ミンコフスキーの定理のソースを表示

[[File:Mconvexe.png|thumb|250px|平面 '''''R'''''<sup>2</sup> の原点に関して対称な凸集合が2<sup>2</sup>より大きい面積をもつならば、原点とは異なる整数点をもつ。]]
'''ミンコフスキーの定理'''（{{lang-en-short|Minkowski's theorem}}）は凸体の中の[[格子点]]の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。[[ヘルマン・ミンコフスキー]]によって証明され、[[二次形式]]の研究に用いられた。
凸体と格子点の関係に関する研究は[[数の幾何学]]へと発展し、二次形式のほか、[[代数体]]の[[可逆元|単数]]や[[イデアル類群]]の性質の研究、[[ディオファントス近似]]など数論の様々な領域に応用されている。

== 内容 ==
''L'' を '''''R'''''<sup>'' n''</sup> 上の格子とし、 ''d'' (''L'') を ''L'' に対応する[[行列]]の[[行列式]]とする。
'''''R'''''<sup>''n''</sup> 内の、原点に関して対称で体積が <math>2^n d(L)</math> より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる ''L'' 上の点を有する<ref>{{harvtxt|Cassels|1997|pp=71-72|loc=Chapter III.2.2, Theorem II}}, {{harvtxt|Nathanson|1996|pp=175-176|loc=Chapter 6.2, Theorem 6.4}}</ref>。

特に体積が 2<sup>''n''</sup> より大きい、原点に関して対称な '''''R'''''<sup>''n''</sup> 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。

== 証明 ==
'''''R'''''<sup>'' n''</sup> の部分集合 ''S'' に対して ''V'' (''S'') を ''S'' の体積とする。
まず、次の{{仮リンク|ブリクフェルトの定理|en|Blichfeldt's theorem}}から証明する<ref>{{harvtxt|Cassels|1997|pp=68-69|loc=Chapter III.2, Theorem I}}, {{harvtxt|Nathanson|1996|p=175|loc=Chapter 6.2, Lemma 6.1}}</ref>。

=== ブリクフェルトの定理 ===
''S'' を体積が ''d'' (''L'') より大きな凸集合とすると、''S'' は ''L'' を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
:<math>\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\in L\setminus\{\mathbf{0}\}</math>
となる <math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S</math> がとれる。これは次のように証明できる。

''L'' の[[基底]] <math>\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n</math> をとり
:<math>F=\{a_1 \mathbf{u}_1+a_2 \mathbf{u}_2+\cdots +a_n \mathbf{u}_n : 0\leq a_1, a_2, \ldots, a_n <1\}</math>
をこの基底に対する ''L'' の基本領域とすると
:<math>V(F)=d(L)</math>
が成り立つ。
:<math>\mathbf{v}=b_1 \mathbf{u}_1+b_2 \mathbf{u}_2+\cdots +b_n \mathbf{u}_n</math>
に対して
:<math> f(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^n (b_i-\lfloor b_i \rfloor)\mathbf{u}_i</math>
を対応させる。
''f'' は '''''R'''''<sup>'' n''</sup> から ''F'' への写像で、
:<math>f(\mathbf{v})-\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n \lfloor b_i \rfloor \mathbf{u}_i\in L</math>
が成り立つ。さらに ''f'' は平行移動の貼り合わせであらわされるから、
''f'' が ''S'' 上で[[単射]]ならば <math>V(f(S))=V(S)</math> となるはずである。しかし
''f'' の[[像]]は ''F'' に含まれるから
:<math>V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))</math>
となる。よって ''f'' は ''S'' 上単射ではないので
:<math>f(\mathbf{v}_1)=f(\mathbf{v}_2)</math>
となる点 <math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S</math> がとれる。
:<math>f(\mathbf{v}_1)-\mathbf{v}_1, f(\mathbf{v}_2)-\mathbf{v}_2\in L</math>
だから
:<math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S, \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\in L</math>
である。

=== ミンコフスキーの定理の証明 ===
''S'' を '''''R'''''<sup>''n''</sup> 内の、原点に関して対称で体積が <math>2^n d(L)</math> より大きい凸集合とする。
:<math>T=\frac{1}{2}S=\left\{\frac{1}{2}\mathbf{v}: \mathbf{v}\in S\right\}</math>
とおく。<math>V(S)>2^n d(L)</math> だから <math>V(T)=V(S)/2^n>d(L)</math> なので
ブリクフェルトの定理より
:<math>\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2\in L\setminus\{\mathbf{0}\}</math>
となる2点 <math>\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\in T</math> がとれる。
<math>\mathbf{v}_1=2\mathbf{w}_1, \mathbf{u}=2\mathbf{w}_2\in S</math> が成り立ち、
''S'' は原点に関して対称だから <math>\mathbf{v}_2=-\mathbf{u}=-2\mathbf{w}_2\in S</math> も成り立つ。
''S'' は凸集合なので <math>\mathbf{v}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)\in S</math> である。一方で
:<math>\frac{1}{2}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2\in L\setminus\{\mathbf{0}\}</math>
であるから ''S'' は原点とは異なる ''L'' 上の点 <math>\mathbf{v}</math> を有する。

== 系 ==
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。

:<math>l_i=\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \qquad (i=1, 2, \ldots, n)</math>
を ''n'' =''r'' +2''s'' 個の[[一次形式]]とし、そのうち ''l''<sub>1</sub>, ''l''<sub>2</sub>, ..., ''l''<sub>''r''</sub> は実係数を持ち、 ''l'' <sub>''r'' +''j''</sub> と ''l'' <sub>''r'' +''s'' +''j''</sub> ( ''j'' = 1, 2, ..., ''s'' ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 &Delta; &ne; 0 とする。

ここで ''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ..., ''k''<sub>''r'' +''s'' </sub> が実数で
:<math>k_1 k_2 \cdots k_r (k_{r+1} k_{r+2} \cdots k_{r+s})^2\geq \left(\frac{2}{\pi}\right)^s |\Delta| </math>
を満たすならば、
:<math>|l_i|\leq k_i \qquad (i=1, 2, \ldots, r+s)</math>
となる整数 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> が存在する。

また ''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ..., ''k''<sub>''r'' +''s'' </sub> が実数で
:<math>k_1 k_2 \cdots k_r (k_{r+1} k_{r+2} \cdots k_{r+s})^2\geq \left(\frac{4}{\pi}\right)^s\frac{n!}{n^n} |\Delta|</math>
を満たすならば、
:<math>\prod_{i=1}^n |l_i|\leq |\Delta|</math>
となる整数 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> が存在する。

== 応用 ==
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。
たとえばフェルマーの[[二個の平方数の和|二平方定理]]は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの[[四平方定理]]は4次元空間の超[[球体]]内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる<ref>{{harvtxt|Cassels|1997|pp=98-102|loc=Chapter III.7}}, {{harvtxt|Nathanson|1996|pp=177-179|loc=Chapter 6.3}} など</ref>。

ミンコフスキーの定理の系から、''r'' 個の実共役と 2''s'' 個の（つまり ''s'' 対の共役対からなる）複素共役をもつ ''n'' =''r'' +2''s'' 次の、判別式 &Delta; をもつ代数体の [[イデアル類群]]のそれぞれの類はノルムが
:<math>\left(\frac{4}{\pi}\right)^s\frac{n!}{n^n} |\Delta|</math>
を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これを'''ミンコフスキー限界'''という。

=== 二平方定理の証明 ===
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる<ref>{{harvtxt|Cassels|1997|p=99|loc=Chapter III.7.2}}</ref>。
実際 ''p'' を <math>4n+1</math> の形の素数とすると
:<math>t^2+1\equiv 0\pmod{p}</math>
となる ''t'' がとれる（''p'' を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。
:<math>y\equiv tx\pmod{p}</math>
となる点 <math>(x, y)</math> 全体は
<math>(1, t), (0, p)</math> を基底とする格子 ''L'' と一致し、<math>d(L)=p</math> が成り立つ。
原点を中心とする半径 <math>\sqrt{2p}</math> の開円盤は面積 <math>2\pi p>4p</math> の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる ''L'' の格子点 <math>(a, b)</math> を含む。
:<math>b\equiv ta\pmod{p}</math>
であるから
:<math>a^2+b^2\equiv a^2(1+t^2)\equiv 0\pmod{p}</math>
である。一方 <math>(a, b)</math> は原点ではなく、かつ原点からの距離は <math>\sqrt{2p}</math> より小さいから
:<math>0<a^2+b^2<2p</math>
である。よって
:<math>p=a^2+b^2</math>
が成り立ち、 ''p'' は2つの平方数の和であらわされる。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
*[[数の幾何学]]
*[[離散幾何学]]
*[[球充填]]

== 参考文献 ==
*{{cite book
 | author = J. W. S. Cassels,
 | title = An Introduction to the Geometry of Numbers
 | year = 1959, 1971, 1997
 | isbn = 978-3-642-62035-5
 | doi = 10.1007/978-3-642-62035-5
 | publisher = Springer-Verlag}}
*{{cite book
 | author = John Conway and Neil J. A. Sloane,
 | title =     Sphere Packings, Lattices and Groups
 | year = 1999
 | isbn = 978-1-4757-6568-7
 | doi= 10.1007/978-1-4757-6568-7
 | publisher = Springer-Verlag}}
*{{cite book
 | author = Hancock, Harris
 | title = Development of the Minkowski Geometry of Numbers, vol I, II
 | year = 1964, 2005
 | publisher = Dover （旧版 The MacMillan, 1939）}} 
*{{cite book
 | author = Pascale Gruber and C. G. Lekkerkerker
 | title = Geometry of Numbers
 | year = 1987
 | isbn = 9780080960234
 | publisher = Elsevier}}
*{{cite book
 | author = Melvyn B. Nathanson,
 | title = Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets (Graduate Texts in Math. 165)
 | year = 1996
 | isbn = 978-0-387-94655-9
 | publisher = Springer-Verlag}}
*{{cite book
 | author = Wolfgang M. Schmidt,
 | title = Diophantine approximation (Lecture Notes in Math. 785)
 | year = 1980
 | isbn = 978-3-540-38645-2
 | doi = 10.1007/978-3-540-38645-2
 | publisher = Springer-Verlag}}
*{{cite book
 | author = Wolfgang M. Schmidt,
 | title = Diophantine Approximations and Diophantine Equations (Lecture Notes in Math. 1467)
 | year = 1991
 | isbn = 978-3-540-47374-9
 | doi = 10.1007/BFb0098246
 | publisher = Springer-Verlag}}

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