ミンコフスキー汎関数のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]の分野における'''ミンコフスキー汎関数'''（ミンコフスキーはんかんすう、{{Lang-en-short|Minkowski functional}}）とは、線型空間上に距離の概念をもたらすような関数のことである。

''K'' を、線型空間 ''V'' に含まれる対称な凸体とする。''V'' 上の関数 ''p'' を

:<math>p(x) = \inf \{ \lambda \in \mathbb{R}_{> 0} : x \in \lambda K \} </math>

によって定める（ただしこの右辺が well-defined である場合）<ref>Thompson (1996) p.17</ref>。

==動機==
===例1===
[[ノルム線型空間]] ''X'' を考える。そのノルムは ||·|| で表されるものとする。''K'' を、''X'' に含まれる単位球とする。関数 ''p'': ''X'' → '''R''' を

:<math>p(x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\} </math>

によって定める。このとき、<math>p(x) = \|x\|</math> が成立するため、''p'' はまさしく ''X'' 上のノルムということになる。この ''p'' はミンコフスキー汎関数の特別な例である。

===例2===
''X'' を、スカラーの体（基礎体）'''K''' による位相を備えない線型空間とする。φ ∈ ''X''&prime;　を、''X'' の代数的双対とする。すなわち、φ: ''X'' → '''K''' は ''X'' 上の線型汎関数である。''a'' &gt; 0 を固定し、集合 ''K'' を

:<math>K = \{ x \in X : | \varphi(x) | \leq a \} </math>

によって定める。ふたたび、関数

:<math>p(x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\} </math>

を定める。すると、

:<math>p(x) = \frac{1}{a} | \varphi(x) | </math>

が成立する。この関数 ''p''(''x'') もミンコフスキー汎関数の特別な例である。これは次のような性質を備えている:

# [[劣加法性|劣加法的]]である: ''p''(''x'' + ''y'') ≤ ''p''(''x'') + ''p''(''y'').
# [[同次函数|同次的]]である: すべての ''α'' ∈ '''K''' に対して、''p''(''α x'') = |''α''| ''p''(''x'') が成り立つ。
# 非負である。

以上の性質から ''p'' は、誘導位相を備えた ''X'' 上の[[ノルム|半ノルム]]ということになる。これは「良い」集合を通して定義されたミンコフスキー汎関数の特性である。半ノルムと、そのような集合によって与えられたミンコフスキー汎関数との間には一対一の対応が存在する。ここで言う「良い」という語の正式な意味は、後述の節を参照されたい。

強い条件の要請されるノルムと比較して、半ノルムであるこの場合では ''p(x) = 0'' は必ずしも ''x = 0'' を意味しないことに注意されたい。上の例では、''φ'' の核にはゼロでない ''x'' が含まれている。したがって、結果として導かれる位相は必ずしもハウスドルフではない。

==定義==
上の例では、与えられた（複素あるいは実）線型空間 ''X'' およびその部分集合 ''K'' に対し、対応するミンコフスキー汎関数

:<math>p_K\colon X \to [0, \infty)</math>

を

:<math>p_K (x) = \inf\{r > 0: x \in r K\} </math>

によって定義することが出来ると示唆していた。このような関数はしばしば <math>K</math> の計測関数（gauge）と呼ばれる。

この定義では、非明示的に 0 ∈ ''K'' および、集合 {''r'' > 0: ''x'' ∈ ''r K''} が空でないことが仮定されている。''p<sub>K</sub>'' が半ノルムの性質を備えるためには、''K'' にさらなる追加条件が必要となる。それは次のようなものである:

# ''K'' は[[凸集合|凸]]である（これは ''p<sub>K</sub>'' の劣加法性を意味する）。
# ''K'' は均衡である。すなわち、すべての |α| ≤ 1 に対して α''K'' ⊂ ''K'' が成立する（これは ''p<sub>K</sub>'' の同次性を意味する）。

これらの条件を満たす集合 ''K'' は、[[絶対凸集合|絶対凸]]と呼ばれる。

===''K'' の凸性===
''K'' の凸性は関数 ''p<sub>K</sub>'' の劣加法性を意味する、ということは次のような簡単な幾何的な議論によって示される: 便宜的に ''p<sub>K</sub>''(''x'') = ''p<sub>K</sub>''(''y'') = ''r'' を仮定する。すると、任意の ''ε'' > 0 に対して ''x'', ''y'' ∈ (''r + ε'') ''K'' = ''K''&prime; となる。''K'' が凸であるという仮定により、'' K' '' もまた凸であることが分かる。したがって、½ ''x'' + ½ ''y'' は '' K' '' に含まれる。ミンコフスキー汎関数 ''p<sub>K</sub>'' の定義により、

:<math>p_K\left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y\right) \le r + \epsilon = \frac{1}{2} p_K(x) + \frac{1}{2} p_K(y) + \epsilon </math>

が得られるが、この左辺は ½ ''p<sub>K</sub>''(''x'' + ''y'') であるため、

:<math>p_K(x + y) \le  p_K(x) + p_K(y) + \epsilon \quad \forall \epsilon > 0</math>

が得られる。これが劣加法性に関する求める不等式である。一般の ''p<sub>K</sub>''(''x'') > ''p<sub>K</sub>''(''y'') の場合については、簡単な修正を加えることで分かる。

'''注意''' 集合 {''r'' > 0: ''x'' ∈ ''r K''} が空でないという元々の仮定の下で ''K'' が凸であるということは、''K'' が[[吸収的集合]]であることを意味する。

===''K'' の均衡性===
''K'' が均衡であるということは

:<math>\lambda x \in r K \quad \mbox{if and only if} \quad x \in \frac{r}{|\lambda|} K </math>

を意味することに注意されたい。したがって、

:<math>p_K (\lambda x) = \inf \left\{r > 0:  \lambda x \in r K \right\} 
=  \inf \left\{r > 0:  x \in \frac{r}{|\lambda|} K \right\}
= \inf \left\{ | \lambda | \frac{r}{ | \lambda | } > 0:  x \in \frac{r}{|\lambda|} K \right\}
= |\lambda| p_K(x)
</math>

を得る。

==関連項目==
* [[ハドヴィガーの定理]]
* [[ヒューゴ・ハドヴィガー]]
* [[数理形態学|モルフォロジー画像処理]]

==注釈==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book | title=Minkowski Geometry | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | first=Anthony C. | last=Thompson | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1996 | isbn=0-521-40472-X }}

{{DEFAULTSORT:みんこふすきいはんかんすう}}
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