ミルズ比のソースを表示

[[確率論]]において、 [[確率分布|連続確率分布]] <math>X</math>の'''ミルズ比'''（ミル比）は、関数

: <math>m(x) := \frac{\bar{F}(x)}{f(x)} ,</math>

で表される。このとき、 <math>f(x)</math> はXの[[確率密度関数|確率密度変数]]であり、

: <math>\bar{F}(x) := \Pr[X>x] = \int_x^{+\infty} f(u)\, du</math>

は[[生存関数]]（相補[[累積分布関数]]）である。 この概念は [[John P. Mills]]にちなんで名づけられている<ref>{{Cite journal|last=Mills|first=John P.|year=1926|title=Table of the Ratio: Area to Bounding Ordinate, for Any Portion of Normal Curve|journal=[[Biometrika]]|volume=18|issue=3/4|pages=395–400|DOI=10.1093/biomet/18.3-4.395|JSTOR=2331957}}</ref>。

ミルズ比は[[故障率#連続的な故障率|ハザード率]] <math>h(x)</math>に関連し、

: <math>h(x):=\lim_{\delta\to 0} \frac{1}{\delta}\Pr[x < X \leq x + \delta | X > x]</math>

のときのミルズ比は

: <math>m(x) = \frac{1}{h(x)}.</math>

となる。

== 例 ==
<math>X</math>が [[正規分布|標準正規分布]]であるとき、 ミルズ比は次のように表される。

: <math>m(x) \sim 1/x , \, </math>

このとき、記号<math>\sim</math> は2つの関数の商が <math>x\to+\infty</math>のときに1に収束することを示している（詳細は[[:en:Q-function]]を参照）。より正確な[[漸近線]]を与えることができる。

== 逆ミルズ比 ==
'''逆ミルズ比''' は、ある分布の [[累積分布関数|相補累積分布関数]] の[[確率密度関数]]の [[比]] である。逆ミルズ比は、下記のようなデータが切断された[[正規分布]]に用いられる。 ''X'' が平均値 ''μ'' 分散 ''σ''<sup>2</sup> の[[正規分布]]の[[確率変数]] のとき、

: <math>\begin{align}
  & \operatorname{E}[\,X\,|\ X > \alpha \,] = 
            \mu + \sigma \frac {\phi\big(\tfrac{\alpha-\mu}{\sigma}\big)}{1-\Phi\big(\tfrac{\alpha-\mu}{\sigma}\big)}, \\
  & \operatorname{E}[\,X\,|\ X < \alpha \,] = 
            \mu - \sigma \frac {\phi\big(\tfrac{\alpha-\mu}{\sigma}\big)}{\Phi\big(\tfrac{\alpha-\mu}{\sigma}\big)},
  \end{align}</math>

このとき、 <math>\alpha</math> は母数, <math>\phi</math> 標準正規分布の確率密度関数、<math>\Phi</math> 標準正規分布の累積分布関数を示す。この二つの要素が、逆ミルズ比である<ref>{{Cite book |last=Greene |first=W. H. |year=2003 |title=Econometric Analysis |publisher=Prentice-Hall |edition=Fifth |isbn=0-13-066189-9 |page=759}}</ref>。

=== 回帰分析での使用 ===
一般的な逆ミルズ比の適用例は、[[回帰分析]]でのセレクションバイアスの影響を補正する際に用いる。従属変数が打ち切られている（すなわちすべての変数が観測されたものではない）とき、ゼロとして観測された変数が多く存在する。この問題は、Tobin (1958)によって初めて指摘された。彼は、回帰分析での推定の際に打ち切りの影響を考慮しない場合、通常の[[最小二乗法]]による推定では偏ったパラメータ推定値が得られることを指摘している<ref>{{Cite journal|last=Tobin|first=J.|year=1958|title=Estimation of relationships for limited dependent variables|url=http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d00/d0003-r.pdf|journal=[[Econometrica]]|volume=26|issue=1|pages=24–36|DOI=10.2307/1907382|JSTOR=1907382}}</ref>。これは、打ち切られた従属変数を用いることで、独立変数と誤差項の間の相関がゼロであるという[[ガウス＝マルコフの定理|ガウス=マルコフの定理]]の仮定に反することからわかる<ref>{{Cite book |first=Takeshi |last=Amemiya |author-link=Takeshi Amemiya |title=Advanced Econometrics |location=Cambridge |publisher=Harvard University Press |year=1985 |isbn=0-674-00560-0 |pages=[https://archive.org/details/advancedeconomet00amem/page/366 366]–368 |url=https://archive.org/details/advancedeconomet00amem}}</ref>。

[[ジェームズ・ヘックマン|James Heckman]] はセレクションバイアスを補正するために、逆ミルズ比を用いた2段階推定法を提案した<ref name="Heckman1979" /><ref>{{Cite book |first=Takeshi |last=Amemiya |title=Advanced Econometrics |location=Cambridge |publisher=Harvard University Press |year=1985 |isbn=0-674-00560-0 |pages=[https://archive.org/details/advancedeconomet00amem/page/368 368]–373 |url=https://archive.org/details/advancedeconomet00amem}}</ref>。第一に、従属変数をプロビットモデルを用いた回帰分析を行う。逆ミルズ比は、ロジットモデルでは用いることができず、プロビットモデルから推定する必要がある。このプロビットモデルは、誤差項が標準正規分布に従うと仮定している<ref name="Heckman1979">{{Cite journal|last=Heckman|first=J. J.|year=1979|title=Sample Selection as a Specification Error|journal=Econometrica|volume=47|issue=1|pages=153–161|DOI=10.2307/1912352|JSTOR=1912352}}</ref>。第二に、プロビットモデルを用いて推定されたパラメータを用いて逆ミルズ比を計算し、この結果を最小二乗法を用いた回帰分析の説明変数に用いる<ref>{{Cite journal|last=Heckman|first=J. J.|year=1976|title=The common structure of statistical models of truncation, sample selection and limited dependent variables and a simple estimator for such models|journal=Annals of Economic and Social Measurement|volume=5|issue=4|pages=475–492}}</ref>。

== 関連項目 ==

* [[ジェームズ・ヘックマン]]

== 参考文献 ==
{{Reflist|30em|refs=
<!--
<ref name="GS">{{cite book |first1=G. |last1=Grimmett |first2=S. |last2=Stirzaker |title=Probability Theory and Random Processes |edition=3rd |publisher=Cambridge |year=2001 |isbn=0-19-857223-9 |page=98 |url=https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC&pg=PA98 }}</ref>
<ref name="S">{{cite book |title=Expansions and Asymptotics for Statistics |series=Monographs on Statistics & Applied Probability |pages=48, 50–51, 88–90 |volume=115 |first=Christopher G. |last=Small |publisher=CRC Press |year=2010 |isbn=978-1-4200-1102-9 |url=https://books.google.com/books?id=uXexXLoZnZAC&pg=PA48 }}.</ref>
<ref name="KM">{{cite book |last1=Klein |first1=J. P.|author-link2=Melvin L. Moeschberger |last2=Moeschberger |first2=M. L. |title=Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data |location=New York |publisher=Springer |year=2003 |isbn=0-387-95399-X |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=aO7xBwAAQBAJ&pg=PA27 }}</ref>
-->
}}
{{デフォルトソート:みるすひ}}
[[Category:確率分布論]]
[[category:数学に関する記事]]