メガ素数のソースを表示

'''メガ素数'''（{{Lang-en|megaprime}}）は、100万[[桁]]以上の[[素数]]である<ref>{{Cite web |title=The Prime Glossary: megaprime |url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Megaprime |website=Prime Glossary |access-date=2022-05-06 |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220213140321/https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Megaprime |archive-date=2022-02-13}}</ref>。

[[File:Megaprimes found by year.png|thumb|330px|メガ素数の年次ごとの発見数]]

{{As of|2024|11}}、2899 個のメガ素数<ref>{{Cite web2 |last=Caldwell |first=Chris |authorlink=:en:Chris Caldwell (mathematician) |title=THE LARGEST KNOWN PRIMES |url=https://t5k.org/primes/lists/all.txt |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20241129173821/https://t5k.org/primes/lists/all.txt |archive-date=2024-11-29 |access-date=2024-12-01 |website=[[PrimePages|The PrimePages]] |format=TXT |edition=Thu Nov 28 04:37:32 UTC 2024}}</ref>と 146 個の[[確率的素数|確率的メガ素数]]<ref name=":5">{{Cite web2 |title=Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top records |url=http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20241129175312/http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php |archive-date=2024-11-29 |access-date=2024-12-01 |website=www.primenumbers.net}}</ref>が知られている。最初に発見されたメガ素数は、[[メルセンヌ数|メルセンヌ素数]]の2<sup>6972593</sup>−1（2,098,960桁）で、[[1999年]][[6月1日]]にNayan Hajratwalaが[[分散コンピューティング]]・プロジェクト、[[GIMPS]]を使用した物であった<ref>[[GIMPS]] press release, [http://www.mersenne.org/primes/6972593.htm ''GIMPS Finds First Million-Digit Prime'']。2008年1月4日取得。</ref><ref name="largest">Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/notes/by_year.html ''The Largest Known Prime by Year: A Brief History''] at The Prime Pages。2008年9月28日取得。</ref>。

10進数で1,000桁以上の素数は[[タイタニック素数]]と呼ばれ、10,000桁以上の素数は[[巨大素数]]と呼ばれる。

== 種類別のリスト ==
以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。ここで、「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとの[[フェルマーテスト]]など、いくつかのテストをクリアした[[確率的素数]]を "PRP" で表している。
=== メルセンヌ素数 ===
{{Main|メルセンヌ数#メルセンヌ素数}}2024年11月現在で52個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の15個がメガ素数である<ref>{{Cite web2 |title=List of Known Mersenne Prime Numbers |url=https://www.mersenne.org/primes/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20241127054407/https://www.mersenne.org/primes/ |archive-date=2024-11-27 |access-date=2024-12-01 |publisher=[[GIMPS]]}}</ref>。ほとんどの期間で、知られている最大の素数はメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の[[素数判定]]が {{Math|''N'' + 1}} あるいは {{Math|''N'' - 1}} の[[素因数分解]]に基づいており、メルセンヌ数の場合は {{Math|''N'' + 1}} の素因数分解がほとんど自明であったためである<ref>{{Cite web2 |title=The Largest Known Primes (database sumary) |url=https://primes.utm.edu/largest.html |website=[[PrimePages|The PrimePages]] |access-date=2022-05-05 |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220430064841/https://primes.utm.edu/largest.html |archive-date=2022-04-30|url-status=live}}</ref>。
{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!発見された日付
!桁数
!出典
|-
|2<sup>136279841</sup>－1
|Prime
|2024年10月12日
| style="text-align:right" |41,024,320
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>136,279,841</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2024-10-21|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841|language=en|accessdate=2024-10-21}}</ref>
|-
|2<sup>82589933</sup>－1
|Prime
|2018年12月7日
| style="text-align:right" |24,862,048
|<ref name=":2" group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>82,589,933</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2018-12-21|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933|language=en|accessdate=2022-02-19|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20220408035434/https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933|archive-date=2022-05-10}}</ref>
|-
|2<sup>77232917</sup>－1
|Prime
|2017年12月26日
| style="text-align:right" |23,249,425
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>77,232,917</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2018-01-03|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M77232917|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021838/https://www.mersenne.org/primes/?press=M77232917|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>74207281</sup>－1
|Prime
|2016年1月7日
| style="text-align:right" |22,338,618
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>74,207,281</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2016-01-19|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M74207281|language=en|accessdate=2022-03-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20220414153043/https://www.mersenne.org/primes/?press=M74207281|archive-date=2022-04-14|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>57885161</sup>－1
|Prime
|2013年1月25日
| style="text-align:right" |17,425,170
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2<sup>57,885,161</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2013-02-05|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M57885161|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021641/https://www.mersenne.org/primes/?press=M57885161|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>43112609</sup>－1
|Prime
|2008年8月23日
| style="text-align:right" |12,978,189
|<ref name=":12" group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2<sup>43,112,609</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2008-09-15|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M43112609|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021641/https://www.mersenne.org/primes/?press=M43112609|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>42643801</sup>－1
|Prime
|2009年1月4日
| style="text-align:right" |12,837,064
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 2<sup>42,643,801</sup>-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime.|publisher=GIMPS|date=2009-04-12|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M42643801|access-date=2022-05-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021641/https://www.mersenne.org/primes/?press=M42643801|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>37156667</sup>－1
|Prime
|2008年9月6日
| style="text-align:right" |11,185,272
|<ref name=":12" group="GIMPS" />
|-
|2<sup>32582657</sup>－1
|Prime
|2006年9月4日
| style="text-align:right" |9,808,358
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 2<sup>32,582,657</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2006-09-11|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M32582657|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220422024711/https://www.mersenne.org/primes/?press=M32582657|archive-date=2022-04-22|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>30402457</sup>－1
|Prime
|2005年12月15日
| style="text-align:right" |9,152,052
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 2<sup>30,402,457</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2005-12-24|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M30402457|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-date=2022-04-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021709/https://www.mersenne.org/primes/?press=M30402457|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>25964951</sup>－1
|Prime
|2005年2月18日
| style="text-align:right" |7,816,230
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2<sup>25,964,951</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2005-02-27|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M25964951|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021720/https://www.mersenne.org/primes/?press=M25964951|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>24036583</sup>－1
|Prime
|2004年5月15日
| style="text-align:right" |7,235,733
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2<sup>24,036,583</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Project Leaders Believe $100,000 Award Within Reach|publisher=GIMPS|date=2004-05-28|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M24036583|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021641/https://www.mersenne.org/primes/?press=M24036583|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>20996011</sup>－1
|Prime
|2003年11月17日
| style="text-align:right" |6,320,430
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 2<sup>20,996,011</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid|publisher=GIMPS|date=2003-12-02|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M20996011|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021646/https://www.mersenne.org/primes/?press=M20996011|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>13466917</sup>－1
|Prime
|2001年11月14日
| style="text-align:right" |4,053,946
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 2<sup>13,466,917</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid.|publisher=GIMPS|date=2001-12-06|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M13466917|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220502130458/https://www.mersenne.org/primes/?press=M13466917|archive-date=2022-05-02|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>6972593</sup>－1
|Prime
|1999年1月1日
| style="text-align:right" |2,098,960
|<ref group="GIMPS">{{Cite press release2|title=GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 2<sup>6,972,593</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Stakes Claim to $50,000 EFF Award|publisher=GIMPS|date=1999-06-30|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M6972593|language=en|accessdate=2022-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220405185618/https://www.mersenne.org/primes/?press=M6972593|archive-date=2022-04-05|url-status=live}}</ref>
|}

=== プロス数 ===
{{See also|プロス数|カレン数|シェルピンスキー数|フェルマー数}}正の奇数 {{Mvar|k}} と {{Math|2<sup>''n''</sup> &gt; ''k''}} を満たす {{Mvar|n}} に対して、{{Math|1=''N'' = ''k''·2<sup>''n''</sup> + 1}} で表される数を[[プロス数]] ({{Lang-en-short|Proth number}}) と言う。

プロス素数の探索プロジェクトとして[http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=2665 Proth Prime Search]がある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある：

* 第2種[[サービト数]]... {{Math|3·2<sup>''n''</sup> + 1}} ([http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7945 321 Prime Search])
* [[カレン数]] ... {{Math|''n''·2<sup>''n''</sup> + 1}} ([http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7944 Cullen/Woodall prime search])
* [[シェルピンスキー数|シェルピンスキー問題]] ... 最小の[[シェルピンスキー数]]は78557か？ ([http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1647&nowrap=true#20691 Seventeen or Bust])
** [[:en:Sierpiński number#Prime Sierpiński problem|Prime Sierpiński problem]] ... 最小の素数であるシェルピンスキー数は271129か？ ([http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=972 Prime Sierpinski Problem])
** 拡張シェルピンスキー問題 ... 2番目に小さいシェルピンスキー数は271129か？ ([http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=5758 Extended Sierpinski Problem])
* [[フェルマー数]] ... {{Math|2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1}} ([http://www.fermatsearch.org/index.html Distributed Search for Fermat Number Divisors])
** フェルマー数 {{Math|''F''<sub>''n''</sub>}} の素因数は {{Math|''k''·2<sup>''n''+2</sup>+1 (''k'' ≧ 3)}} と表されるため、{{Mvar|k}} が十分に小さいならばプロス数である{{Refn|プロス数でないフェルマー数の素因数は、例えば 6700417 ({{Math|''F''<sub>5</sub>}} の約数) や 274177 ({{Math|''F''<sub>6</sub>}} の約数) が挙げられる<ref>{{Cite web2|url=http://www.prothsearch.com/fermat.html|title=Prime factors  ''k'' · 2''n'' + 1  of Fermat numbers  ''F''<sub>''m''</sub> and complete factoring status|accessdate=2022-05-08|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220502231516/http://www.prothsearch.com/fermat.html|archivedate=2022-05-02|url-status=live}}</ref>。|group=注}}。

{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!発見/報告された日付
!桁数
!出典
!備考
|-
|10223·2<sup>31172165</sup>+1
|Prime
|2016年10月31日
| style="text-align:right" |9,383,761
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=SOB-31172165|publisher=PrimeGrid|date=2016-11-06|url=https://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20220420024657/https://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf|archive-date=2022-04-20|url-status=live}}</ref>
|
|-
|202705·2<sup>21320516</sup>+1
|Prime
|2021年11月25日
| style="text-align:right" |6,418,121
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=ESP-202705|url=https://www.primegrid.com/download/ESP-202705.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021641/http://www.primegrid.com/download/ESP-202705.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|
|-
|81·2<sup>20498148</sup>+1
|Prime
|2023年6月13日
| style="text-align:right" |6,170,560
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://t5k.org/primes/page.php?id=136165|title=PrimePage Primes: 81 · 2^20498148 + 1|access-date=2024-01-23|last=Caldwell|first=Chris K.|authorlink=:en:Chris Caldwell (mathematician)|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20231030172409/https://t5k.org/primes/page.php?id=136165|archive-date=2023-10-30|url-status=live}}</ref>
|
|-
|7·2<sup>20267500</sup>+1
|Prime
|2022年7月21日
| style="text-align:right" |6,101,127
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134192|title=PrimePage Primes: 7·2^20267500 + 1|access-date=2022-09-11|last=Caldwell|first=Chris K.|authorlink=:en:Chris Caldwell (mathematician)|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220726060359/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134192|archive-date=2022-07-26|url-status=live}}</ref>
|
|-
|168451·2<sup>19375200</sup>+1
|Prime
|2017年9月17日
| style="text-align:right" |5,832,522
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=PSP_168451|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/PSP_168451.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220505045100/https://www.primegrid.com/download/PSP_168451.pdf|archive-date=2022-03-05|url-status=live}}</ref>
|
|-
|7·2<sup>18233956</sup>+1
|Prime
|2020年10月1日
| style="text-align:right" |5,488,969
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=131289|title=PrimePage Primes: 7·2^18233956 + 1|access-date=2022-05-08|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407021641/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=131289|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''F''<sub>18233954</sub>}} の素因数
|-
|13·2<sup>16828072</sup>+1
|Prime
|2023年10月11日
|5,065,756
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 13·2^1628072 + 1 |url=https://t5k.org/primes/page.php?id=136522 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240721020035/https://t5k.org/primes/page.php?id=136522 |archive-date=2024-07-21 |access-date=2024-12-01 |website=[[PrimePages|The PrimePages]] |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]}}</ref>
|
|-
|3·2<sup>16408818</sup>+1
|Prime
|2020年10月25日
| style="text-align:right" |4,939,547
|<ref group="PrimeGrid" name=":0">{{Cite press release2|title=321-16408818|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-16408818.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221723/http://primegrid.com/download/321-16408818.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|第2種サービト数
|-
|99739·2<sup>14019102</sup>+1
|Prime
|2019年12月24日
| style="text-align:right" |4,220,176
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=ESP-99739|url=https://www.primegrid.com/download/ESP-99739.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094401/http://www.primegrid.com/download/ESP-99739.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|
|-
|19249·2<sup>13018586</sup>+1
|Prime
|2007年3月26日<ref name=":4">{{Cite web2 |title=Seventeen or Bust and the Sierpinski Problem |url=https://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1647 |website=[[PrimeGrid]] |access-date=2022-05-07 |archive-url=https://archive.ph/QUk4f |archive-date=2022-04-30|url-status=live}}</ref>
| style="text-align:right" |3,918,990
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80385|title=PrimePage Primes: 19249·2^13018586 + 1|access-date=2022-05-07|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211109104047/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80385|archive-date=2021-11-09|url-status=live}}</ref>
|
|-
|193997·2<sup>11452891</sup>+1
|Prime
|2018年4月3日
| style="text-align:right" |3,447,670
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=ESP-193997|url=https://www.primegrid.com/download/ESP-193997.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220424043832/http://primegrid.com/download/ESP-193997.pdf|archive-date=2022-04-24|url-status=live}}</ref>
|
|-
|3·2<sup>10829346</sup>+1
|Prime
|2014年1月14日
| style="text-align:right" |3,259,959
|<ref group="PrimeGrid" name=":1">{{Cite press release2|title=321-10829346|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-10829346.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220130215801/http://www.primegrid.com/download/321-10829346.pdf|archive-date=2022-01-30|url-status=live}}</ref>
|第2種サービト数
|-
|121·2<sup>9584444</sup>+1
|Prime
|2020年11月18日
| style="text-align:right" |2,885,208
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=27121-9584444|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/27121-9584444.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221644/http://primegrid.com/download/27121-9584444.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|
|-
|27653 · 2<sup>9167433</sup>+1
|Prime
|2005年6月8日<ref name=":4" />
| style="text-align:right" |2,759,677
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=74836|title=PrimePage Primes: 27653·2^9167433 + 1|access-date=2022-05-07|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220421192149/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=74836|archive-date=2022-04-21|url-status=live}}</ref>
|
|-
|27·2<sup>8342438</sup>+1
|Prime
|2021年2月1日
| style="text-align:right" |2,511,326
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=27121-8342438|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/27121-8342438.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094401/http://www.primegrid.com/download/27121-8342438.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|
|-
|27·2<sup>7963247</sup>+1
|Prime
|2021年1月14日
| style="text-align:right" |2,397,178
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press|title=DIV-F7963247|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/DIV-F7963247.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220426070205/http://primegrid.com/download/DIV-F7963247.pdf|archive-date=2022-04-26|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''F''<sub>7963245</sub>}} の素因数
|-
|28433 · 2<sup>7830457</sup>+1
|Prime
|2004年12月30日<ref name=":4" />
| style="text-align:right" |2,357,207
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73145|title=PrimePage Primes: 28433·2^7830457 + 1|access-date=2022-05-07|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220212195241/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73145|archive-date=2022-02-12|url-status=live}}</ref>
|
|-
|161041·2<sup>7107964</sup>+1
|Prime
|2015年1月6日
| style="text-align:right" |2,139,716
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=ESP-161041|url=https://www.primegrid.com/download/ESP-161041.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221613/http://primegrid.com/download/ESP-161041.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|
|-
|27·2<sup>7046834</sup>+1
|Prime
|2018年10月11日
| style="text-align:right" |2,121,310
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=27121-7046834|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/27121-7046834.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221619/http://primegrid.com/download/27121-7046834.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|
|-
|3·2<sup>7033641</sup>+1
|Prime
|2011年2月21日
| style="text-align:right" |2,117,338
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-7033641|url=https://www.primegrid.com/download/321-7033641.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220503110212/http://www.primegrid.com/download/321-7033641.pdf|archive-date=2022-03-03|url-status=live}}</ref>
|第2種サービト数
|-
|6679881·2<sup>6679881</sup>+1
|Prime
|2009年7月25日
| style="text-align:right" |2,010,852
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=PrimeGrid's Cullen Prime Search: 6679881*2^6679881+1|publisher=PrimeGrid|url=http://www.primegrid.com/download/cullen-6679881.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20220503110144/http://www.primegrid.com/download/cullen-6679881.pdf|archive-date=2022-05-03|url-status=live}}</ref>
|[[カレン数]]
|-
|1582137·2<sup>6328550</sup>+1
|Prime
|2009年4月20日
| style="text-align:right" |1,905,090
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=PrimeGrid's Cullen Prime Search: 6328548*2^6328548+1|publisher=PrimeGrid|url=http://www.primegrid.com/download/cullen-6328548.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407035852/http://www.primegrid.com/download/cullen-6328548.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|カレン数
|-
|13·2<sup>5523860</sup>+1
|Prime
|2020年1月22日
| style="text-align:right" |1,662,849
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=DIV-F5523858|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/DIV-F5523858.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220410104338/http://primegrid.com/download/DIV-F5523858.pdf|archive-date=2022-04-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''F''<sub>5523858</sub>}} の素因数
|-
|27·2<sup>5213635</sup>+1
|Prime
|2015年3月9日
| style="text-align:right" |1,569,462
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=27121-5213635|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/27121-5213635.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094402/http://www.primegrid.com/download/27121-5213635.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|
|-
|3·2<sup>5082306</sup>+1
|Prime
|2009年4月3日
| style="text-align:right" |1,529,928
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-5082306|url=http://www.primegrid.com/download/321-5082306.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220503110206/http://www.primegrid.com/download/321-5082306.pdf|archive-date=2022-03-03|url-status=live}}</ref>
|第2種サービト数
|-
|121·2<sup>4553899</sup>+1
|Prime
|2012年2月25日
| style="text-align:right" |1,370,863
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=27121-4553899|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/27121-4553899.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220503110232/http://www.primegrid.com/download/27121-4553899.pdf|archive-date=2022-05-03|url-status=live}}</ref>
|
|-
|193·2<sup>3329782</sup>+1
|Prime
|2014年7月25日
| style="text-align:right" |1,002,367
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=DIV-F3329780|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/mega-3329782.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094401/http://www.primegrid.com/download/mega-3329782.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''F''<sub>3329780</sub>}} の素因数
|}

=== サービト数 ===
{{See also|サービト数|en:Thabit number}}
自然数 {{Mvar|n}} に対して {{Math|3·2<sup>''n''</sup> - 1}} の形で表される数を、イスラムの数学者[[サービト・イブン・クッラ]]の名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、[https://www.primegrid.com/forum_forum.php?id=25 321 Prime Search]が存在する。

{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!発見された日付
!桁数
!出典
|-
|3·2<sup>20928756</sup>－1
|Prime
|2023年7月5日
| style="text-align:right" |6,300,184
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-20928756|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-18924988.pdf|format=PDF|access-date=2023-07-24|archive-url=|archive-date=|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>18924988</sup>－1
|Prime
|2022年3月24日
| style="text-align:right" |5,696,990
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-18924988|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-18924988.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220511091854/https://www.primegrid.com/download/321-18924988.pdf|archive-date=2022-05-11|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>18196595</sup>－1
|Prime
|2022年1月8日
| style="text-align:right" |5,477,722
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-18196595|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-18196595.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220508141156/https://www.primegrid.com/download/321-18196595.pdf|archive-date=2022-05-08|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>17748034</sup>－1
|Prime
|2021年9月6日
| style="text-align:right" |5,342,692
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-17748034|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-17748034.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220426070203/http://primegrid.com/download/321-17748034.pdf|archive-date=2022-04-26|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>16819291</sup>－1
|Prime
|2021年1月20日
| style="text-align:right" |5,063,112
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-16819291|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-16819291.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094401/http://www.primegrid.com/download/321-16819291.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>11895718</sup>－1
|Prime
|2015年6月23日
| style="text-align:right" |3,580,969
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-11895718|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-11895718.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406223140/http://primegrid.com/download/321-11895718.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>11731850</sup>－1
|Prime
|2015年3月13日
| style="text-align:right" |3,531,640
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-11731850|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-11731850.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220424043830/http://primegrid.com/download/321-11731850.pdf|archive-date=2022-04-24|url-status=live}}</ref>
|-
|3·2<sup>11484018</sup>－1
|Prime
|2014年11月22日
| style="text-align:right" |3,457,035
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=321-11484018|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/321-11484018.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220405090753/http://www.primegrid.com/download/321-11484018.pdf|archive-date=2022-04-05|url-status=live}}</ref>
|}

=== 一般化フェルマー数 ===
{{See also|一般化フェルマー数|en:Fermat number#Generalized Fermat numbers}}
3以上の整数 {{Mvar|b}} に対して、{{Math|1=GF<sub>''b'', ''n''</sub> = ''b''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1}} で表される数を、{{Mvar|b}} を底とする一般化フェルマー数と言う。

[[PrimeGrid]]の[https://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=5674 Generalized Fermat Prime Search]は、一般化フェルマー数のうち {{Math|''n'' ≧ 15}} の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、[https://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=5674 Generalized Fermat Prime Search]は387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している{{Refnest|指数が131072 (2{{Sup|17}}) であるものが320個<ref>{{Cite web2|url=https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN131072&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=|title=PrimeGrid Primes|website=[[PrimeGrid]]|accessdate=2022-05-07|archiveurl=https://archive.ph/BGeih|archivedate=2022-05-07|url-status=live}}</ref>、262144 (2{{Sup|18}}) であるものが52個<ref>{{Cite web2|url=https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN262144&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=|title=PrimeGrid Primes|website=[[PrimeGrid]]|accessdate=2022-05-07|archiveurl=https://archive.ph/SWLSb|archivedate=2022-04-05|url-status=live}}</ref>、524288 (2{{Sup|19}}) であるものが13個<ref>{{Cite web2|url=https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN524288&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=|title=PrimeGrid Primes|website=[[PrimeGrid]]|accessdate=2022-05-07|archiveurl=https://archive.ph/RJv2U|archivedate=2022-04-05|url-status=live}}</ref>、1048576 (2{{Sup|20}}) であるものが2個<ref>{{Cite web2|url=https://www.primegrid.com/primes/primes.php?project=GFN1048576&factors=+&only=ALL&announcements=ALL&sortby=size&dc=no&search=|title=PrimeGrid Primes|website=[[PrimeGrid]]|accessdate=2022-05-07|archiveurl=https://archive.ph/SUJFT|archivedate=2022-05-07|url-status=live}}</ref>存在する。|group=注}}。
{| class="wikitable"
|+知られている一般化フェルマー素数 (抜粋)
!発見された数
!Prime/PRP
!発見/報告された日付
!桁数
!出典
|-
|1963736<sup>1048576</sup>+1
|Prime
|2022年9月24日
| style="text-align:right" |6,598,776
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134423|title=PrimePage Primes: 1951734^1048576 + 1|access-date=2022-09-11|last=Caldwell|first=Chris K.|authorlink=:en:Chris Caldwell (mathematician)|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220831222051/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134298|archive-date=2022-08-31|url-status=live}}</ref>
|-
|1951734<sup>1048576</sup>+1
|Prime
|2022年8月9日
| style="text-align:right" |6,595,985
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-1951734_1048576|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-1951734_1048576.pdf|format=PDF|access-date=2022-09-07}}</ref>
|-
|1059094<sup>1048576</sup>+1
|Prime
|2018年10月31日
| style="text-align:right" |6,317,602
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-1059094_1048576|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-1059094_1048576.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220424043827/https://www.primegrid.com/download/GFN-1059094_1048576.pdf|archive-date=2022-04-24|url-status=live}}</ref>
|-
|919444<sup>1048576</sup>+1
|Prime
|2017年8月29日
| style="text-align:right" |6,253,210
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-919444_1048576|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-919444_1048576.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220426064621/https://www.primegrid.com/download/GFN-919444_1048576.pdf|archive-date=2022-04-26|url-status=live}}</ref>
|-
|4896418<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2022年5月18日
| style="text-align:right" |3,507,424
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-4896418_524288|publisher=PrimeGrid|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-4896418_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221729/http://primegrid.com/download/GFN-3638450_524288.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|-
|3638450<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2020年5月29日
| style="text-align:right" |3,439,810
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-3638450_524288|publisher=PrimeGrid|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-3638450_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221729/http://primegrid.com/download/GFN-3638450_524288.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|-
|9·2<sup>11366286</sup>+1
|Prime
|2020年3月26日
| style="text-align:right" |3,421,594
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130799|title=PrimePage Primes: 9·2^11366286 + 1|access-date=2022-05-07|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Kaldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211120215431/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130799|archive-date=2021-11-20|url-status=live}}</ref>
|-
|3214654<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2019年12月24日
| style="text-align:right" |3,411,613
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-3214654_524288|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-3214654_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221612/http://primegrid.com/download/GFN-3214654_524288.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|-
|2985036<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2019年9月18日
| style="text-align:right" |3,394,739
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-2985036_524288|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-2985036_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221707/http://primegrid.com/download/GFN-2985036_524288.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|-
|2877652<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2019年1月29日
| style="text-align:right" |3,386,397
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-2877652_524288|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-2877652_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220207052544/http://www.primegrid.com/download/GFN-2877652_524288.pdf|archive-date=2022-02-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2788032<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2019年4月17日
| style="text-align:right" |3,379,193
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-2788032_524288|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-2788032_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220207052638/https://www.primegrid.com/download/GFN-2788032_524288.pdf|archive-date=2022-02-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2733014<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2019年3月18日
| style="text-align:right" |3,374,655
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-2733014_524288|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-2733014_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220207052541/https://www.primegrid.com/download/GFN-2733014_524288.pdf|archive-date=2022-02-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2312092<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2018年8月4日
| style="text-align:right" |3,336,572
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-2312092_524288|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-2312092_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220207052615/http://www.primegrid.com/download/GFN-2312092_524288.pdf|archive-date=2022-02-07|url-status=live}}</ref>
|-
|2061748<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2018年3月20日
| style="text-align:right" |3,310,478
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-2061748_524288|url=https://www.primegrid.com/download/GFN-2061748_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20220131220005/https://www.primegrid.com/download/GFN-2061748_524288.pdf|archive-date=2022-01-31|url-status=live}}</ref>
|-
|1880370<sup>524288</sup>+1
|Prime
|2018年1月15日
| style="text-align:right" |3,289,511
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GFN-1880370_524288|url=http://primegrid.com/download/GFN-1880370_524288.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20201024044048/http://primegrid.com/download/GFN-1880370_524288.pdf|archive-date=2020-10-24|url-status=live}}</ref>
|}

{| class="wikitable"
|+知られている一般化フェルマー数の素因数 (抜粋)
!発見された数
!Prime/PRP
!発見/報告された日付
!桁数
!出典
!備考
|-
|3·2<sup>16408818</sup>+1
|Prime
|2020年10月25日
|4,939,547
|<ref name=":0" group="PrimeGrid" />
|第2種サービト数
|-
|9·2<sup>13334487</sup>+1
|Prime
|2020年3月21日
| style="text-align:right" |4,014,082
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130806|title=PrimePage Primes: 9·2^13334487 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210818014341/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130806|archive-date=2021-08-18|url-status=live}}</ref>
|
|-
|9·2<sup>12406887</sup>+1
|Prime
|2020年3月29日
| style="text-align:right" |3,734,847
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130801|title=PrimePage Primes: 9·2^12406887 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210818014345/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130801|archive-date=2021-08-18|url-status=live}}</ref>
|
|-
|9·2<sup>11500843</sup>+1
|Prime
|2020年3月13日
| style="text-align:right" |3,462,100
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130770|title=PrimePage Primes: 9·2^11500843 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210818014347/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130770|archive-date=2021-08-18|url-status=live}}</ref>
|
|-
|9·2<sup>11158963</sup>+1
|Prime
|2020年3月13日
| style="text-align:right" |3,359,184
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130768|title=PrimePage Primes: 9·2^11158963 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210818014351/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130768|archive-date=2021-08-18|url-status=live}}</ref>
|
|-
|3·2<sup>10829346</sup>+1
|Prime
|2014年1月14日
| style="text-align:right" |3,259,959
|<ref name=":1" group="PrimeGrid" />
|第2種サービト数
|-
|11·2<sup>9381365</sup>+1
|Prime
|2020年3月7日
| style="text-align:right" |2,824,074
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130741|title=PrimePage Primes: 11·2^9381365 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210818014400/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130741|archive-date=2021-08-18|url-status=live}}</ref>
|
|-
|17·2<sup>8636199</sup>+1
|Prime
|2021年2月17日
| style="text-align:right" |2,599,757
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=DIV-8636199|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/DIV-8636199.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406223220/http://primegrid.com/download/DIV-8636199.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|
|-
|25·2<sup>8456828</sup>+1
|Prime
|2021年1月27日
| style="text-align:right" |2,545,761
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=DIV-8456828|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/DIV-8456828.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220410104343/http://primegrid.com/download/DIV-8456828.pdf|archive-date=2022-04-10|url-status=live}}</ref>
|一般化フェルマー数
|}

=== 一般化カレン数 ===
整数 {{Mvar|b}} と {{Math|''n''+2 > ''b''}} を満たす {{Mvar|n}} について、{{Math|''n''·''b''<sup>''n''</sup> + 1}} の形で表される数を一般化カレン数という<ref>{{Cite web2 |title=The Top Twenty:Generalized Cullen |url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=42 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220417232214/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=42 |archive-date=2022-04-17|url-status=live}}</ref>。
{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!発見/報告された日付
!桁数
!出典
|-
|2525532·73<sup>2525532</sup>+1
|Prime
|2021年8月28日
| style="text-align:right" |4,705,888
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=GC73-2525532|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/GC73-2525532.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221728/http://primegrid.com/download/GC73-2525532.pdf|archive-date=2022-04-06|url-status=live}}</ref>
|-
|404849·2<sup>13764867</sup>+1
|Prime
|2021年3月10日
| style="text-align:right" |4,143,644
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132142|title=PrimePage Primes: 404849·2^13764867 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220301160516/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132142|archive-date=2022-03-01|url-status=live}}</ref>
|-
|2805222·5<sup>5610444</sup>+1
|Prime
|2019年9月2日
| style="text-align:right" |3,921,539
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=gc25-2805222|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/gc25-2805222.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220408085031/http://www.primegrid.com/download/gc25-2805222.pdf|archive-date=2022-04-08|url-status=live}}</ref>
|-
|1806676·41<sup>1806676</sup>+1
|Prime
|2018年3月11日
| style="text-align:right" |2,913,785
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=gc41-1806676|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/gc41-1806676.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220408085024/http://www.primegrid.com/download/gc41-1806676.pdf|archive-date=2022-04-08|url-status=live}}</ref>
|-
|1323365·116<sup>1323365</sup>+1
|Prime
|2018年1月18日
| style="text-align:right" |2,732,038
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=gc116-1323365|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/gc116-1323365.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094401/http://www.primegrid.com/download/gc116-1323365.pdf|archive-date=2022-04-07|url-status=live}}</ref>
|-
|1341174·53<sup>1341174</sup>+1
|Prime
|2017年8月21日
| style="text-align:right" |2,312,561
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=gc53-1341174|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/gc53-1341174.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221618/http://primegrid.com/download/gc53-1341174.pdf|archive-date=2022-04-16|url-status=live}}</ref>
|-
|682156·79<sup>682156</sup>+1
|Prime
|2016年10月8日
| style="text-align:right" |1,294,484
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release2|title=gc79-682156|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/gc79-682156.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220220122558/https://www.primegrid.com/download/gc79-682156.pdf|archive-date=2022-02-20|url-status=live}}</ref>
|-
|298989·2<sup>3886857</sup>+1
|Prime
|2014年12月31日
| style="text-align:right" |1,170,067
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=119034|title=PrimePage Primes: 298989·2^3886857 + 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220301093003/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=119034|archive-date=2022-03-01|url-status=live}}</ref>
|}

=== (一般化)ウッダル数 ===
{{See also|ウッダル数}}
自然数 {{Mvar|n}} に対して {{Math|''n''·2<sup>''n''</sup> - 1}} の形で表される数を[[ウッダル数]]という。一般化カレン数と同様に、整数 {{Mvar|b}} と {{Math|''n''+2 > ''b''}} を満たす {{Mvar|n}} について、{{Math|''n''·''b''<sup>''n''</sup> - 1}} の形で表される数を一般化ウッダル数という<ref>{{Cite web2 |title=The Top Twenty:Generalized Woodall |url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=45 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220417232212/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=45 |archive-date=2022-04-17|url-status=live}}</ref>。
{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!発見/報告された日付
!桁数
!出典
|-
|8508301·2<sup>17016603</sup>－1
|Prime
|2018年3月22日
|5,122,515
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=124539|title=PrimePage Primes: 8508301·2^17016603 - 1|access-date=2022-05-05|website=The PrimePages|archive-url=https://web.archive.org/web/20220122193341/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=124539|archive-date=2022-01-22|url-status=live}}</ref>
|-
|396101·2<sup>14259638</sup>－1
|Prime
|2024年2月3日
|4,292,585
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=137129|title=PrimePage Primes: 396101·2^14259638 - 1|access-date=2024-02-12|website=The PrimePages|archive-url=|archive-date=|url-status=live}}</ref>
|-
|2740879·2<sup>13704395</sup>－1
|Prime
|2019年10月26日
| style="text-align:right" |4,125,441
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130058|title=PrimePage Primes: 2740879·2^13704395 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220408085112/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130058|archive-date=2022-04-08|url-status=live}}</ref>
|-
|479216·3<sup>8625889</sup>－1
|Prime
|2019年11月16日
| style="text-align:right" |4,115,601
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130114|title=PrimePage Primes: 479216·3^8625889 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211216031650/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130114|archive-date=2021-12-16|url-status=live}}</ref>
|-
|874208·54<sup>1748416</sup>－1
|Prime
|2019年9月26日
| style="text-align:right" |3,028,951
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129954|title=PrimePage Primes: 874208·54^1748416 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220408085056/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129954|archive-date=2022-04-08|url-status=live}}</ref>
|-
|101806·15<sup>1527091</sup>－1
|Prime
|2023年4月14日
| style="text-align:right" |1,796,004
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=135951|title=PrimePage Primes: 101806·15^1527091 - 1|access-date=2023-04-30|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=|archive-date=|url-status=live}}</ref>
|-
|499238·10<sup>1497714</sup>－1
|Prime
|2019年9月16日
| style="text-align:right" |1,497,720
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129933|title=PrimePage Primes: 499238·10^1497714 - 1|access-date=2022-05-10|date=2021-12-08|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211208021434/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129933|archive-date=2021-12-08|url-status=live}}</ref>
|-
|583854·14<sup>1167708</sup>－1
|Prime
|2019年9月17日
| style="text-align:right" |1,338,349
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129934|title=PrimePage Primes: 583854·14^1167708 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211216031642/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129934|archive-date=2021-12-16|url-status=live}}</ref>
|-
|1993191·2<sup>3986382</sup>－1
|Prime
|2015年5月1日
| style="text-align:right" |1,200,027
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=119835|title=PrimePage Primes: 1993191·2^3986382 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211208021438/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=119835|archive-date=2021-12-08|url-status=live}}</ref>
|-
|938237·2<sup>3752950</sup>－1
|Prime
|2007年12月26日
|1,129,757
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=83407|title=PrimePage Primes: 938237·2^3752950 - 1|access-date=2022-05-05|website=The PrimePages|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028220452/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=83407|archive-date=2021-10-28|url-status=live}}</ref>
|}

=== ワグスタッフ素数 ===
{{Main|ワグスタッフ素数}}
素数 {{Mvar|p}} に対して、<math display="inline">\frac{2^p+1}{3}</math>の形で表される素数を[[ワグスタッフ素数]]という。2024年11月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である<ref name=":2" />{{Refnest|2024年11月現在で知られている最大のワグスタッフ素数は41824桁の {{Math|(2<sup>138937</sup>+1)/3}} である<ref>{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id{{=}}67|title=The Top Twenty: Wagstaff|accessdate=2022-05-05|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archiveurl=https://web.archive.org/web/20241128150056/https://t5k.org/top20/page.php?id{{=}}67|archivedate=2024-11-28|url-status=live}}</ref>。|group=注}}。
{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!報告された日付
!桁数
!出典
|-
|(2<sup>15135397</sup>+1)/3
|PRP
|2021年6月28日<ref>{{Cite web2 |title=Announcing a new Wagstaff PRP - mersenneforum.org |url=https://mersenneforum.org/showthread.php?t=26961 |website=mersenneforum.org |access-date=2022-05-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220422215019/https://mersenneforum.org/showthread.php?t=26961 |archive-date=2022-04-22|url-status=live}}</ref>
| style="text-align:right" |4,556,209
|<ref name=":2">{{Cite web2 |title=Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form |url=http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=(2%5Ep%2B1)/3&action=Search |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20241201014150/http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=%282%5Ep%2B1%29%2F3&action=Search |archive-date=2024-12-01 |access-date=2024-12-01 |website=www.primenumbers.net}}</ref>
|-
|(2<sup>13372531</sup>+1)/3
|PRP
|2013年9月8日<ref name=":3">{{Cite web2 |title=New Wagstaff PRP exponents - mersenneforum.org |url=https://mersenneforum.org/showthread.php?t=18569 |website=mersenneforum.org |access-date=2022-05-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220313095416/https://mersenneforum.org/showthread.php?t=18569 |archive-date=2022-03-13|url-status=live}}</ref>
| style="text-align:right" |4,025,533
|<ref name=":2" />
|-
|(2<sup>13347311</sup>+1)/3
|PRP
|2013年9月8日<ref name=":3" />
| style="text-align:right" |4,017,941
|<ref name=":2" />
|-
|(2<sup>4031399</sup>+1)/3
|PRP
|2010年2月20日<ref>{{Cite web2 |title=Searching for Wagstaff PRP - mersenneforum.org |url=https://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=13108 |website=www.mersenneforum.org |access-date=2022-05-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220209132349/https://mersenneforum.org/showthread.php?t=13108 |archive-date=2022-02-09|url-status=live}}</ref>
| style="text-align:right" |1,213,572
|<ref name=":2" />
|}

=== (一般化)unique素数 ===
2および5でない素数 {{Mvar|p}} について、{{Mvar|p}} の[[逆数]]の[[循環小数|循環節]]の長さが他のものと一致しないとき、{{Mvar|p}} を {{En|unique prime}} (あるいは {{En|unique period prime}}, [[:en:Unique prime number|英語版]]) という<ref>{{Cite web2 |title=The Top Twenty:Unique |url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=62 |website=The Top Twenty |access-date=2022-05-05 |publisher=[[PrimePages|The PrimePages]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220415124427/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=62 |archive-date=2022-04-15|url-status=live}}</ref>。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数 {{Mvar|b}} に対して、同様の条件を満たす素数 {{Mvar|p}} を {{En|generalized unique prime}} という。

より明示的な定義は、[[円分多項式]] {{Math|Φ<sub>''n''</sub>(''x'')}} に対して<math display="block">\frac{\Phi_n(b)}{\gcd(\Phi_n(b),n)}</math>が素数の冪で表されるとき、その素因数は基数 {{Mvar|b}} の generalized unique prime であるという<ref>{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=44|title=The Top Twenty:Generalized Unique|access-date=2022-05-14|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220311125644/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=44|archive-date=2022-03-11|url-status=live}}</ref>。
{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!報告された日付
!桁数
!出典
|-
|{{Math|Φ<sub>3</sub>(-123447<sup>2<sup>19</sup></sup>)}}
|Prime
|2017年2月23日
| style="text-align:right" |5,338,805
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: Phi(3, - 123447^524288) |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=123041 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220429202828/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=123041 |archive-date=2022-04-29|url-status=live}}</ref>
|-
|2<sup>15317227</sup>+2<sup>7658614</sup>+1
|Prime
|2020年7月31日
| style="text-align:right" |4,610,945
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 2^15317227 + 2^7658614 + 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=131043 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210818121717/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=131043 |archive-date=2021-08-18|url-status=live}}</ref>
|-
|{{Math|Φ<sub>3</sub>(-143332<sup>393216</sup>)}}
|Prime
|2017年1月30日
| style="text-align:right" |4,055,114
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: Phi(3, - 143332^393216) |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122812 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210816200458/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122812 |archive-date=2021-08-16|url-status=live}}</ref>
|-
|{{Math|Φ<sub>3</sub>(-844833<sup>262144</sup>)}}
|Prime
|2017年1月17日
| style="text-align:right" |3,107,335
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: Phi(3, - 844833^262144) |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122757 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210724013531/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122757 |archive-date=2021-07-24|url-status=live}}</ref>
|-
|{{Math|Φ<sub>3</sub>(-712012<sup>262144</sup>)}}
|Prime
|2017年1月14日
| style="text-align:right" |3,068,389
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: Phi(3, - 712012^262144) |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122736 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210724013949/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122736 |archive-date=2021-07-24|url-status=live}}</ref>
|-
|{{Math|Φ<sub>3</sub>(-558640<sup>196608</sup>)}}
|Prime
|2017年1月11日
| style="text-align:right" |2,259,865
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: Phi(3, - 558640^196608) |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122722 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210724013945/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122722 |archive-date=2021-07-24|url-status=live}}</ref>
|-
|{{Math|Φ<sub>3</sub>(-237804<sup>196608</sup>)}}
|Prime
|2017年1月6日
| style="text-align:right" |2,114,016
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: Phi(3, - 237804^196608) |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122698 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210724013953/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=122698 |archive-date=2021-07-24|url-status=live}}</ref>
|}

=== その他 ===

{| class="wikitable"
!発見された数
!Prime/PRP
!報告された日付
!桁数
!出典
!備考
|-
|''R''<sub>8177207</sub>
|PRP
|2021年4月20日<ref name=":1">{{Cite web2 |url=https://www.mersenneforum.org/showthread.php?p=576330 |title=New repunit (PRP) primes found, 5794777 and 8177207 decimal digits (PRP records) |access-date=2022-05-02 |website=mersenneforum.org |archive-url=https://web.archive.org/web/20220416033914/https://www.mersenneforum.org/showthread.php?p=576330 |archive-date=2022-04-16|url-status=live}}</ref>
| style="text-align:right" |8,177,207
|<ref name=":0">{{Cite web2 |url=http://www.elektrosoft.it/matematica/repunit/repunit.htm |title=Repunit prime numbers research project |access-date=2022-05-02 |publisher=The Repunit Primes Project |author=Giovanni Di Maria |archive-url=https://web.archive.org/web/20220429213029/http://www.elektrosoft.it/matematica/repunit/repunit.htm |archive-date=2022-04-29|url-status=live}}</ref>
|[[レピュニット]]
|-
|69·2<sup>19374980</sup>－1
|Prime
|2022年7月3日
| style="text-align:right" |5,832,452
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |last=Caldwell |first=Chris |authorlink=:en:Chris Caldwell (mathematician) |title=PrimePage Primes: 69·2^19374980 - 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134111 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220721061135/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134111 |archive-date=2022-07-21 |access-date=2022-09-11 |website=[[PrimePages|The PrimePages]]}}</ref>
|
|-
|''R''<sub>5794777</sub>
|PRP
|2021年4月20日<ref name=":1" />
| style="text-align:right" |5,794,777
|<ref name=":0" />
|レピュニット
|-
|69·2<sup>18831865</sup>－1
|Prime
|2021年12月26日
| style="text-align:right" |5,668,959
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133047|title=PrimePage Primes: 69·2^18831865 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211226191420/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133047|archive-date=2021-12-26|url-status=live}}</ref>
|
|-
|3622·5<sup>7558139</sup>－1
|Prime
|2022年2月18日
| style="text-align:right" |5,282,917
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133552|title=PrimePage Primes: 3622·5^7558139 - 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220219025844/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133552|archive-date=2022-02-19|url-status=live}}</ref>
|
|-
|7·6<sup>6772401</sup>+1
|Prime
|2019年9月9日
| style="text-align:right" |5,269,954
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129914|title=PrimePage Primes: 7·6^6772401 + 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211127080214/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129914|archive-date=2021-11-27|url-status=live}}</ref>
|
|-
|69·2<sup>15866556</sup>－1
|Prime
|2021年8月20日
| style="text-align:right" |4,776,312
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132634|title=PrimePage Primes: 69·2^15866556 - 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211127080214/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=129914|archive-date=2021-11-27|url-status=live}}</ref>
|
|-
|6·5<sup>6546983</sup>－1
|Prime
|2020年6月13日
| style="text-align:right" |4,576,146
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130967|title=PrimePage Primes: 6·5^6546983 + 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210718033919/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130967|archive-date=2021-07-18|url-status=live}}</ref>
|
|-
|69·2<sup>14977631</sup>－1
|Prime
|2021年12月3日
| style="text-align:right" |4,508,719
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133013|title=PrimePage Primes: 69·2^14977631 - 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20211204023106/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133013|archive-date=2021-12-04|url-status=live}}</ref>
|
|-
|192971·2<sup>14773948</sup>－1
|Prime
|2021年3月7日
| style="text-align:right" |4,447,272
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132138|title=PrimePage Primes: 192971·2^14773498 - 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220312213644/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132138|archive-date=2022-03-12|url-status=live}}</ref>
|
|-
|69·2<sup>13832885</sup>－1
|Prime
|2022年1月7日
| style="text-align:right" |4,164,116
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133178|title=PrimePage Primes: 69·2^13832885 - 1|access-date=2022-05-11|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220117224022/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133178|archive-date=2022-01-17|url-status=live}}</ref>
|
|-
|2<sup>13380298</sup>－27
|PRP
|2021年3月2日<ref>{{Cite web2 |title=Other Primes - Page 22 - mersenneforum.org |url=https://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=6374&p=572866 |website=www.mersenneforum.org |access-date=2022-05-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220505143359/https://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=6374&p=572866 |archive-date=2022-05-05|url-status=live}}</ref>
| style="text-align:right" |4,027,872
|<ref name=":5" />
|
|-
|9221·2<sup>11392194</sup>－1
|Prime
|2021年2月7日
| style="text-align:right" |3,429,397
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release|title=TRP-9221|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/TRP-9221.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407094403/http://www.primegrid.com/download/TRP-9221.pdf|archive-date=2022-04-07}}</ref>
|
|-
|146561·2<sup>11280802</sup>－1
|Prime
|2020年11月16日
| style="text-align:right" |3,395,865
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release|title=TRP-146561|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/TRP-146561.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220507215135/http://www.primegrid.com/download/TRP-146561.pdf|archive-date=2022-05-07}}</ref>
|
|-
|(2<sup>10443557</sup>－1){{Inline block|/37289325994807}}
|PRP
|2020年7月9日
| style="text-align:right" |3,143,811
|<ref name=":6">{{Cite web2|url=http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=%282%5En-1%29%2F%3F&action=Search|title=Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220220035115/http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=%282%5En-1%29%2F%3F&action=Search|archive-date=2022-02-20|url-status=live}}</ref><ref group="GIMPS">{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=M10443557&full=1|title=Exponent Status - M10443557|access-date=2022-05-10|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20201120043750/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=M10443557&full=1|archive-date=2020-11-20|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>10443557</sub>}} の約数
|-
|273809·2<sup>8932416</sup>－1
|Prime
|2017年12月13日
|2,688,931
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release|title=TRP-273809|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/TRP-273809.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221651/http://primegrid.com/download/TRP-273809.pdf|archive-date=2022-04-06}}</ref>
|
|-
|(2<sup>7313983</sup>－1){{Inline block|/305492080276193}}
|PRP
|2018年3月1日
| style="text-align:right" |2,201,714
|<ref name=":6" /><ref>{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=7313983&exp_hi=&full=1|title=Exponent Status - M7313983|access-date=2022-05-11|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220510150720/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=7313983&exp_hi=&full=1|archive-date=2022-05-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>7313983</sub>}} の約数
|-
|422429!+1
|Prime
|2022年2月21日
| style="text-align:right" |2,193,027
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 422429! + 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133604 |website=The PrimePages |access-date=2022-05-05 |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220302105843/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133604 |archive-date=2022-03-02|url-status=live}}</ref>
|[[階乗素数]]
|-
|502573·2<sup>7181987</sup>－1
|Prime
|2014年10月4日
|2,162,000
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release|title=TRP-502573|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/TRP-502573.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221609/http://primegrid.com/download/TRP-502573.pdf|archive-date=2022-04-06}}</ref>
|
|-
|402539·2<sup>7173024</sup>－1
|Prime
|2014年10月2日
|2,159,301
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release|title=TRP-402539|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/TRP-402539.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220406221613/http://primegrid.com/download/TRP-402539.pdf|archive-date=2022-04-06}}</ref>
|
|-
|(2<sup>7080247</sup>－1){{Inline block|/156822217506727}}<br>{{Inline block|/11283326312536321}}{{Inline block|/9632940548330339593}}
|PRP
|2017年10月27日
| style="text-align:right" |2,131,318
|<ref name=":6" /><ref>{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=7080247&exp_hi=&full=1|title=Exponent Status - M7080247|access-date=2022-05-11|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220510151737/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=7080247&exp_hi=&full=1|archive-date=2022-05-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>7080247</sub>}} の約数
|-
|40597·2<sup>6808509</sup>－1
|Prime
|2013年12月25日
|2,049,571
|<ref group="PrimeGrid">{{Cite press release|title=TRP-40597|publisher=[[PrimeGrid]]|url=https://www.primegrid.com/download/TRP-40597.pdf|format=PDF|access-date=2022-05-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220405090906/http://www.primegrid.com/download/TRP-40597.pdf|archive-date=2022-04-05}}</ref>
|
|-
|10<sup>1888529</sup>－10<sup>944264</sup>－1
|Prime
|2021年10月18日
| style="text-align:right" |1,888,529
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 10^1888529 - 10^944264 - 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132851 |website=primes.utm.edu |access-date=2022-05-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220426052316/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132851 |archive-date=2022-04-26|url-status=live}}</ref>
|[[回文素数]]
|-
|(2<sup>5240707</sup>－1){{Inline block|/75392810903}}
|PRP
|2017年10月29日
| style="text-align:right" |1,577,600
|<ref name=":6" /><ref>{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=5240707&exp_hi=&full=1|title=Exponent Status - M5240707|access-date=2022-05-11|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220510151951/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=5240707&exp_hi=&full=1|archive-date=2022-05-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>5240707</sub>}} の約数
|-
|308084!+1
|Prime
|2022年1月20日
| style="text-align:right" |1,557,176
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 308084! + 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133196 |website=The PrimePages |access-date=2022-05-05 |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220302105553/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133196 |archive-date=2022-03-02|url-status=live}}</ref>
|階乗素数
|-
|(2<sup>4834891</sup>－1){{Inline block|/1701881633}}{{Inline block|/70659688575577}}
|PRP
|2017年9月20日
| style="text-align:right" |1,455,425
|<ref name=":6" /><ref>{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=4834891&exp_hi=&full=1|title=Exponent Status - M4834891|access-date=2022-05-11|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220510152558/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=4834891&exp_hi=&full=1|archive-date=2022-05-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>4834891</sub>}} の約数
|-
|288465!+1
|Prime
|2022年1月10日
| style="text-align:right" |1,449,771
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 288465! + 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133139 |website=The PrimePages |access-date=2022-05-05 |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220210052812/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133139 |archive-date=2022-02-10|url-status=live}}</ref>
|階乗素数
|-
|''F''<sub>6530879</sub>
|PRP
|2022年8月
| style="text-align:right" |1,364,873
|<ref>{{Cite web2|url=http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search|title=Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form|access-date=2022-09-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220911042820/http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search|archive-date=2022-09-11|url-status=live}}</ref>
|[[フィボナッチ数]]
|-
|(2<sup>4187251</sup>－1){{Inline block|/72234342371519}}
|PRP
|2017年10月31日
| style="text-align:right" |1,260,475
|<ref name=":6" /><ref>{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=4187251&exp_hi=&full=1|title=Exponent Status - M4187251|access-date=2022-05-11|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220510152943/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=4187251&exp_hi=&full=1|archive-date=2022-05-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>4187251</sub>}} の約数
|-
|10<sup>1234567</sup>－20342924302·10<sup>617278</sup>－1
|Prime
|2021年9月15日
| style="text-align:right" |1,234,567
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132715|title=PrimePage Primes: 10^1234567 - 20342924302·10^617278 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220213091143/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132715|archive-date=2022-02-13|url-status=live}}</ref>
|回文素数
|-
|10<sup>1234567</sup>－3626840486263·10<sup>617277</sup>－1
|Prime
|2021年9月29日
| style="text-align:right" |1,234,567
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132715|title=PrimePage Primes: 10^1234567 - 20342924302·10^617278 - 1|access-date=2022-05-10|date=2022-02-13|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220213091143/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132715|archive-date=2022-04-18|url-status=live}}</ref>
|回文素数
|-
|10<sup>1234567</sup>－4708229228074·10<sup>617277</sup>－1
|Prime
|2021年9月29日
| style="text-align:right" |1,234,567
|<ref group="Primes">{{Cite web2|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132767|title=PrimePage Primes: 10^1234567 - 4708229228074·10^617277 - 1|access-date=2022-05-10|website=[[PrimePages|The PrimePages]]|publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220213100018/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132767|archive-date=2022-02-13|url-status=live}}</ref>
|回文素数
|-
|''L''<sub>5466311</sub>
|PRP
|2022年8月
| style="text-align:right" |1,142,392
|<ref name=":7">{{Cite web2|url=http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=L%28n%29&action=Search|title=Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form|access-date=2022-09-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220911043159/http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=L%28n%29&action=Search|archive-date=2022-09-11|url-status=live}}</ref>
|[[リュカ数]]
|-
|(2<sup>3464473</sup>－1){{Inline block|/604874508299177}}
|PRP
|2017年10月31日
| style="text-align:right" |1,042,896
|<ref name=":6" /><ref>{{Cite web2|url=https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=3464473&exp_hi=&full=1|title=Exponent Status - M3464473|access-date=2022-05-11|website=[[GIMPS]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20220510153456/https://www.mersenne.org/report_exponent/?exp_lo=3464473&exp_hi=&full=1|archive-date=2022-05-10|url-status=live}}</ref>
|{{Math|''M''<sub>3464473</sub>}} の約数
|-
|208003!－1
|Prime
|2016年7月25日
| style="text-align:right" |1,015,843
|<ref group="Primes">{{Cite web2 |title=PrimePage Primes: 208003! - 1 |url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121944 |website=The PrimePages |access-date=2022-05-05 |publisher=[[:en:Chris Caldwell (mathematician)|Chris K. Caldwell]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20220210052817/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121944 |archive-date=2022-02-10|url-status=live}}</ref>
|階乗素数
|-
|''L''<sub>4819961</sub>
|PRP
|2022年7月
| style="text-align:right" |1,007,313
|<ref name=":7" />
|リュカ数
|-
|10<sup>999999</sup>+593499
|PRP
|2013年1月
| style="text-align:right" |1,000,000
|<ref>{{Cite web2 |title=Search for the first PRP megaprime of the form 10^999999 + y |url=http://www.worldofnumbers.com/em_megaprp.htm |website=World!Of Numbers |access-date=2022-05-08 |publisher=Patrick De Geest |archive-url=https://web.archive.org/web/20220125025124/http://www.worldofnumbers.com/em_megaprp.htm |archive-date=2022-01-25|url-status=live}}</ref>
|最小の確率的メガ素数
|}

== 注釈 ==
<references group="注" />

== 関連項目 ==
* [[完全数]]
* [[巨大な素数の一覧]]
* [[素数が無数に存在することの証明]]

== 外部リンク ==

* [https://primes.utm.edu/top20/home.php The Top Twenty] - 発見された素数の、種類別の上位20のリストと解説記事
* [http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top Records] - 確率的素数の報告およびランキング

== 出典 ==
{{Reflist|colwidth=30em}}

=== GIMPS ===
<references group="GIMPS" responsive="" />

=== PrimeGrid ===
<references group="PrimeGrid" responsive="" />

=== PrimePage Primes ===
<references group="Primes" responsive="" />

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[[Category:数論]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:素数の類]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]
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[[Category:巨大数]]