ミロネンコ反射函数のソースを表示

[[数学]]において、ある[[力学系]]の'''反射函数'''（はんしゃかんすう、{{Lang-en-short|reflecting function}}）<math>\,F(t,x)</math> とは、式 <math>\,x(-t)=F(t,x(t))</math> によって過去の状態 <math>\,x(-t)</math> と未来の状態 <math>\,x(t)</math> を結びつけるものである。{{仮リンク|ウラジミール・ミロネンコ|en|Vladimir Ivanovich Mironenko}}によって導入された。

== 定義 ==

[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]形式での[[弱解|一般解]] <math>\varphi(t;t_0,x)</math> を持つ[[微分方程式系の可積分条件|微分方程式系]] <math>\dot x=X(t,x)</math> に対して、反射函数は式 <math>F(t,x)=\varphi(-t;t,x)</math> で定義される。

== 応用 ==

ベクトル函数 <math>\,x(-t)</math> が <math>\,t</math> に関して周期 <math>\,2\omega</math> であるなら、<math>\,F(-\omega,x)</math> は <math>\,[-\omega;\omega]</math> において周期的な微分方程式系 <math>\dot x=X(t,x)</math> の変換（[[ポアンカレ写像]]）である。したがって反射函数に関する既知の結果より、その系の[[周期関数|周期解]]の初期データ <math>\,(\omega,x_0)</math> を求め、解の[[リアプノフ安定|安定性]]を調べることが可能となる。

系 <math>\dot x=X(t,x)</math> の反射函数 <math>\,F(t,x)</math> に対し、基本的な次の関係

: <math>\,F_t+F_x X+X(-t,F)=0,\qquad F(0,x)=x</math>

が成立する。

したがって、[[初等函数]]に対してですら、直交系において可積分でないポアンカレ写像を見つけることがしばしば可能となる。

== 参考文献 ==
* Мироненко В. И. [http://tov.lenin.ru/vi/Mironenko%20V.I.%20Otrazhayushchaya%20funkciya%20i%20periodicheskie%20resheniya%20differencial%27nyh%20uravnenij.%20(1986).djvu Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений]. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
* Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

== 外部リンク ==
* [http://reflecting-function.narod.ru The Reflecting Function Site]
* [http://journals2.scholarsportal.info/details.xqy?uri=/08939659/v22i0009/1356_htceds How to construct equivalent differential systems]

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