メルセンヌの法則のソースを表示

[[ファイル:Mersenne's_laws.png|右|サムネイル|300x300ピクセル|[[弦 (楽器)|弦]]の長さを半分にする（1/2倍）か、張力を4倍にするか、長さあたりの質量を1/4にすると、音の高さは1[[オクターブ]]高くなる（2倍）。弦の張力が5[[キログラム重]]だとすれば、1オクターブ上の音を出すには張力を20キログラム重にしなければならない。]]
[[ファイル:Monochord_Jeans.png|サムネイル|300x300ピクセル|弦の一端を点Aに固定し、重量 {{mvar|W}} を吊り下げることで張力を加えたもの。弦は固定[[駒 (弦楽器)|コマ]]Bおよび可動コマCの上にかけられている。Dは自由に回転する[[滑車]]である。これらの要素により、張力や弦の長さと音高に関するメルセンヌの法則を実演することができる<ref name="Jeans">[[ジェームズ・ジーンズ|Jeans, James Hopwood]] (1937/1968). ''Science & Music'', p.62-4. Dover. </ref>。]]
'''メルセンヌの法則'''（メルセンヌのほうそく、{{lang-en-short|Mersenne's laws}}）とは、張った[[弦 (楽器)|弦]]もしくは[[モノコード]]を鳴らしたときの[[振動数]]に関する法則で、[[楽器]]の[[調律]]や製造に役立っている。フランスの[[数学者]]で[[音楽理論家]]でもある[[マラン・メルセンヌ]]による1637年の著作 ''Traité de l'harmonie universelle'' で最初に提唱された<ref name="mersenne">Mersenne, Marin (1637). ''Traité de l'harmonie universelle'', {{page needed|date=October 2013}}. via the [[バイエルン州立図書館|Bavarian State Library]]. Cited in "[http://scienceworld.wolfram.com/physics/MersennesLaws.html Mersenne's Laws]", ''[[ウルフラム・リサーチ|Wolfram.com]]''.</ref>。

この法則は、弦が出す音の高さ（[[周波数]]）と、弦の長さや[[質量]]、[[張力]]との間の関係を与える。[[ピアノ]]や[[ハープ]]のような[[弦楽器]]の構造や機能はメルセンヌの法則に支配されており、弦全体に正しい音高を持たせるには、楽器は相応の[[張力]]に耐えられなければならない。低い音を発する弦は太く、したがって単位長さ当たりの[[質量]]は大きい。張力は一般に小さい。高音側の弦は通常細く、張力は大きいが、長さは短くすることもできる。

メルセンヌはこれらの関係を自身で発見したわけではない<ref name="Gozza">Gozza, Paolo; ed. (2013). ''Number to Sound: The Musical Way to the Scientific Revolution'', p.279. Springer. </ref>。コーエン（2013）によると、「この結果は[[ガリレオ・ガリレイ|ガリレオ]]が得ていたものと本質的に変わらないが、メルセンヌの法則と呼ばれるには十分な理由がある」。すなわち、メルセンヌが実験を通じて理論が真実であることを証明した一方、ガリレオは証明が不可能だと考えていた<ref name="Cohen">Cohen, H.F. (2013). ''Quantifying Music: The Science of Music at the First Stage of Scientific Revolution 1580–1650'', p.101. Springer. </ref>。メルセンヌの理論は正しかったが、測定精度はそれほど良くなかった。ジョゼフ・ソヴァール (1653-1716) は[[うなり]]を利用した測定でより良い結果を得た<ref>Beyer, Robert Thomas (1999). ''Sounds of Our Times: Two Hundred Years of Acoustics''. Springer. p.10. </ref>。

== 定式化 ==
弦の[[基本周波数]] {{math|''f''<sub>0</sub>}} は以下の特徴を持つ。

* a) 弦の長さ {{mvar|L}} に反比例する（ピタゴラスの法則）<ref name="Jeans" />
: <math> f_0 \propto \frac{1}{L}</math> (式26)
* b) 張力 {{mvar|F}} の平方根に比例する
: <math> f_0 \propto \sqrt{F}</math> (式27)
* c) 弦の単位長さ当たりの質量 {{mvar|&mu;}} の平方根に反比例する
: <math>  f_0 \propto \frac{1}{\sqrt{\mu}}</math> (式28)

したがってたとえば、弦の性質がほかの点で変化しないとすれば、音を1オクターブ高くする（振動数2倍）には、長さをその係数で割る (1/2倍) か、張力に係数の自乗をかける (4倍) か、単位長さあたりの質量を係数の自乗で割る (1/4倍) といい。
{| class="wikitable"
! オクターブ !! 長さ !! 張力 !! 質量
|-
!1
|1
|1
|1
|-
!2
|1/2 = 0.5
|2² = 4
|1/2² = 0.25
|-
!3
|1/3 = 0.33
|3² = 9
|1/3² = 0.11
|-
!4
|1/4 = 0.25
|4² = 16
|1/4² = 0.0625
|-
!8
|1/8 = 0.125
|8² = 64
|1/8² = 0.015625
|}
これらの法則はメルセンヌの論文の式22<ref name="Steinhaus">Steinhaus, Hugo (1999). ''Mathematical Snapshots'', {{page needed|date=October 2013}}. Dover, </ref>

: <math> f_0 = \frac{\nu}{\lambda} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}</math>

から導かれる。ここで {{mvar|&nu;}} は速度、{{mvar|&lambda;}} は波長である。

[[笛]]や[[管楽器]]に対しては、同時期に同じような法則は発展しなかった。メルセンヌの法則が発展したのは、管楽器の音高が「振動」ではなく縦波によって決まるという考え方が確立するより早かったためである<ref name="Cohen" />。

== 関連項目 ==
* [[サイクロイド]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{音響学}}

{{DEFAULTSORT:めるせんぬのほうそく}}
[[Category:振動と波動]]
[[Category:楽器関連のスタブ]]
[[Category:調律]]