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{{No footnotes|date=2023年10月}}
'''ミンコフスキー空間'''（ミンコフスキーくうかん、{{lang-en-short|Minkowski space}}）とは、非退化で対称な[[線型性#重線型|双線型形式]]を持つ[[実数|実]][[ベクトル空間]]である。[[ドイツ]]の[[数学者]]の[[ヘルマン・ミンコフスキー]]に因んで名付けられている。[[アルベルト・アインシュタイン]]による[[特殊相対性理論]]を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では[[空間]]に[[時間]]を組み合わせた[[時空]]を表現するため、[[物理学]]の文脈では'''ミンコフスキー時空'''とも呼ばれる。

== 構造 ==
{{Math|(''m'',''n'')}}-型のミンコフスキー空間 {{Math|'''M'''<sup>''m'',''n''</sup>}} は、まず計量を無視して単なるベクトル空間と考えると{{Mvar|m}}-次元[[ユークリッド空間]]と {{Mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]]の[[加群の直和|直和]] {{Math|1='''M'''<sup>''m'',''n''</sup> = '''E'''<sup>''m''</sup>⊕'''E'''<sup>''n''</sup>}} と定義されるものである。

（すなわち、集合としては[[直積集合]] {{Math|1='''M'''<sup>''m'',''n''</sup> = '''E'''<sup>''m''</sup>×'''E'''<sup>''n''</sup>}} であり、{{Math|''V'' ∈ '''M'''<sup>''m'',''n''</sup>}} に対して {{Math|''V''<sub>(''m'')</sub> ∈ '''E'''<sup>''m''</sup>, ''V''<sub>(''n'')</sub> ∈ '''E'''<sup>''n''</sup>}} がただ一組存在して[[順序対]]として
: {{Math|1=''V''=(''V''<sub>(''m'')</sub>,''V''<sub>(''n'')</sub>)}}
と表され、加法とスカラー倍は、 {{Math|''a'', ''b'' ∈ '''R'''}} に対して
: {{Math|1=''aV''+''bW'' = (''aV''<sub>(''m'')</sub>+''bW''<sub>(''m'')</sub>, ''aV''<sub>(''n'')</sub>+''bW''<sub>(''n'')</sub>)}}
であり、[[零ベクトル]] {{Math|'''0''' ∈ '''M'''<sup>''m'',''n''</sup>}} は、それぞれの零ベクトル {{Math|'''0'''<sub>(''m'')</sub>∈'''E'''<sup>''m''</sup>, '''0'''<sub>(''n'')</sub>∈'''E'''<sup>''n''</sup>}} の順序対
: '''0'''={{Math|(''0''<sub>(''m'')</sub>,''0''<sub>(''n'')</sub>)}} 
として定義されるようなものである。）

次元は {{Math|1=dim '''M'''<sup>''m'',''n''</sup> = ''m''+''n''}} である。

=== ミンコフスキー計量 ===
直積空間としての {{Math|(''m'',''n'')}}-型のミンコフスキー空間 {{Math|1='''M'''<sup>''m'',''n''</sup> = '''E'''<sup>''m''</sup>×'''E'''<sup>''n''</sup>}} における'''ミンコフスキー計量''' {{Math|''η''<sub>(''m'',''n'')</sub>}} は、ユークリッド空間 {{Math|'''E'''<sup>''m''</sup>, '''E'''<sup>''n''</sup>}} におけるユークリッド計量を {{Math|''d''<sub>(''m'')</sub>, ''d''<sub>(''n'')</sub>}} として
: <math>\begin{align}\eta_{(m,n)}(V,W)=&~d_{(m)}(V_{(m)},W_{(m)})\\&-d_{(n)}(V_{(n)},W_{(n)})\end{align}</math>
で定義される。このとき{{Mvar|V}} のノルムは
: <math>\begin{align}V^2&=\eta_{(m,n)}(V,V) \\&=d_{(m)}(V_{(m)},V_{(m)}) -d_{(n)}(V_{(n)},V_{(n)})\\&=(V_{(m)})^2 -(V_{(n)})^2\end{align}</math>
となる。特に {{Math|1=''V'' = ('''0'''<sup>(''m'')</sup>, ''V''<sup>(''n'')</sup>) ∈ '''M'''<sup>(''m'',''n'')</sup>}} と選ぶと
: <math>V^2 =(\mathbf0_{(m)})^2 -(V_{(n)})^2 =-(V_{(n)})^2</math>
となり、ユークリッド計量の[[正定値双線型形式|正定値性]]から、このノルムは負となる。すなわち、ミンコフスキー計量は不定計量である。

=== ミンコフスキー内積 ===
ミンコフスキー空間における非退化で対称な双線型形式は、通常の[[ユークリッド空間]]における[[内積]]と見かけ上似通ったものだが、正定値性を要求しないため通常の意味での内積とは限らない。この双線型形式はミンコフスキー内積、あるいはミンコフスキー計量と呼ばれる。

即ちミンコフスキー空間{{Math|'''M'''}} 上のミンコフスキー内積とは[[写像]] {{Math|''η'': '''M'''×'''M'''→'''R'''}}

（つまり、任意の {{Math|'''M'''}} 上のベクトル {{Math|''V'', ''W''}} の組に対応する実数 {{Math|''η''(''V'', ''W'')}} を考えることになる）

であって、次の3つの条件を満たすもののことである：
# [[双線型写像|双線形性]]: {{Math|<sup>∀</sup>''a'', ''b'' ∈ '''R''', <sup>∀</sup>''U'', ''V'', ''W'' ∈ '''M'''}} について
#: {{Math|1=''η''(''aU''+''bV'', ''W'') = ''aη''(''U'', ''W'') + ''bη''(''V'', ''W'')}}
#: {{Math|1=''η''(''W'', ''aU''+''bV'') = ''aη''(''W'', ''U'') + ''bη''(''W'', ''V'')}}
# 対称性: 任意の {{Math|''V'', ''W'' ∈ '''M'''}} について {{Math|1=''η''(''V'', ''W'') = ''η''(''W'', ''V'')}}
# [[非退化]]性: 任意の {{Math|''W''∈'''M'''}} について {{Math|1=''η''(''V'', ''W'') = 0}} ならば {{Math|1=''V'' = 0}}
この3条件から正定値性（{{Math|''V''≠0}} ならば {{Math|''η''(''V'', ''V'')>0}}）は従わず、これらを満たす写像は通常の意味での内積とは限らないことに注意しなければならない。つまりベクトル {{Mvar|V}} の'''ミンコフスキーノルム'''の二乗 {{Math|1=''V''<sup>2</sup> = ''η''(''V'', ''V'')}} は正の数になるとは限らないし、{{Mvar|V}} が零ベクトルでなくても {{Math|0}} になることがありうる。ここで正定値性はより弱い条件である非退化性に置き換えられており、この内積は'''不定'''<!-- indefinite -->な内積だといわれる。 

ユークリッド空間と同じように、{{Math|1=''η''(''V'', ''W'') = 0}} となっているとき二つのベクトル {{Math|''V'', ''W''}} は[[直交]]しているといわれる。しかし、ミンコフスキー空間では二つのベクトルが張る[[平面]]の上で {{Mvar|η}} が常に負になるような場合<!-- hyperbolic-orthogonal, 双曲直交事象? -->をも考えることになる。この現象は通常の[[複素平面]]が持つユークリッド構造に対する変形として考えられる二次元の[[クリフォード代数]]
: {{Math|1=''A'' = ''R''.1 ⊕ ''R''.''v'', ''v''<sup>2</sup> = 1}}
<!-- split-complex number -->の類似と見なすことができる。

ベクトル {{Mvar|V}} は {{Math|1=''V''<sup>2</sup> = ±1}} を満たすとき単位ベクトルとよばれる。互いに直交する単位ベクトルからなる {{Math|'''M'''}} の基底は正規直交基底とよばれる。[[シルベスターの慣性律]]（あるいは[[グラム・シュミットの正規直交化法]]）によって、上の3条件を満たす内積は必ず正規直交基底をもち、基底に現れる正の単位ベクトルと負の単位ベクトルの数は基底の取り方によらないことが従う。この、基底に現れるベクトルの正負の数の対は考えている内積の符号とよばれる。正負の数はミンコフスキー空間をユークリッド空間の直積集合として表したときのそれぞれのユークリッド空間の次元に対応する。正規直交基底のうち、位置に依らない単位ベクトルからなる基底は標準基底と呼ばれる。

== 別の定義の方法 ==
上の節ではミンコフスキー空間がベクトル空間として定義されたが、実ベクトル空間上の[[アフィン空間]]として定義する流儀もある。こちらの視点に立てば、ミンコフスキー空間を、ローレンツ群を[[固定群]]とするようなポアンカレ群の[[等質空間]]だと考えることになる。{{main|エルランゲンプログラム}}

== ローレンツ変換 ==
ミンコフスキー空間 {{Math|'''M'''}} からそれ自身への変換で、ミンコフスキー内積を保つようなものはローレンツ変換とよばれる。{{main|ローレンツ変換|ローレンツ群|ホモトピー}}

== 相対論的な時空 ==
物理学においては、内積の符号が {{Math|(&minus;, +, +, ..., +)}} もしくは {{Math|(+, &minus;, &minus;, ..., &minus;)}} であるようなミンコフスキー空間 {{Math|'''M'''<sup>''d'',1</sup>}} もしくは {{Math|'''M'''<sup>1, ''d''</sup>}} が、特殊相対性理論に基づく時空を表現する枠組みとして用いられる。{{Mvar|d}} は空間の次元を表し、通常の3次元空間に時間を組み合わせた4次元時空では {{Math|1=''d'' = 3}} である。{{Math|'''M'''<sup>''d'',1</sup>}} もしくは {{Math|'''M'''<sup>1, ''d''</sup>}} を {{Math|'''E'''<sup>''d''</sup>}} と {{Math|'''E'''<sup>1</sup>}} の直和に分解したとき、符号がどちらの場合でも {{Math|'''E'''<sup>''d''</sup>}} に対応する部分は'''空間成分'''と呼ばれ、{{Math|'''E'''<sup>1</sup>}} に対応する部分は'''時間成分'''と呼ばれる。標準基底は {{Math|'''E'''<sup>''d''</sup>}} に対応する単位ベクトルは {{Math|1, ..., ''d''}} で番号付けされ、{{Math|'''E'''<sup>1</sup>}} に対応する単位ベクトルは 0 で番号付けされることが多い。また、この標準基底により[[数ベクトル空間]]と同一視したとき、その[[ベクトルの共変性と反変性|反変ベクトル]]としての成分表示は
: {{Math|1=''V'' = (''V''<sup>0</sup>, ''V''<sup>1</sup>, ..., ''V''<sup>''d''</sup>)}}
と並べられることが多い。空間成分はベクトルを[[太字|ボールド]]で表す慣習によって
: {{Math|1=''V'' = (''V''<sup>0</sup>, '''''V''''')}}
で表されることもある。また、時間成分は対応する物理量の記号で表されることもある。
{{See also|4元ベクトル}}

符号が {{Math|(&minus;, +, +, ..., +)}} の場合には、2つのベクトル {{Math|''V'', ''W''}} のミンコフスキー内積は成分を用いて
: {{Math|1=''η''(''V'', ''W'') = &minus;''V''<sup>0</sup> ''W''<sup>0</sup> + ''V''<sup>1</sup> ''W''<sup>1</sup> + ... + ''V''<sup>''d''</sup> ''W''<sup>''d''</sup> = ('''''V''''', '''''W''''') &minus; ''V''<sup>0</sup> ''W''<sup>0</sup>}}
と書かれる。また、ノルムは
: {{Math|1=''V''<sup>2</sup> = ''η''(''V'',''V'') = (''V''<sup>1</sup>)<sup>2</sup> + ... + (''V''<sup>''d''</sup>)<sup>2</sup> &minus;(''V''<sup>0</sup>)<sup>2</sup> = '''''V'''''<sup>2</sup> &minus; (''V''<sup>0</sup>)<sup>2</sup>}}
と書かれる。{{Math|1=''η''(''V'', ''W'') = ''η''<sub>''μν''</sub> ''V''<sup>''μ''</sup> ''W''<sup>''ν''</sup>}} によりミンコフスキー内積 {{Mvar|η}} を成分表示すれば、行列により
: <math>\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&&0\\\vdots&\vdots&&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}</math>
となる。この[[行列式]]は
: {{Math|1=det ''η'' = &minus;1}}
となる。

符号が {{Math|(+,&minus;,&minus;,...,&minus;)
}} の場合は
: <math>\eta = \begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&-1&0&\cdots&0\\0&0&-1&&0\\\vdots&\vdots&&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&-1\end{pmatrix}</math>
: {{Math|1=det ''η'' = (&minus;1)<sup>''d''</sup>}}
となる。

=== 因果構造 ===
[[ファイル:World line (ja).svg|300px|right|thumb|空間の次元のうち2成分のみ示したミンコフスキー空間の図]]
ミンコフスキー空間の元（4元ベクトル）はそのミンコフスキー内積の符号によって分類される。4元ベクトル {{Mvar|V}} に関して、 
* {{Math|1=''η''<sub>''ab''</sub>''V''<sup>''a''</sup>''V''<sup>''b''</sup> = ''V''<sup>''a''</sup>''V''<sub>''a''</sub> < 0}}であるとき {{Mvar|V}} は '''時間的''' であるといわれる
* {{Math|1=''η''<sub>''ab''</sub>''V''<sup>''a''</sup>''V''<sup>''b''</sup> = ''V''<sup>''a''</sup>''V''<sub>''a''</sub> > 0}} であるとき {{Mvar|V}} は '''空間的'''であるといわれる 
* {{Math|1=''η''<sub>''ab''</sub>''V''<sup>''a''</sup>''V''<sup>''b''</sup> = ''V''<sup>''a''</sup>''V''<sub>''a''</sub> = 0}} であるとき {{Mvar|V}} は '''ヌル的''' ('''光的''') であるといわれる

これらの用語は[[物理学]]における[[相対性理論]]でミンコフスキー空間が使われることからきている。ミンコフスキー空間内のヌルベクトル全体の[[集合]]は[[光円錐]]を表している。これらの概念は指標系（標準基底の選択）によらずに定義されている。<!--[[Vector field]]s are called timelike, spacelike or null if the associated vectors are timelike, spacelike or null at each point where the field is defined.-->ヌルベクトルについては、二つのヌルベクトルが（ミンコフスキー内積に関して）直交しているならばそれらは[[平行]]である、という性質がある。

時間の向き（標準基底の {{Math|''e''<sub>0</sub>}}）が選ばれると、時間的ベクトルやヌルベクトルを様々なクラスに分けることができる。時間的ベクトルについては
# '''未来方向時間的''': ベクトルは負の時間成分（{{Math|''V''<sup>0</sup>}}）を持つ
# '''過去方向時間的''': ベクトルは正の時間成分を持つ
と分類でき、ヌルベクトルについては:
# ベクトル空間の零元としての'''零ベクトル''':（成分が {{Math|(0,0,0,0)}} となる）
# '''未来方向ヌル''': ベクトルは負の時間成分をもつ
# '''過去方向ヌル''': ベクトルは正の時間成分をもつ
と分類できる。空間的ベクトルとあわせて六つのクラスが考えられることになる。

ミンコフスキー空間の正規直交基底は必ず一つの時間的単位ベクトルと三つの空間的単位ベクトルからなっている。正規直交性を外した基底であればほかの組み合わせも可能になり、例えばすべてヌルベクトルからなるような（互いに直交していない）基底をとることができる。

=== 局所平坦時空 ===
厳密にいえば、特殊相対性理論によってミンコフスキー空間をひろがりのある系を記述するために用いることができるのは[[重力]]がほとんど無視できる場合の[[ニュートン極限]]に限られる。重力が無視できない場合には時空は歪み、特殊相対性理論の代わりに[[一般相対性理論]]を考えることが必要になる。

しかしながら、[[等価原理]]によりそのような場合でも（[[重力の特異点]]を除く） 一点の周りの[[無限小]]の領域には局所慣性系を敷けることが保証されるので、ミンコフスキー空間でうまく記述できる。抽象的にいえば、重力がある場合には時空はゆがんだ四次元の多様体となり、各点での[[接空間]]がミンコフスキー空間となっている、と言い表すことができる。したがってミンコフスキー空間の構造は一般相対性理論においても本質的な役割を果たすことになる。

重力を弱めていった極限では時空は平坦になり、局所的にのみならず大域的にもミンコフスキー空間と見なせるようになる。このことからミンコフスキー空間はしばしば'''平坦な時空'''とよばれている。

== 歴史 ==
ミンコフスキー空間の名前は[[ヘルマン・ミンコフスキー]]にちなんだものである。ミンコフスキーは[[1907年]]ごろに、（[[アルベルト・アインシュタイン]]によって発展させられていた）[[特殊相対性理論]]が時間の次元と空間の三つの次元を組み合わせた四次元の時空を用いることで簡素に説明されることを見いだした。
{{Quotation|「空間と時間に関し私がここで展開したいと思っている視点は、[[実験物理学]]の土壌から芽生えたものであり、その力強さを内に持っている。この視点は革新的なものであり、これからは空間それ自身であるとか時間それ自身であるとかいったような概念は陰にすぎないところへと消え去っていくことになる。そしてこの両者を合わせたもののみが独立した実在としてあり続けることになる。」|ヘルマン・ミンコフスキー|[[1908年]]}}
[[1890年代]]における[[双曲四元数]]の発展によりミンコフスキー空間への道が開かれることになった。実際のところ、数学的にはミンコフスキー空間とは双曲四元数の空間から[[乗法]]の情報を忘れて[[双線型形式|双線形形式]]
: {{Math|1=''η''(''p'', ''q'') = −(''pq''* + (''pq''*)*)/2}}
（これは双曲四元数の積 {{Math|''pq''*}} によって定まる）のみを残したものと考えることができる。

==関連項目==<!--項目の50音順-->
{{Wikisourcelang|de|Raum und Zeit (Minkowski)|「空間と時間」}}
{{Wikisourcelang|en|Space and Time|「空間と時間」}}
*[[計量テンソル]]
*[[光速]]
*[[時空]]
*[[世界線]]
*[[双曲空間]]
*[[ベルンハルト・リーマン]]
*[[ペンローズ図]]
*[[ユークリッド空間]]
*[[擬リーマン多様体#ローレンツ多様体|ローレンツ多様体]]

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|editor=物理学史研究刊行会 訳|year=1969|title=相対論|series= 物理学古典論文叢書4|publisher=東海大学出版会|isbn=978-4-486-00765-4|url=https://ndlonline.ndl.go.jp/#!/detail/R300000001-I000001120439-00|ref={{Harvid|物理学史研究刊行会|1969}}}} - 「相対性原理」（H.Minkowski著、[[上川友好]] 訳）、「空間と時間」（H.Minkowski著、上川友好 訳）収録。
*{{Cite book|和書|author=ベルンハルト・リーマン|authorlink=ベルンハルト・リーマン|coauthors=[[ヘルマン・ミンコウスキー]]|others=[[ヘルマン・ワイル]] 序文・解説、[[菅原正巳]] 訳|date=1970-06-10|title=幾何学の基礎をなす仮説について|publisher=清水弘文堂書房|url=https://ndlonline.ndl.go.jp/#!/detail/R300000001-I000001120228-00|ref={{Harvid|リーマン|ミンコウスキー|ワイル|菅原|1970}}}} - ミンコウスキー『空間と時間』を併録。
**{{Cite book|和書|author=ベルンハルト・リーマン|authorlink=ベルンハルト・リーマン|coauthors=[[ヘルマン・ミンコフスキー]]|others=[[ヘルマン・ワイル]] 序文・解説、[[菅原正巳]] 訳|date=2013-11-06|title=幾何学の基礎をなす仮説について|series=ちくま学芸文庫|publisher=[[筑摩書房]]|isbn=978-4-480-09583-1|url=http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480095831/|ref={{Harvid|リーマン|ミンコフスキー|ワイル|菅原|2013}}}} - ミンコフスキー『空間と時間』を併録。
* {{Citation |last=Catoni |first=Francesco |coauthors=Cannata, Roberto; Catoni, Vincenzo; Nichelatti, Enrico; Zampetti, Paolo |year=2008 |title=The Mathematics of Minkowski Space-Time: With an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers |publisher=Birkhäuser |location=Basel |isbn=978-3-7643-8613-9 }}
* {{Citation |title=The Geometry of Minkowski Spacetime |last=Naber |first=Gregory L. |year=1992 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=0-387-97848-8 |edition=hardcover }}
** {{Citation |title=The Geometry of Minkowski Spacetime |last=Naber |first=Gregory L. |year=1992 |publisher=Dover Publications |location=New York |isbn=0-486-43235-1 |edition=paperback }}
* {{Citation |title=The Expanding Worlds of General Relativity |chapter=Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity |last=Walter |first=Scott |authorlink= |editor=Goenner, Hubert ''et al.'' (ed.) |year=1999 |publisher=Birkhäuser |location=Boston |isbn=0-8176-4060-6 |pages=45&ndash;86 |chapterurl=http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/einstd7.pdf }}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ミンコフスキーの時空|2=デジタル大辞泉}}
*[https://www.youtube.com/watch?v=C2VMO7pcWhg アニメーション・クリップ] - 特殊相対性理論の観点からミンコフスキー空間を視覚化したもの。

{{相対性理論}}
{{authority control}}
{{DEFAULTSORT:みんこふすきいくうかん}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:特殊相対性理論]]
[[Category:時空]]
[[Category:ヘルマン・ミンコフスキー]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:一般相対性理論における厳密解]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:数学のエポニム]]