メビウスの帯のソースを表示

[[ファイル:Möbius strip.jpg|thumb|right|メビウスの帯]]
'''メビウスの帯'''（メビウスのおび、{{lang-en-short|Möbius strip}}, {{en|Möbius band}}、{{IPA-de|ˈmøːbi̯ʊs}}）、または'''メビウスの輪'''（メビウスのわ、{{lang-en-short|Möbius loop}}）は、帯状の[[長方形]]の片方の端を180°ひねり、他方の端に貼り合わせた形状の[[図形]]（[[曲面]]）である。'''メービウスの帯'''ともいう。

[[数学]]的には[[向き付け可能性|向き付けが不可能]]という特徴を持ち、その形状が[[化学]]や[[工学]]などに応用されているほか、[[芸術]]や[[文学]]において題材として取り上げられることもある。

==発見==
[[ファイル:August Ferdinand Möbius.jpg|thumb|right|125px|A・F・メビウス]]
メビウスの帯の名前は[[1790年]]生まれの[[ドイツ]]の[[数学者]][[アウグスト・フェルディナント・メビウス]]の名に由来する。彼は[[多面体]]の[[幾何学]]に関する[[パリ]]の[[科学アカデミー (フランス)|アカデミー]]の懸賞問題に取り組む過程でメビウスの帯の概念に到達し、[[1865年]]に「多面体の体積の決定について」という論文の中で発表した。実際にメビウスの帯を発見したのは[[1858年]]のこととされ、未発表のノートにメビウスの帯のことが書かれている。同じ1858年には同じくドイツの[[フランクフルト・アム・マイン|フランクフルト]]の[[数学者]]{{仮リンク|ヨハン・ベネディクト・リスティング|en|Johann Benedict Listing}}も別個にメビウスの帯を発見してノートに記しており、論文としての発表はメビウスより4年早い。2人の数学者が同時期に別個に同様の概念に到達したことは、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]の影響による可能性もある。メビウスの研究は、メビウスの帯という曲面を発見しただけでなく、それが持つ向き付け不可能性という性質（後述）を、「（帯を）いくつかの三角形に分割して各三角形に向きをつけたとき、全体が同調するようにはできない」という形で厳密に定義したという点に意義がある。<ref>『メビウスの遺産―数学と天文学』13頁・134-136頁・138-140頁。</ref>

==数学的な性質==
[[画像:Möbiusband.png|thumb|right|3次元空間にプロットされたメビウスの帯]]
[[ファイル:Hopf band wikipedia.png|thumb|right|半ひねりが2回あるため、これはメビウスの帯ではない。境界成分も2つある（緑色と赤色）。]]

[[数学]]的には、メビウスの帯は[[連結空間|連結]]・[[コンパクト空間|コンパクト]]で[[向き付け可能性|向き]]付け不可能な[[種数]]1・[[境界 (位相空間論)|境界]]成分数1の2次元[[多様体]]（曲面）であるといえる。向き付け不可能とは表と裏の区別をつけることができないということである（単側性ともいう）。例えばメビウスの帯のある部分に（裏側にもインクがにじむように、あるいは帯が透明な素材でできていると考えて）「あ」という文字を書き、それを帯に沿って1周させて元の位置に戻すと、文字が反転して[[鏡像]]になってしまう。一般に曲面が向き付け不可能であることは、その曲面にメビウスの帯が含まれていることと[[同値]]となる。メビウスの帯は境界（[[近傍]]がユークリッド半平面<ref group="注">ユークリッド半平面とは、ユークリッド平面の半分、つまり<math>R^{2}_{+} = \{(x , y) \in R^{2} | x \ge 0 \}</math>のこと。</ref>と[[同相]]な点の集合のことで、帯の端の部分）を持っているが、その個数は1つであり、2つの境界成分を持つひねりの無い通常の帯（[[アニュラス]]）とは異なる。

メビウスの帯は3次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>3</sup> に埋め込むことができ、[[媒介変数]] ''r'' , ''t'' （-1≦''r''≦1 ,0≦''t''≦&pi;）を使えば
:<math> x = (r\cos{t}+2)\cos{2t} \, </math>
:<math> y = (r\cos{t}+2)\sin{2t} \, </math>
:<math> z =  r\sin{t} \, </math>
と表示することができる。''r'' =0とおいたときの閉曲線はメビウスの帯の中央を通る線で'''センターライン'''と呼ばれる（座標空間上ではxy平面上の半径2の[[円 (数学)|円]]となる）。''r'' = -1 , 1の線が帯の両端にあたる。<ref>『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』82頁</ref>

[[位相幾何学]]的には上のように媒介変数表示されたものと同相な位相空間をすべてメビウスの帯という。通常のメビウスの帯は半回転のひねりを1回だけ入れたものを考えるが、1回に限らず奇数回の半ひねりを入れた帯はすべて同相である（ただしひねりの回数が異なれば3次元空間での連続的な変形だけで移りあうことは無い）。半回転のひねりの入れ方にも時計周りと反時計回りがあるので、回数が同じでも'''左手系'''と'''右手系'''の2つがあることになる。メビウスの帯は通常の帯とは同相にならない。

メビウスの帯は、帯の幅を狭める[[写像]]を使えばそのセンターラインと[[ホモトピー]]同値になる。ホモトピー同値であれば[[基本群]]が同型になるが、センターラインは前述のように円周になっているので、メビウスの帯の基本群は円周の基本群と同じ無限[[巡回群]]となる。よってメビウスの帯は[[単連結空間|単連結]]でない。<ref>『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』82頁・109-110頁。</ref><ref>『曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群』43頁。</ref>

また、メビウスの帯は前述のように1つの境界成分を持っているが、その境界成分に円板を貼り合わせると[[射影空間|実射影平面]]（向きつけ不可能で種数1・境界成分数0の曲面）となる。逆に言えば、メビウスの帯は実射影平面から開円板を取り除いて得られる曲面ということになる。そのためある曲面と実射影平面の[[連結和]]をとることを「メビウスの帯を貼り付ける」と表現することがある。<ref>『トポロジー入門』87頁。</ref>

===帯の貼り合わせ===
[[画像:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|right|150px|長方形からメビウスの帯をつくる]]
実際にメビウスの帯をつくるときは長方形の短い端同士を180°ひねって貼りあわせればよいが、これは数学的には2つの辺を同一視して得られる[[商位相空間|商空間]]を考えていることになる<ref>『トポロジー入門』32頁。</ref><ref>『3次元多様体入門』22-24頁。</ref>。

長方形に対して（三角形分割して）全体が同調するように[[向き付け可能性|向き]]を与えると、向かい合う辺同士には逆の向きが導かれる（長方形ABCDの辺ABについてAからBへの向きが導かれれば、辺CDに対してはCからDへの向きが導かれる）。そこで、片方の辺からもう片方の辺への、向きを保存する同相写像を考え、それによって移りあう点を同一視して得られる商空間を考えると、これがメビウスの帯になる（貼り合わせに使わなかった辺は帯の境界となる）。向きを逆にする同相写像を使って同一視を行った場合は、向かい合う辺がそのまま貼り合わされたことになるので、商空間はメビウスの帯ではない通常の帯になる。

また、3次元ユークリッド空間内の円筒
:<math> C = \{ (x , y , z) \in \mathbb{R}^3; | x^2 + y^2 | =1 , |z| \le 1 \}</math>
を考え、''C''上の点(''x'' , ''y'' , ''z'')と(-''x'' , -''y'' , -''z'')を同一視して得られる商空間を考えると、これもやはりメビウスの帯となる<ref>『トポロジー入門』29-30頁。</ref>。

===メビウスの帯の切断===
実際にメビウスの帯をつくって[[はさみ]]で平行に切断すると以下のような性質を持っていることがわかる。直感に反したこれらの現象は子供向けの[[奇術|手品]]として演じられることもあり<ref>『メビウスの帯』22-23頁。</ref>、[[マーティン・ガードナー]]は、メビウスの帯が[[パーティー]]用の出し物として紹介されている最初の文献は[[1881年]]にパリで発行された[[ガストン・ティサンディエル]]による科学遊びについての本だとしている<ref name="sugaku-107">[[マーティン・ガードナー]]著・[[金沢養]]訳『数学マジック』[[白揚社]]、1999年、107頁。ISBN 978-4826951036。</ref>。[[1904年]]には「アフガン・バンド」という名前がついたが、その由来は不明である<ref name="sugaku-107" />。
* 180°ひねってつくったメビウスの帯をセンターラインで切断すると、輪は2つに分かれずに大きな1つの輪になる。この輪は720°ひねられた状態で表裏が分かれており、つまりメビウスの帯ではない。
* 帯の幅1/3のところを切ってゆくと、輪を2周したところでちょうど切り終わる。こうすると元の帯の2倍の長さ、1/3の幅の720°ひねられた輪と元の帯と同じ長さ、1/3の幅のメビウスの帯が1つずつでき、それらが[[ホップ絡み目]]状に絡まっている<ref>『メビウスの帯』32頁。</ref>。
*540°ひねってつくられたメビウスの帯をセンターラインに沿って切ると、[[三葉結び目]]状の帯が1本できる<ref>[[C・C・アダムス]]著、[[金信泰造]]訳 『結び目の数学』 培風館、1998年、276頁。ISBN 978-4563002541。</ref>。これを解くと、8回のねじれがある帯となる。また、180°を1回としたとき、n回（nは奇数）ひねった帯をセンターラインに沿って切るとトーラス結び目(2,n)の形をした帯ができる。これには2n+1回のねじれがある。
*切断された帯に更にねじれを加え、両端を再接続させると{{仮リンク|paradromic rings|pt|Anel paradrômico}}という帯になる。

<gallery widths="75px" heights="75px">
画像:Möbiův pruh.svg|破線がセンターライン
画像:Hopf link.png|ホップ絡み目
画像:TrefoilKnot-01.png|三葉結び目
</gallery>

== 工業への応用 ==
[[ファイル:Möbius resistor.svg|thumb|150px|メビウス抵抗器]]
帯の表面を普通の帯の2倍利用できるため、[[カセットテープ]]（エンドレステープ）、[[プリンター]]の[[インクリボン]]などに使用された。また、[[研磨]]や高温の物体の運搬に用いる[[ベルトコンベア|コンベア]]のベルトをメビウスの帯状にしておくと接触面が2倍になるので消耗しにくくなり長持ちするという利点があり、1950年前後に[[アメリカ合衆国|米国]]で[[特許]]が取得されている<ref group="注">研磨用のものは[http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=%2Fnetahtml%2FPTO%2Fsrchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=2479929.PN.&OS=PN/2479929&RS=PN/2479929 米国特許番号2479929]、運搬用のものは[http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=%2Fnetahtml%2FPTO%2Fsrchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=2784834.PN.&OS=PN/2784834&RS=PN/2784834 米国特許番号2784834]。</ref><ref name="obi-74-80" >『メビウスの帯』74-80頁。</ref>。

[[1964年]]には[[絶縁体]]をメビウスの帯状にして金属箔で覆った{{仮リンク|メビウス抵抗器|en|Möbius resistor}}が発明され、1986年にはさらにそれを利用したメビウスコンデンサも特許がとられている<ref>メビウス抵抗器は[http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=%2Fnetahtml%2FPTO%2Fsrchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=3267406.PN.&OS=PN/3267406&RS=PN/3267406 米国特許番号3267406]、メビウスコンデンサは[http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=%2Fnetahtml%2FPTO%2Fsrchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=4599586.PN.&OS=PN/4599586&RS=PN/4599586 米国特許番号4599586]。</ref><ref name="obi-74-80" />。どちらも、[[自己インダクタンス]]の無い抵抗、コンデンサとなる。

== 化学の分野 ==
有機化合物では、1985年[[コロラド大学ボルダー校|コロラド大学]]のデーヴィッド・ワルバ (David Walba) らが、メビウスの帯の構造を持つ分子の合成に成功した<ref>[http://walba.colorado.edu/Reprints/Top_Stereo%20Tetrahedron%201986.pdf ワルバらの論文] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060909202406/http://walba.colorado.edu/Reprints/Top_Stereo%20Tetrahedron%201986.pdf |date=2006年9月9日 }} - Walba, D. M.; Armstrong, J. D., III; Perry, A. E.; Richards, R. M.; Homan, T. C.; Haltiwanger, R. C. ''Tetrahedron'' '''1986''', ''42'', 1883-1894. DOI: [https://doi.org/10.1016/S0040-4020(01)87608-0 10.1016/S0040-4020(01)87608-0]</ref>。

ねじれた環状のπ[[共役系]]は通常の[[芳香族]]とは逆に 4nπ系が安定となる。これは[[メビウス芳香族性]]と呼ばれ、計算化学による予想を経て21世紀初頭に実際に化合物が合成された。

無機化合物では、細長い帯のような[[結晶]]なら作れるが、メビウスの帯のようなねじれた結晶をつくるのは無理だと考えられてきた。2002年、[[北海道大学]][[工学部]]の[[丹田聡]]らが[[三セレン化ニオブ]]の結晶を変形させ、メビウスの帯状の結晶を作ることに成功した<ref>Tanda, S.; Tsuneta, T.; Okajima, Y.; Inagaki, K.; Yamaya, K.; Hatakenaka, N. ''Nature'' '''2002''', ''417'', 397-398. DOI: [https://doi.org/10.1038/417397a 10.1038/417397a]</ref><ref>[http://www.eng.hokudai.ac.jp/news/publication/archive/old/archive00/2003/07/page06.html 北海道大学大学院工学研究科・工学部広報平成15年7月号]</ref>。

==デザイン・芸術などへの応用==
メビウスの帯は[[マウリッツ・エッシャー]]、[[安野光雅]]、[[タイガー立石]]などが自身の作品中で[[モチーフ]]として利用しており<ref>『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』22頁。</ref>、帯をかたどった[[彫刻]]作品も数多く制作されている<ref>『メビウスの帯』216-217頁。</ref>。

また、循環や再生を想起させることから下図のように[[リサイクル]]のシンボルマーク（[[ユニバーサルリサイクルシンボル]]）として採用されているほか<ref>『メビウスの帯』13頁。</ref>、[[ブラジル]]・[[オランダ]]・[[ベルギー]]などの国で[[切手]]に描かれるなど<ref>『メビウスの帯』215-216頁。</ref>、メビウスの帯をあしらったデザインは多い。

メビウスの輪をそのまま[[サイコロ|ダイス]]とした「1面ダイス」は「1」の目が出る確率が100%であり、実用性はなく、ジョークグッズとなっている。

ウェブサイトの[[8chan]]のロゴはメビウスの輪を表している。

<gallery>
ファイル:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg|メビウスの帯上を[[戦車]]が走っている壁面画
ファイル:Moebisuband Skulptur 2008 PD.JPG|メビウスの帯を模した[[彫刻]]
ファイル:Recycle001.svg|ユニバーサルリサイクルシンボル
ファイル:Moebiusstripscarf.jpg|メビウスの帯状の[[スカーフ]]
ファイル:D1 dice.JPG|メビウスの輪を使用した「1面ダイス」
</gallery>

==文学において==
文学作品においてメビウスの帯はしばしば[[無限]]の繰り返しを比喩的に表すものとして用いられる（ただし、[[数学史|数学史家]]の{{仮リンク|ジョン・フォーベル|en|John Fauvel}}はメビウスの帯の比喩的表現は不適切な文脈でもしばしば用いられていると指摘している<ref>『メビウスの遺産―数学と天文学』19頁。</ref>）。前述のようにメビウスの帯は1周して戻ってくると向きが逆転しているという性質を有していることから、ループ構造を持つ[[プロット (物語)|プロット]]（[[ループもの]]）や[[登場人物]]がなんらかの経験を経て考えをあらためて[[過去]]（あるいは元いた場所）に戻る際の[[比喩]]としてメビウスの帯が使われることもある<ref>『メビウスの帯』15-16頁・245頁など。</ref>。

== 関連項目 ==
*[[クラインの壺]] - メビウスの帯と同様に向き付け不可能だが境界が無い曲面。
*[[クライン体]] - 2次元多様体であるメビウスの帯を3次元に拡張したもの。
*[[ボーイ・サーフェス]] - メビウスの帯、クラインの壺、と関係が深い

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*クリフォード・A・ピックオーバー『メビウスの帯』吉田三知世訳、[[日経BP]]社、2007年。ISBN 978-4822283186。
*[[ジョン・フォーベル]]ら『メビウスの遺産―数学と天文学』 [[現代数学社]]、1995年。ISBN 978-4768703120。
*[[瀬山士郎]] 『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』 [[朝倉書店]]、1989年。ISBN 978-4254114652。
*[[小林一章]] 『曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群』 朝倉書店、1992年。ISBN 978-4254114713。
*[[森元勘治]] 『3次元多様体入門』 [[培風館]]、1996年。ISBN 978-4563002404。
*[[クゼ・コスニオフスキ]]著、[[加藤十吉]]訳編 『トポロジー入門』 [[東京大学出版会]]、1983年。
*[[小笠英志]] 『異次元への扉―はさみと紙から始めてトポロジーの達人に』 [[日本評論社]] ISBN 978-4535786080 メビウスの帯の初心者向けの説明が載っている。

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Moebius strip}}
*{{MathWorld|title=Möbius Strip|urlname=MoebiusStrip}}
*メビウスの帯の簡単な作り方 {{Cite web|和書
| url = http://www.nichinoken.co.jp/wing/loop/kaisetsu_w.html
| archiveurl = https://archive.fo/TAYqg
| title = 『メビウスの輪』について
| publisher = [[日能研]]
| accessdate = 2009-11-26
| archivedate = 2013-05-01
| url-status=dead|url-status-date=2018-03 }}

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:めひうすのおひ}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:閉曲面]]
[[Category:アウグスト・フェルディナント・メビウス]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]