メルカトル級数のソースを表示

[[File:Mercator series.svg|thumb|300px|right|区間（0,2）での自然対数に対する一次、二次、三次および十次多項式近似]]
[[数学]]において、'''メルカトル級数'''（{{lang-en|Mercator series}}）あるいは'''ニュートン＝メルカトル級数'''（{{lang-en|Newton-Mercator series}}）とは、[[自然対数]]に対する[[テイラー級数]]であり、以下の式で表される。

:<math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math>

[[総和]]記法を用いると、

:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n</math>

となる。

この級数は {{math|−1 < ''x'' ≤ 1}} の範囲で（1平行移動した）自然対数に収束する。

== 歴史 ==
この級数は{{仮リンク|ヨハネス・フッデ|en|Johannes Hudde}}<ref>Vermij, Rienk; (2012) [https://hdl.handle.net/1874/251283 Bio-bibliography for Johannes Hudde] from [[ユトレヒト大学|Utrecht University]]</ref>と[[アイザック・ニュートン]]の2人によってそれぞれ独立に発見された。[[ニコラス・メルカトル]]の著作『[[対数術]]』（[[1668年]]）によって最初に発表された。

== 導出 ==
この級数は[[テイラーの定理]]によって、{{math|ln(''x'')}} の {{math|''x'' {{=}} 1}} でのn階導函数を

:<math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac1{x}</math>

からはじめて[[数学的帰納法|帰納的]]に計算することで得られる。

もしくは、有限[[:en:Geometric series|等比級数]]（{{math|''t'' ≠ −1}}）

:<math>1-t+t^2-\cdots+(-t)^{n-1}=\frac{1-(-t)^n}{1+t}</math>

より、

:<math>\frac1{1+t}=1-t+t^2-\cdots+(-t)^{n-1}+\frac{(-t)^n}{1+t}</math>

を得る。このとき、

:<math>\int_0^x \frac{dt}{1+t}=\int_0^x \left(1-t+t^2-\cdots+(-t)^{n-1}+\frac{(-t)^n}{1+t}\right)\ dt</math>

であるから、項別積分によって

:<math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1+t}\ dt</math>

が得られる。

もし {{math|−1 < ''x'' ≤ 1}} なら、剰余項は {{math|''n'' → ∞}} のとき0に収束する。

この式を更に ''k'' 回繰り返し積分することで

:<math>-xA_k(x)+B_k(x)\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}</math>

を得られる。ここで
:<math>A_k(x)=\frac1{k!}\sum_{m=0}^k{k\choose m}x^m\sum_{l=1}^{k-m}\frac{(-x)^{l-1}}{l}</math>
および
:<math>B_k(x)=\frac1{k!}(1+x)^k</math>
は ''x'' の多項式である<ref>{{Cite journal|first1=Luis A.|last1=Medina|first2=Victor H.|last2=Moll |author-link2=Victor Hugo Moll |first3=Eric S.|last3=Rowland|title=Iterated primitives of logarithmic powers|arxiv=0911.1325|year=2009|doi=10.1142/S179304211100423X|volume=7|journal=International Journal of Number Theory|pages=623–634}}</ref>。

== 特殊例 ==
メルカトル級数で、{{math|''x'' {{=}} 1}} とすると[[調和級数#関連のある級数|交代調和級数]]

:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln(2)</math>

を得る。

== 複素級数 ==
[[複素数|複素]][[冪級数]]

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots</math>

は log を[[複素対数函数|複素対数]]の主値とした際の {{math|−log(1−''z'')}} に対する[[テイラー級数]]である。この級数は {{math|<nowiki>|</nowiki>''z''<nowiki>|</nowiki> ≤ 1, ''z'' ≠ 1}} を満たす全ての複素数に対して収束する。実際、[[ダランベールの収束判定法]]から、[[収束半径]]が1に等しいと分かるから、半径 ''r''&nbsp;<&nbsp;1 の全ての[[円板]] ''B''(0,&nbsp;''r'') 上で[[絶対収束]]する。更に、欠けた円板（nibbled disk） <math>\scriptstyle \overline{B(0,1)}\setminus B(1,\delta)</math>（{{math|''δ''&nbsp;>&nbsp;0}}）上で[[一様収束]]する。このことは右辺が閉[[単位円板]]上全体で一様収束することに注目すれば、代数恒等式
	 	
:<math>(1-z)\sum_{n=1}^m \frac{z^n}{n}=z-\sum_{n=2}^m \frac{z^n}{n(n-1)}-\frac{z^{m+1}}{m}</math>
から一度に導かれる。

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|ジョン・クレイグ|en|John Craig (mathematician)}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

* {{mathworld|urlname=MercatorSeries|title=Mercator Series}}
* [[Anton von Braunmühl]] (1903) [https://archive.org/details/vorlesungenber00brauuoft/page/n3/mode/2up Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie], Seite 134, via [[Internet Archive]]
* Eriksson, Larsson & Wahde. ''Matematisk analys med tillämpningar'', part 3. Gothenburg 2002. p.&nbsp;10.
* ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens]'' from ''A Short Account of the History of Mathematics'' (4th edition, 1908) by [[:en:W. W. Rouse Ball|W. W. Rouse Ball]]

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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:級数]]
[[Category:対数]]