メネラウスの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年5月}}
'''メネラウスの定理'''（めねらうすのていり、{{lang-en-short|Menelaus' theorem}}）とは、[[幾何学]]の[[定理]]の1つである。[[アレクサンドリアのメネラウス]]にちなんで名付けられた。

== 定理 ==
[[ファイル:Meneraus' theorum.png|right]]
任意の[[直線]]<nowiki/>lと[[三角形]]ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の[[等式]]が成立する。
:<math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math>
なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C、CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。

== 証明の方針 ==
証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。
=== 証明1 ===
ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から
:<math>\left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{BF}{CK}\right|,\quad\left|\frac{AE}{EC}\right| = \left|\frac{AF}{CK}\right|</math>
が成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。

=== 証明2 ===
ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。

=== 証明3 ===
直線ADと直線BEの交点をGとすると
:<math>
{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} \cdot \vartriangle AED
= {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot \vartriangle CED
={AF \over FB} \cdot \vartriangle BDE
= \vartriangle AED
</math>

△AED≠0より

:<math>
{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1
</math>

== 逆 ==
メネラウスの定理は[[逆]]も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点F、D、Eをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、
:<math>{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1</math>
が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。

== 関連項目 ==
*[[チェバの定理]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|メネラウスの定理|2=日本大百科全書(ニッポニカ)}}
*{{高校数学の美しい物語|873|メネラウスの定理の覚え方と拡張}}
*{{YouTube|fgyVSNwfT5M|メネラウスの定理の覚え方}}
*{{MathWorld |title=Menelaus' Theorem |urlname=MenelausTheorem}}

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