjecture, mirror symmetry can be understood by dividing a complicated Calabi-Yau manifold into simpler pieces and considering the effects of [[T-duality]] on these pieces.<ref>Yau and Nadis 2010, p.174</ref>

Recall that in the Overview section we considered the case of a [[torus]], and we viewed this torus as the [[cartesian product|product]] of two circles. This means that the torus can be viewed as the [[union (set theory)|union]] of a collection of longitudinal circles (such as the red circle in the image). There is an auxiliary space which says how these circles are organized, and this space is itself a circle (the pink circle). This space is said to ''parametrize'' the longitudinal circles on the torus. As explained above, mirror symmetry is equivalent to T-duality acting on the longitudinal circles, changing their radii from <math>R_1</math> to <math>1/R_1</math>.-->

SYZ予想は、このアイデアをより複雑な6次元カラビ・ヤウ多様体の場合へ一般化した予想である。トーラスの場合のように、6次元カラビ・ヤウ多様体をより単純なピースへ分割することができ、この場合には{{仮リンク|3次元トーラス|en|3-torus}}が{{仮リンク|3次元球面|en|3-sphere}}によりパラメトライズされる。<ref>より詳しくは、3次元球面の各々の点に付随した3次元トーラスが存在する。ただし例外は、特異点を持つトーラスに対応するある悪い性質を持つ点がありうる。Yau and Nadis 2010, pp.176--7を参照のこと。</ref> T-双対はこの分解に現れるように、円から3次元トーラスへ拡張が可能で、SYZ予想はミラー対称性がこれらの3次元トーラスのT-双対の同時に適用さることと同値であることを言っている。<ref>Yau and Nadis 2010, p.178</ref> このようにして、SYZ予想はカラビ・ヤウ多様体の上にミラー対称性がどのように作用するかの幾何学的な素描を与えた。
<!---The SYZ conjecture generalizes this idea to the more complicated case of six-dimensional Calabi-Yau manifolds. As in the case of a torus, one can divide a six-dimensional Calabi-Yau into simpler pieces, which in this case are [[3-torus|3-tori]] (three-dimensional objects which generalize the notion of a torus) parametrized by a [[3-sphere]] (a three-dimensional generalization of a sphere).<ref>More precisely, there is a 3-torus associated to every point on the three-sphere except at certain bad points, which correspond to singular tori. See Yau and Nadis 2010, pp. 176–7.</ref> T-duality can be extended from circles to the three-dimensional tori appearing in this decomposition, and the SYZ conjecture states that mirror symmetry is equivalent to the simultaneous application of T-duality to these three-dimensional tori. In this way, the SYZ conjecture provides a geometric picture of how mirror symmetry acts on a Calabi-Yau manifold.<ref>Yau and Nadis 2010, p. 178</ref>-->

==歴史と発展==

===ミラー対称性の発見===

ミラー対称性のアイデアは、1980年代中期まで遡ることができ、そのときは半径 <math>R</math> の円の上の伝搬している[[弦理論|弦]]が物理学的には、適当な[[物理単位|計量の単位]]をとると、半径 <math>1/R</math> の円の上を伝搬している弦と等価であることに気付いたときである。<ref>This was first observed in Kikkawa and Yamasaki 1984 and Sakai and Senda 1986.</ref> この現象は、現在では[[T-双対]]として知られていて、ミラー対称性に密接に関連していることが理解されている。

1985年からの論文の中で、{{仮リンク|フィリップ・キャンデラス|en|Philip Candelas}}(Philip Candelas)、ガリー・ホロビッツ(Gary Horowitz)、[[アンドリュー・ストロミンガー|アンドリュー・ストロミンジャー]](Andrew Strominger)と[[エドワード・ウィッテン]](Edward Witten)は弦理論を[[カラビ・ヤウ多様体]]上へ[[コンパクト化 (物理学)|コンパクト化]]することで、大まかには理論が[[標準理論|素粒子理論の標準モデル]]に似たものとなることを示した。<ref>Candelas et al. 1985</ref> この発展につづき、多くの物理学者たちは、弦理論に基礎を持つ素粒子物理の現実に合うモデルを構成できるのではないかと期待し、カラビ・ヤウコンパクト化の研究を始めた。そのような物理的なモデルが与えるには、対応するカラビ・ヤウ多様体が一意に再構成することができないことには注意する必要があった。代わりに、同一の物理から発生する 2つのカラビ・ヤウ多様体が存在することを発見した。<ref>This was observed in Dixon 1988 and Lerche, Vafa, and Warner 1989.</ref>
<!--- 	
==History and development==
 	
===The discovery of mirror symmetry===

The idea of mirror symmetry can be traced back to the mid-1980s when it was noticed that a [[string (physics)|string]] propagating on a circle of radius <math>R</math> is physically equivalent to a string propagating on a circle of radius <math>1/R</math> in appropriate [[units of measurements|units]].<ref>This was first observed in Kikkawa and Yamasaki 1984 and Sakai and Senda 1986.</ref> This phenomenon is now known as [[T-duality]] and is understood to be closely related to mirror symmetry.

In a paper from 1985, [[Philip Candelas]], [[Gary Horowitz]], [[Andrew Strominger]], and [[Edward Witten]] showed that by [[compactification (physics)|compactifying]] string theory on a [[Calabi-Yau manifold]], one obtains a theory roughly similar to the [[standard model of particle physics]].<ref>Candelas et al. 1985</ref> Following this development, many physicists began studying Calabi-Yau compactifications, hoping to construct realistic models of particle physics based on string theory. It was noticed that given such a physical model, it is not possible to uniquely reconstruct a corresponding Calabi-Yau manifold. Instead, one finds that there are ''two'' Calabi-Yau manifolds that give rise to the same physics.<ref>This was observed in Dixon 1988 and Lerche, Vafa, and Warner 1989.</ref>-->

カラビ・ヤウ多様体とある[[共形場理論]]の間の関係の研究により、[[ブライアン・グリーン]](Brian Greene)とローネン・プレッサー(Ronen Plesser)は、非自明なミラー関係にあることを発見した<ref>Green and Plesser 1990; Yau and Nadis 2010, p. 158</ref>。さらにこの関係の証拠は、プリップ・キャンデラス(Philip Candelas)とモニカ・リンカー(Monika Lynker)とロルフ・シームリック(Rolf Schimmrigk)の仕事からで結論されていて、彼らは計算機により多くの数のカラビ・ヤウ多様体を研究する中から、それらの中にミラーペアが現れることを発見した<ref>Candelas, Lynker, and Schimmrigk 1990; Yau and Nadis 2010, p. 163</ref>。
<!---By studying the relationship between Calabi-Yau manifolds and certain [[conformal field theory|conformal field theories]], [[Brian Greene]] and [[Ronen Plesser]] found nontrivial examples of the mirror relationship.<ref>Green and Plesser 1990; Yau and Nadis 2010, p. 158</ref> Further evidence for this relationship came from the work of Philip Candelas, Monika Lynker, and Rolf Schimmrigk, who surveyed a large number of Calabi–Yau manifolds by computer and found that they came in mirror pairs.<ref>Candelas, Lynker, and Schimmrigk 1990; Yau and Nadis 2010, p. 163</ref>-->

===ミラー対称性の応用===

数学者たちは1990年頃からミラー対称性に興味を持ち始めた。1990年頃は、物理学者のフィリップ・キャンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、パウル・グリーン、リンダ・パークス<ref>Candelas et al. 1991</ref>らは、ミラー対称性を使うことで[[数え上げ幾何学]]において10年以上未解決問題であったものが解けることを示した<ref>Yau and Nadis 2010, p.165</ref>。これらの結果は、1991年の[[バークレー (カリフォルニア州)|バークレー]]での{{仮リンク|数理科学研究所|en|Mathematical Sciences Research Institute}}(Mathematical Sciences Research Institute)(MSRI)での研究集会で提案された。この研究集会の中で、[[有理曲線]]の数え上げ問題をキャンデラスの計算した数の一つが、ノルウェーの数学者{{仮リンク|ゲイル・エリングスラッド|en|Geir Ellingsrud}}(Geir Ellingsrud)とシュタイン・アリルド・シュトローム(Stein Arild Strømme)が見かけ以上に厳密なテクニックを使い得ていた数に不一致であることが認知された。<ref>Yau and Nadis 2010, p.169--170</ref> この研究集会で多くの数学者が、キャンデラスの仕事は、厳密な数学的な議論を基礎としていないので、誤っているのではないかとの前提に立っていた。しかしながら、それらの解を試してみると、エリングスラッドとシュトロームは、彼らの行った計算機のコードが誤っていることを発見し、このコードを正しくすると、解がキャンデラスと協力者たちの得ていた解に一致するという答えを得た。<ref>Yau and Nadis 2010, p.170</ref>
<!---===Mirror symmetry finds applications===

Mathematicians became interested in mirror symmetry around 1990 when physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parks showed that mirror symmetry could be used to solve certain problems in [[enumerative geometry]],<ref>Candelas et al. 1991</ref> some of which had resisted solution for decades or more.<ref>Yau and Nadis 2010, p.165</ref> These results were presented to mathematicians at a conference at the [[Mathematical Sciences Research Institute]] (MSRI) in [[Berkeley, California]] in May 1991. During this conference, it was noticed that one of the numbers Candelas had computed for the problem of counting [[rational curve]]s disagreed with the number obtained by [[Norwegian]] mathematicians [[Geir Ellingsrud]] and [[Stein Arild Strømme]] using ostensibly more rigorous techniques.<ref>Yau and Nadis 2010, p.169--170</ref> Many mathematicians at the conference assumed that Candelas's work contained a mistake since it was not based on rigorous mathematical arguments. However, after examining their solution, Ellingsrud and Strømme discovered an error in their computer code and, upon fixing the code, they got an answer that agreed with the one obtained by Candelas and his collaborators.<ref>Yau and Nadis 2010, p.170</ref>-->

===証明されたミラー対称性===

1990年、エドワード・ウィッテンは弦理論を簡素化した[[位相的場の理論]]を導入し<ref name="#3"/>、物理学者たちは位相的場の理論にもミラー対称性のバージョンが存在することを示した。<ref>Vafa 1992; Witten 1992</ref> この位相的場の理論についてのステートメントは、普通は数学的な脈絡でのミラー対称性の定義として使われている。<ref>Hori et al. 2003, p. xviii</ref> 1995年、数学者[[マキシム・コンツェビッチ]](Maxim Kontsevich)は、弦理論の物理的なミラー対称性にアイデアの基礎を置く新しい数学的な予想を提案した<ref name="#9">Kontsevich 1995</ref>。[[ホモロジカルミラー対称性予想|ホモロジカルミラー対称性]]として知られているこのミラー対称性予想は、ミラー対称性を2つの数学的構造の同値性として定式化した。すなわち、カラビ・ヤウ多様体上の[[連接層]]の[[導来圏]]とそのミラーの{{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya category}}の同値性である。<ref name="#9"/>

1996年から2000年にかけての、{{仮リンク|アレクサンダー・ギベンタール|en|Alexander Givental}}(Alexander Givental)、ボング・リアン(Bong Lian)、{{仮リンク|ケフェング・リウ|en|Kefeng Liu}}(Kefeng Liu)、[[シン＝トゥン・ヤウ]](Shing-Tung Yau)はコンセビッチのいくつかのアイデアをどのようにして有理曲線の実際の数え上げに精密化して適用することができるかを示した。<ref name="#1"/> これらの結果が、現次元での、ミラー対称性の数学的な証明をどのように考えるのかを示している。
<!---===Mirror symmetry proved===

In 1990, Edward Witten introduced [[topological string theory]],<ref>Witten 1990</ref> a simplified version of string theory, and physicists showed that there is a version of mirror symmetry for topological string theory.<ref>Vafa 1992; Witten 1992</ref> This statement about topological string theory is usually taken as the definition of mirror symmetry in the mathematical literature.<ref>Hori et al. 2003, p. xviii</ref> In 1995, mathematician [[Maxim Kontsevich]] presented a new mathematical conjecture based on the physical idea of mirror symmetry in topological string theory<ref>Kontsevich 1995</ref>. Known as [[homological mirror symmetry]], this conjecture formalizes mirror symmetry as an equivalence of two mathematical structures: the [[derived category]] of [[coherent sheaf|coherent sheaves]] on a Calabi-Yau manifold and the [[Fukaya category]] of its mirror.<ref>Kontsevich 1995</ref>

In the years from 1996 to 2000, [[Alexander Givental]], [[Bong Lian]], [[Kefeng Liu]], and [[Shing-Tung Yau]] showed how some of Kontsevich's ideas could be refined to effectively count rational curves.<ref>Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000</ref> These results form what is now considered to be the mathematical proof of mirror symmetry.-->

==関連項目==
* {{仮リンク|3次元ミラー対称性|en|3D mirror symmetry}}
* [[チャーン・サイモンズ理論]]
* [[ドナルドソン・トーマス理論]]
* [[モンストラス・ムーンシャイン]]
* [[サイバーグ・ウィッテン不変量]]
* {{仮リンク|頂点作用素代数|en|Vertex operator algebra}}
* {{仮リンク|壁越え|label=ウォールクロッシング|en|Wall-crossing}}

==脚注==
{{reflist|2}}

==参考文献==
{{refbegin|2}}
* {{cite book |editor1-first=Paul |editor1-last=Aspinwall |editor2-first=Tom |editor2-last=Bridgeland |editor3-first=Alastair |editor3-last=Craw |editor4-first=Michael |editor4-last=Douglas |editor5-first=Mark |editor5-last=Gross |editor6-first=Anton |editor6-last=Kapustin |editor7-first=Gregory |editor7-last=Moore |editor8-first=Graeme |editor8-last=Segal |editor9-first=Balázs |editor9-last=Szendröi |editor10-first=P.M.H. |editor10-last=Wilson |title=Dirichlet Branes and Mirror Symmetry |year=2009 |publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-3848-8}}
* {{cite journal |last=Candelas |first=Philip |last2=de la Ossa |first2=Xenia |last3=Green |first3=Paul |last4=Parks |first4=Linda |year=1991 |title=A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory |journal=Nuclear Physics B |volume=342 |issue=1 |pages=21–74 |doi=10.1007/s00220-007-0354-8|bibcode=2007CMaPh.276..671W }}{{failed verification|date=May 2014}}
* {{cite journal |last1=Candelas |first1=Philip |last2=Horowitz |first2=Gary |last3=Strominger |first3= Andrew |last4=Witten |first4=Edward |year=1985 |title=Vacuum configurations for superstrings |journal=Nuclear Physics B |volume=258 |issue= |pages=46–74|bibcode = 1985NuPhB.258...46C |doi=10.1016/0550-3213(85)90602-9 }}
* {{cite journal |last1=Candelas |first1=Philip |last2=Lynker |first2=Monika |last3=Schimmrigk |first3=Rolf |year=1990 |title=Calabi–Yau manifolds in weighted <math>\mathbb{P}_4</math> |journal=Nuclear Physics B |volume=341 |issue=1 |pages=383–402 |doi=10.1016/0550-3213(90)90185-G|bibcode=1990NuPhB.341..383C }}
* {{cite journal |last1=Dixon |first1=Lance |year=1988 |title=Some world-sheet properties of superstring compactifications, on orbifolds and otherwise |journal=ICTP Ser. Theoret. Phys. |volume=4 |pages=67–126 |isbn=978-9971-5-0452-6}}
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* {{cite journal |last1=Givental |first1=Alexander |year=1998 |title=A mirror theorem for toric complete intersections |journal=Topological field theory, primitive forms and related topics |pages=141–175 |doi=10.1007/978-1-4612-0705-4_5|isbn=978-1-4612-6874-1 }}
* {{cite book |last1=Greene |first1=Brian |title=The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory |year=2000 |publisher=Random House |isbn=978-0-9650888-0-0}}
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* {{cite book |editor1-first=Kentaro |editor1-last=Hori |editor2-first=Sheldon |editor2-last=Katz |editor3-first=Albrecht |editor3-last=Klemm |editor4-first=Rahul |editor4-last=Pandharipande |editor5-first=Richard |editor5-last=Thomas |editor6-first=Cumrun |editor6-last=Vafa |editor7-first=Ravi |editor7-last=Vakil |editor8-first=Eric |editor8-last=Zaslow |title=Mirror Symmetry |year=2003 |publisher=American Mathematical Society |url=http://math.stanford.edu/~vakil/files/mirrorfinal.pdf |isbn=0-8218-2955-6 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060919020706/http://math.stanford.edu/~vakil/files/mirrorfinal.pdf |archivedate=2006年9月19日 |deadurldate=2017年9月 }}
* {{cite arXiv |last1=Hori |first1=Kentaro |last2=Vafa |first2=Cumrun |eprint=hep-th/0002222 |title=Mirror Symmetry |year=2000}}
* {{cite journal |last1=Intriligator |first1=Kenneth |last2=Seiberg |first2=Nathan |title=Mirror symmetry in three-dimensional gauge theories |journal=Physics Letters B |year=1996 |volume=387 |issue=3 |pages=513–519 |doi=10.1016/0370-2693(96)01088-X|bibcode=1996PhLB..387..513I }}
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* {{Citation |last=Kontsevich |first=Maxim |date=1995a |publisher=Birkhäuser |doi=10.1007/978-1-4612-4264-2_12|contribution=Enumeration of Rational Curves Via Torus Actions |title=The Moduli Space of Curves |isbn=978-1-4612-8714-8 |page=335 }}
* {{cite journal |last1=Kontsevich |first1=Maxim |year=1995b |title=Homological algebra of mirror symmetry |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |pages=120–139|bibcode=1994alg.geom.11018K |arxiv=alg-geom/9411018 }}
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* {{cite journal |last1=Lian |first1=Bong |last2=Liu |first2=Kefeng |last3=Yau |first3=Shing-Tung |year=1997 |title=Mirror principle, I |journal=Asian Journal of Math |volume=1 |pages=729–763|bibcode=1997alg.geom.12011L |arxiv=alg-geom/9712011 }}
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* {{cite book |last1=Mac Lane |first1=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |year=1998 |isbn=978-0-387-98403-2}}
* {{cite journal| author=Moore, Gregory | title=What is&nbsp;... a Brane?| journal=Notices of the AMS| year=2005 | url=http://www.ams.org/notices/200502/what-is.pdf |format=PDF| accessdate=June 2013 |page=214|  volume=52}}
* {{cite journal |last1=Sakai |first1=Norisuke |last2=Senda |first2=Ikuo |year=1986 |title=Vacuum energies of string compactified on torus |journal=Progress of Theoretical Physics |volume=75 |issue=3 |pages=692–705|bibcode = 1986PThPh..75..692S |doi = 10.1143/PTP.75.692 }}
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* {{cite journal |last1=Witten |first1=Edward |year=1990 |title=On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity |journal=Nuclear Physics B |volume=340 |issue=2–3 |pages=281–332|bibcode = 1990NuPhB.340..281W |doi = 10.1016/0550-3213(90)90449-N }}
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* {{Cite book| last1=Zaslow | first1=Eric | contribution=Mirror Symmetry | year=2008 | title=The Princeton Companion to Mathematics | editor-last=Gowers | editor-first=Timothy | isbn=978-0-691-11880-2 }}
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* {{cite journal |last1=Kontsevich |first1=Maxim |year=1995 |title=Homological algebra of mirror symmetry |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |pages=120–139}}
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* {{cite journal |last1=Witten |first1=Edward |year=1992 |title=Mirror manifolds and topological field theory |journal=Essays on mirror manifolds |pages=121–160}}
* {{Citation | last1=Zaslow | first1=Eric | contribution=Mirror Symmetry | year=2008 | title=The Princeton Companion to Mathematics | editor-last=Gowers | editor-first=Timothy | isbn=978-0691118802}}

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{{弦理論}}
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[[Category:弦理論]]
[[Category:対称性]]
[[Category:数理物理学]]