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'''メルゲルヤンの定理'''(Mergelyan's theorem)は、[[複素解析]]の有名な結果で、アルメニアの数学者、{{仮リンク|セルゲイ・メルゲルヤン|en|Sergey Mergelyan}}(Sergei Nikitovich Mergelyan)により1951年に証明された。メルゲルヤンの定理は、次のような定理である。

:''K'' を[[複素平面]]の[[コンパクト集合|コンパクト部分集合]]であって <math>\mathbb{C}\setminus K</math> が[[連結空間|連結]]であるようなものとする。このとき、[[連続函数]] ''f'': ''K'' &rarr; '''C''' であって ''K'' の[[内部 (位相空間論)|内部]] int(''K'') への ''f'' の[[制限 (数学)|制限]]が[[正則函数|正則]]となるものはすべて、''K'' 上で[[多項式]]により[[一様収束|一様に]]近似することができる。

メルゲルヤンの定理は、[[ストーン＝ワイエルシュトラスの定理|ヴァイエルシュトラスの近似定理]]や[[ルンゲの定理]]を突き詰めた一般化であり、多項式近似の古典的な問題の完全な解答を与える。

<math>\mathbb{C}\setminus K</math> が連結ではない場合は、最初の近似問題において多項式を有理函数で置き換えなければならない。この[[パデ近似|有理近似]]問題の解の重要なステップもまたメルゲルヤンにより1952年に提案された。有理近似のより深い結果は、特に{{仮リンク|アナトリー・ヴィトゥシュキン|en|Anatoli Georgievich Vitushkin}} (Anatoli Vitushkin) により得られた。

ヴァイエルシュトラスやルンゲの定理は1885年以前に得られていることに対し、メルゲルヤンの定理は1951年に得られた。かなりの時間差があることは驚くべきことではない、なぜならばメルゲルヤンの定理の証明はメルゲルヤンにより考案された新しい強力な手法に基づいているからである。ヴァイエルシュトラスやルンゲ以後、多くの数学者（特に、{{仮リンク|ジョゼフ・レオナルド・ワルシュ|en|Joseph Leonard Walsh}} (Joseph Leonard Walsh) や[[ムスチスラフ・ケルディシュ]] (Mstislav Keldysh) や{{仮リンク|ミハイル・ラヴレンチェフ|en|Mikhail Lavrentyev}} (Mikhail Lavrentyev)）は、同じ問題に挑戦していた。メルゲルヤンにより提示された証明の方法は構成的で、今でも唯一知られている構成的な証明である。

== 参考文献 ==
* Lennart Carleson, ''Mergelyan's theorem on uniform polynomial approximation'', Math. Scand., V. 15, (1964) 167–175.
* Dieter Gaier, ''Lectures on Complex Approximation'', Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X.
* W. Rudin, '' Real and Complex Analysis'', McGraw–Hill Book Co., New York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.
* A. G. Vitushkin, ''Half a century as one day'',  Mathematical events of the twentieth century,  449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Mergelyan theorem|urlname=Mergelyan_theorem}}

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