メッツラー行列のソースを表示

[[数学]]の分野における'''メッツラー行列'''（めっつらーぎょうれつ、{{lang-en|''Metzler matrix''}}）とは、全ての[[対角成分|非対角成分]]が非負（{{math|0}} 以上）であるような[[行列]]のことである。すなわち
: <math>M = (m_{ij}); \quad m_{ij} \ge 0, \quad i \ne j</math>
が成立するような行列 {{mvar|M}} のことをメッツラー行列という。その名は[[アメリカ]]の[[経済学者]]の[[ロイド・メッツラー]]にちなむ。

== 概要 ==
メッツラー行列は[[微分方程式|遅延微分方程式系]]や正[[線型性|線型]][[力学系]]の[[安定性理論|安定性]]解析においてよく登場する。それらの系の性質は、メッツラー行列 {{mvar|M}} に対し {{math|''M'' + ''aI''}}（{{mvar|a}} は定数の[[スカラー (数学)|スカラー]]、{{mvar|I}} は[[単位行列]]）の形を持つ行列に対して、非負行列の理論を適用することで導かれる。

== 定義と用語 ==
数学の特に[[線型代数学]]の分野において、対角成分を除く全ての成分が[[非負]]であるような行列は'''メッツラー'''、'''準正'''あるいは'''本質的に非負'''などと呼ばれ、統一されてはいない。メッツラー行列は、[[Z-行列]]の非対角成分にマイナスをかけたものであることから、しばしば {{math|''Z''{{sup|(&minus;)}}}}-行列などとも表記される。

== 性質 ==
* メッツラー行列の[[行列指数関数|指数関数]]は、[[非負行列]]となる。
* メッツラー行列は非負象限に、非負の[[固有値]]に対応する[[固有ベクトル]]を持つ。

== 関連する定理 ==
* [[ペロン・フロベニウスの定理]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{cite book|
 | last1 = Berman
 | first1 = Abraham
 | authorlink1=Abraham Berman
 | last2 = Plemmons
 | first2 = Robert J.
 | authorlink2=Robert J. Plemmons
 | title = Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences
 | publisher = SIAM
 | ISBN = 0-89871-321-8
 | year=1994}}
*{{cite book|
 | last1 = Farina
 | first1 = Lorenzo
 | authorlink1=Farina Lorenzo
 | last2 = Rinaldi
 | first2 = Sergio
 | authorlink2=Sergio Rinaldi
 | title = Positive Linear Systems: Theory and Applications
 | publisher = Wiley Interscience
 | location= [[ニューヨーク|New York]]
 | year=2000}}
*{{cite book|
 | last1 = Berman
 | first1 = Abraham
 | authorlink1=Abraham Berman
 | last2 = Neumann
 | first2 = Michael
 | authorlink2=Michael Neumann
 | last3 = Stern
 | first3 = Ronald
 | authorlink3 = Ronald Stern
 | title = Nonnegative Matrices in Dynamical Systems
 | series = Pure and Applied Mathematics
 | publisher = Wiley Interscience
 | location= [[ニューヨーク|New York]]
 | year=1989}}
*{{cite book|
 | last1 = Kaczorek
 | first1 = Tadeusz
 | authorlink1=Tadeusz Kaczorek
 | title = Positive 1D and 2D Systems
 | publisher = Springer
 | location= [[ロンドン|London]]
 | year=2002}}
*{{cite book|
 | last1 = Luenberger
 | first1 = David
 | authorlink1=David Luenberger
 | title = Introduction to Dynamic Systems: Theory, Modes & Applications
 | publisher = John Wiley & Sons
 | year=1979}}

== 関連項目 ==
* [[行列]]
* [[微分方程式]]
* [[M-行列]]
* [[P-行列]]
* [[Z-行列]]
* [[準正行列]]
* [[確率行列]]

{{Linear-algebra-stub}}

{{DEFAULTSORT:めつつらあきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]