ミンコフスキー距離のソースを表示

{{Distinguish|[[ミンコフスキー空間]]}}

ミンコフスキー距離とは、[[ノルム線型空間]]における[[距離函数|距離計量]]で、[[ユークリッド距離]]および[[マンハッタン距離]]を一般化したものと言える。ドイツの数学者[[ヘルマン・ミンコフスキー]]にちなんで名付けられた。

== 定義 ==

ミンコフスキー距離の次数を「<math>p</math> (ただし、<math>p</math>は整数)」とした時、点<math>X</math>と点<math>Y</math>（ただし、<math>X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>および<math>Y=(y_1,y_2,\ldots,y_n) \in \mathbb{R}^n</math>）の距離は、以下のように定義される。

:<math>D\left(X,Y\right)=\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^\frac{1}{p}</math>


<math>p\geq1</math>の場合においては、ミンコフスキー距離は[[ミンコフスキーの不等式]]の結果を満たす距離計量となる。もし<math>p<1</math>だった場合、点(0,0)と点(1,1)の間の距離は<math>2^{1/p}>2</math>となるが、双方の点と点(0,1)との間の距離は1となる。これは[[三角不等式]]に反するので、<math>p<1</math>の時は距離計量にはならない。しかし、このような距離計量は、単に<math>1/p</math>という冪指数を除去するだけで得られる。この距離計量は同時に[[F-空間|F-ノルム]]でもある。

ミンコフスキー距離は通常、<math>p</math>が1または2の場合が用いられ、これはそれぞれマンハッタン距離とユークリッド距離に対応する。特殊な場合であるが、<math>p</math>が無限に発散する場合は[[チェビシェフ距離]]が得られる。

:<math>\lim_{p\to\infty}{\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^\frac{1}{p}} = \max_{i=1}^n |x_i-y_i|. \,</math>

同様に、<math>p</math>が負の無限大に発散する場合は、このような式になる。:
:<math>\lim_{p\to-\infty}{\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^\frac{1}{p}} = \min_{i=1}^n |x_i-y_i|. \,</math>

ミンコフスキー距離は、点Pと点Qの間の成分ごとの差の累乗平均の倍数と見なすこともできる。

以下の図は、<math>p</math>の値を様々に変化させた時の単位円（中心から等しい距離にある全ての点の集合）を示している。

{{panorama|image=File:2D unit balls.svg|height=200|alt=Unit circles using different Minkowski distance metrics.}}

==関連項目==
* [[Lp空間]]
* [[一般化平均]]
* [[p-ノルム]]

==External links==
[https://gist.github.com/pallas/5565528 Simple IEEE 754 implementation in C++]

[https://www.npmjs.com/package/compute-minkowski-distance NPM JavaScript Package/Module]


{{DEFAULTSORT:みんこふすきいきより}}
[[Category:ノルム空間]]
[[Category:計量幾何学]]
[[Category:ヘルマン・ミンコフスキー]]
[[Category:距離]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]