メルセンヌ数のソースを表示

'''メルセンヌ数'''（メルセンヌすう、{{Lang-en-short|Mersenne number}}）とは、[[2の冪]]よりも {{math|1}} 小さい[[自然数]]、すなわち {{math|2{{sup|''n''}} &minus; 1}}（{{mvar|n}} は自然数）の形の自然数のことである。これを {{mvar|M{{sub|n}}}} で表すことが多い。メルセンヌ数を小さい順に列挙すると

{{数列|indent=1|oeis=A000225|1|3|7|15|31|63|127|255|511|1023|2047|4095|8191}}

となる。メルセンヌ数は[[二進法|2進法]]表記で {{mvar|n}} 桁の {{math|'''11⋯11'''}}、すなわち[[レピュニット]]となる。

「メルセンヌ数」の名は、この形の[[素数]]に関する予想を発表した[[マラン・メルセンヌ]]に由来する。

== 基本的な性質 ==
{{mvar|M{{sub|n}}}} は {{Math|2<sup>''n'' &minus; 1</sup>}} の[[約数]]の総和に等しい。

{{mvar|M{{sub|n}}}} が素数ならば {{mvar|n}} もまた素数である。このことは、nが[[合成数]]のメルセンヌ数が次のように因数分解できることから分かる<ref name="Tannaka1982" />{{sfn|中村|2008|p=81}}：
:{{math|2{{sup|''ab''}} &minus; 1 {{=}} (2{{sup|''a''}} &minus; 1)(1 + 2{{sup|''a''}} + 2{{sup|2''a''}} + ⋯ + 2{{sup|(''b''&minus;1)''a''}}).}}
また、この等式より、{{math|''m'' {{!}} ''n''}} のとき {{math|''M''{{sub|''m''}} {{!}} ''M''{{sub|''n''}}}} である。一方、 {{mvar|p}} が素数でも {{mvar|M{{sub|p}}}} が素数とは限らない。最小の反例は {{Math|1=''p'' = 11}} の場合であり、{{math|''M''{{sub|11}} {{=}} 2047 {{=}} 23 × 89}} が成り立つ。

奇素数 {{Mvar|p}} に対して {{mvar|M{{sub|p}}}} が素数であるかどうかは、リュカ-レーマー・テストによって判定できる ([[#素数判定法]]節を参照)。

=== 完全数 ===
{{math|''M{{sub|p}}'' {{=}} 2{{sup|''p''}} &minus; 1}} が素数ならば、{{math|2{{sup|''p''&minus;1}}(2{{sup|''p''}} &minus; 1)}} は[[完全数]]である<ref name="Tannaka1982" /><ref name="Wada1981pp59-61">{{Harvnb|和田|1981|pp=59-61}}</ref>。この定理はすでに[[紀元前3世紀]]頃の[[ユークリッド原論]]で証明されていた{{sfn|ユークリッド|1971|loc=第9巻、命題36|pp=225–226}}。したがって、完全数の探索はメルセンヌ素数の探索に終始された。

{{Math|1=''p'' > 1}}ならば、{{math|2{{sup|''p''&minus;1}}(2{{sup|''p''}} &minus; 1)}} は明らかに[[偶数]]であるが、偶数の完全数でこの生成式から得られるもの以外はないのか2000年間にわたって未解決であったが、[[18世紀]]に[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]によりこの形に限ることが証明された<ref name="Wada1981pp59-61" />。

=== メルセンヌ数の素因数 ===
{{mvar|p}} を素数とする。
*{{mvar|M{{sub|p}}}} の素因数は {{math|2''p''}} を法として {{math|1}} と合同{{sfn|和田|1981|p=192}}、かつ {{math|8}} を法として {{math|1}} または {{math|&minus;1}} と合同である<ref name="Wada1981p193">{{Harvnb|和田|1981|p=193}}</ref>。
*{{math|''p'' ≡ 3 (mod 4)}} のとき、{{mvar|M{{sub|p}}}} が {{math|2''p'' + 1}} で割れることと、{{math|2''p'' + 1}} が素数であることは同値である<ref name="Wada1981p193" />。
*ある計算可能な正定数 {{Mvar|c}} が存在して、{{mvar|M{{sub|p}}}} の最大素因数を {{mvar|q}} について、{{math|''q'' ≥ ''cp'' log ''p''}} <ref>Theorem 1, {{Harvnb|Erdős|Shoray|1976}}</ref>。

=== 倍積完全数 ===
メルセンヌ数が素数でない場合も、 {{math|2{{sup|''n''&minus;1}}(2{{sup|''n''}} &minus; 1)}} が[[倍積完全数]]になることがある。{{math|''n''}} が1の場合は[[1]]（唯一の1倍完全数）、4と10の場合はそれぞれ[[120]]と[[523776]]（いずれも3倍完全数）、6の場合は[[2016]]（3倍完全数[[672]]の約数の和）になることが知られている。

== メルセンヌ素数 ==
'''メルセンヌ素数'''（メルセンヌそすう、Mersenne prime）とは、素数であるメルセンヌ数のことである。

2024年10月現在発見されているメルセンヌ素数は全部で52個ある。その中で最大のものは[[2024年]][[10月]]に発見された{{math|2{{sup|136279841}} &minus; 1}} であり、[[十進法]]で表記したときの桁数は4102万4320桁に及ぶ<ref name=":3" group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>136,279,841</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2024-10-21|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841|language=en|accessdate=2024-10-21}}</ref>。

これより大きい素数は、2024年11月現在メルセンヌ素数以外でも発見されていない。

=== メルセンヌ素数の発見の歴史 ===

==== 古代～中世 ====
メルセンヌ素数の探求は[[紀元前3世紀]]ごろに端を発する。[[古代エジプト]]の数学者[[エウクレイデス]]は『[[ユークリッド原論|原論]]』の中で、「{{Math|2<sup>''n''</sup> &minus; 1}} が素数ならば、{{Math|2<sup>''n'' &minus; 1</sup>(2<sup>''n''</sup> &minus; 1)}} は[[完全数]]である」ことを証明した{{Refn|『原論』 第9巻, 命題36. (pp. 225&ndash;226, {{Harvnb|ユークリッド|1971}})}}。ここから、メルセンヌ素数の探索は完全数の探索にも繋がることとなる{{Refn|{{Cite web|url=https://primes.utm.edu/mersenne/|title=Mersenne Primes: History, Theorems and Lists|accessdate=2022-02-22|website=[[Prime Pages|PrimePages]]|language=en|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220221061758/https://primes.utm.edu/mersenne/|archivedate=2022-02-21}}|name=pp-mersenne}}{{Refn|{{Math|2<sup>''n'' &minus; 1</sup> (2<sup>''n''</sup>&minus; 1)}} は偶数であるため、この式は奇数の[[完全数]]について何も言及しない。また、偶数の完全数がこの形に限られることは18世紀に[[レオンハルト・オイラー]]が証明するまで未解決であった。|group=注釈}}。

小さいメルセンヌ素数がいつから知られているかは定かではないが、少なくとも最初の4つの完全数は[[ニコマコス|ゲラサのニコマコス]]の『[[算術入門]]』ですでに言及されている<ref>{{Cite web |url=https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/perfelem.pdf |title=PERFECT NUMBERS: AN ELEMENTARY INTRODUCTION |accessdate=2022-02-21 |last=Voight |first=John |date=1998-05-31 |format=PDF |language=en |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210628184809/https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/perfelem.pdf |archivedate=2021-06-28}}</ref><ref>{{Cite book|洋書|title=Introduction to Arithmetic|year=1926|publisher=The Macmillan Company|pages=207&ndash;212|author=Nicomachus of Gerasa|ref={{Harvid|Nicomachus|1926}}|others=Martin Luther D'Ooge (trans)|url=https://archive.org/details/NicomachusIntroToArithmetic}}</ref>。5番目から7番目の完全数は、13世紀[[イスラム世界|イスラム]]の数学者イブン・ファッルース{{Enlink|Ibn Fallus|3=fr}}が論文に記している<ref name=":1">{{Cite web |title=Perfect numbers |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers/ |website=[[マックチューター数学史アーカイブ|MacTutor History of Mathematics]] |accessdate=2022-02-22 |language=en |last=O'Conner |first=John |coauthors=[[エドマンド・F・ロバートソン|Edmund F. Robertson]] |archiveurl=https://web.archive.org/web/20220111070352/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers/ |archivedate=2022-01-11}}</ref>。ヨーロッパでは、5番目の完全数が1456年と1461年の日付が付された古い写本に記されて<ref>{{Cite book|洋書|title=History of the Theory of Numbers|year=1919|publisher=Carnegie Institution of Washington|page=6|last=Dickson|first=Leonard E.|author-link=レオナード・E・ディクソン|url=https://archive.org/details/historyoftheoryo01dick/page/n5/mode/2up|language=en|volume=1}}</ref><ref>{{Citation|洋書|title=Calendarium ecclesiasticum - BSB Clm 14908|author=Anonymous|year=1456|type=Anonymous Manuscript|url=https://iiif.biblissima.fr/collections/manifest/4dca8a1c8b0be3df1ce6954d8d1ba60590cd04cc|accessdate=2022-02-21}}</ref>おり、6番目と7番目のメルセンヌ素数および完全数も[[1603年]]に{{日本語版にない記事リンク|ピエトロ・カタルディ|en|Pietro Cataldi|short=on}}によって発見されている<ref name=":1" />。

==== メルセンヌの予想 ====
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed floatright" style="text-align:center; font-size:small;"
|+ メルセンヌの予想の表: ''p'' ≦ 263
|-
!colspan="9"|
|-
|colspan="9" style="text-align: center;"|〇：''M{{sub|p}}''が素数の場合／×：''M{{sub|p}}''が合成数の場合<br /><span style="background-color:#00FFFF">水色が正解</span>、<span style="background-color:#FFC0CB">ピンク色が間違い</span>を示す<ref>{{OEIS|A000043}}</ref>。
|-
! ''p''
! 2 !! 3 !! 5 !! 7 !! 11 !! 13 !! 17 !! 19
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | 〇
|-
! ''p''
! 23 !! 29 !! 31 !! 37 !! 41 !! 43 !! 47 !! 53
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | ×
|-
! ''p''
! 59 !! 61 !! 67 !! 71 !! 73 !! 79 !! 83 !! 89
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#FFC0CB" | 〇 || style="background-color:#FFC0CB" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#FFC0CB" | 〇
|-
! ''p''
! 97 !! 101 !! 103 !! 107 !! 109 !! 113 !! 127 !! 131
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#FFC0CB" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | 〇 || style="background-color:#00FFFF" | ×
|-
! ''p''
! 137 !! 139 !! 149 !! 151 !! 157 !! 163 !! 167 !! 173
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | ×
|-
! ''p''
! 179 !! 181 !! 191 !! 193 !! 197 !! 199 !! 211 !! 223
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | ×
|-
! ''p''
! 227 !! 229 !! 233 !! 239 !! 241 !! 251 !! 257 !! 263
|-
| ''M{{sub|p}}''
| style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#00FFFF" | × || style="background-color:#FFC0CB" | × || style="background-color:#00FFFF" | ×
|}

[[1644年]]、[[マラン・メルセンヌ]]は「素数 {{mvar|p}} で {{math|2{{sup|''p''}} &minus; 1}} が素数になるのは、{{math|''p'' ≦ 257}} では {{math|''p'' {{=}} 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257}} の11個の場合だけである」という予想を公表した<ref name=":1" /><ref>{{Cite book|洋書|title=Cogitata Physico Mathematica|year=1644|publisher=Antonii Bertier|last=Mersenne|first=Marin|author-link=マラン・メルセンヌ|language=la|doi=10.3931/e-rara-11036|location=Paris}}</ref>。しかしメルセンヌ自身はその予想を証明することができず、しかもその予想の一部は誤っていた。

成果をもたらしたのはメルセンヌが予想を公表してから128年後、[[1772年]]の[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]（{{math|''p'' {{=}} 31}} では素数）<ref name="Tannaka1982" />{{sfn|和田|1981|p=51}}である。その次の成果はさらに104年後、[[1876年]]、[[エドゥアール・リュカ|リュカ]]（効率的な[[#素数判定法|素数判定法]]{{ill2|リュカ・テスト|en|Lucas primality test}}を考案、{{math|''p'' {{=}} 67}} では素数でない、{{math|''p'' {{=}} 127}} では素数<ref name="Tannaka1982" />{{sfn|中村|2008|pp=83f}}）によってもたらされた。その後リュカ・テストは改良が加えられ、メルセンヌが予想した範囲にない3個が付け加えられた（{{math|''p'' {{=}} 61}}（[[1883年]]）、{{math|''p'' {{=}} 89}}（[[1911年]]）、{{math|''p'' {{=}} 107}}（[[1914年]]））。メルセンヌが予想した最後の数 {{math|''p'' {{=}} 257}} について決着がついたのは[[1922年]]のことであり、 {{math|''p'' {{=}} 257}} も合成数だった<ref name="Tannaka1982">{{Harvnb|淡中|1982|pp=65–67}}.</ref>{{sfn|中村|2008|p=80}}。

結局メルセンヌの4個の予想のうち2つは外れた。なおかつ、間に予想できなかった3つが含まれていたことを考えれば予想は正しかったとはいえないが、その後の歴史を見ても大きな原動力となり先駆的であったことに敬意を表し、素数であるメルセンヌ数を'''メルセンヌ素数'''という{{要出典|date=2022年2月}}。

[[1903年]][[10月]]、アメリカの数学者[[フランク・ネルソン・コール]]は実際の素因数分解を探し求め、[[ニューヨーク]]で開かれた[[アメリカ数学会]]の会議で {{math|193707721 × 761838257287}} を黒板に計算し、{{math|''M''{{sub|67}}}} と一致することを証明した。この間一言もしゃべらず、席に戻った後、少し間を置いて拍手が沸き起こったと伝えられている{{sfn|中村|2008|p=87}}。

[[1952年]]、[[ラファエル・M・ロビンソン]]が [[Standards Western Automatic Computer|SWAC]] を利用して {{math|''M''{{sub|521}}}} から {{math|''M''{{sub|2281}}}} まで、5つのメルセンヌ素数を発見<ref name="Tannaka1982" />して以降、発見には[[コンピュータ]]が使用されており、コンピュータの進歩と共に新たなメルセンヌ素数が発見されつつある。

==== GIMPSによる発見 ====
[[1996年]]、メルセンヌ素数を発見することを目的として作られた[[分散コンピューティング]]によるプロジェクト [[GIMPS]] が発足し、35番目のメルセンヌ素数 {{math|''M''{{sub|1,398,269}}}}（1996年[[11月13日]]、Joel Armengaud<ref name=":0" group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 2<sup>1,398,269</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=1996-11-23|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M1398269|language=en}}</ref>）以来、GIMPSによるメルセンヌ素数の発見が続いている。

[[2008年]][[8月23日]]、GIMPS は46番目の素数候補が、[[カリフォルニア大学ロサンゼルス校]]の数学部のコンピュータによって発見されたと報じた{{要出典|date=2022年2月}}。この素数は[[電子フロンティア財団]]が賞金を懸けた1000万桁以上の最初の素数となるため、GIMPS によって同校数学部に50,000[[ドル]]、慈善事業に25,000ドル、残りを前の6つのメルセンヌ素数の発見者へ分配することになった<ref name=":1" group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2<sup>43,112,609</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2008-09-15|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M43112609|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>。

2008年[[9月6日]]、GIMPS は45番目の素数候補が、ドイツで発見されたと報じた{{要出典|date=2022年2月}}。これは、GIMPS によって発見された中では、発見順序と桁数が逆転した初めてのケースである。

=== 素数判定法 ===
知られている素数の中で最大のものが1876年以降ほぼ一貫してメルセンヌ素数である理由は、この判定法にある{{要出典|date=2022年2月}}。

==== リュカ・テスト ====
{{mvar|p}} が {{math|(4''j'' + 3)}} 型の素数のとき、{{math|''S''{{sub|0}} {{=}} 3}}, {{math|''S{{sub|n}}'' {{=}} ''S''{{sub|''n''&minus;1}}{{sup|2}} &minus; 2}} {{math|(''n'' ≥ 1)}} で {{math|{''S{{sub|n}}''} }}を定義すると、
* <math>M_p \not \mid S_k \ (0\leqq k\leqq p-2)</math> ならば、{{mvar|M{{sub|p}}}} は合成数である
* <math>M_p \mid S_{p-2}</math> ならば、{{mvar|M{{sub|p}}}} は素数である{{sfn|中村|2008|pp=82–84}}{{sfn|Lucas|1878}}{{sfn|Lucas|1969}}
{{For2|証明|リュカ・テストの証明}}

===== アルゴリズム =====
アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。

 '''入力''': ''p'': {{math|(4''j'' + 3)}} 型の素数であるテスト対象の整数
 '''出力''': ''PRIME'':素数の場合, ''COMPOSIT'':合成数の場合
 '''Lucas_Test'''(''p''):
     '''var''' s = 3
     '''var''' MP = (1 << p) &minus; 1
     '''for''' n '''in''' '''range'''(2, p):
         s = (s<sup>''2''</sup> &minus; 2) % MP
     '''if''' s == 0 '''then''':
         '''return''' ''PRIME''
     '''else''':
         '''return''' ''COMPOSIT''

==== リュカ–レーマー・テスト ====
{{mvar|p}} が奇素数のとき、{{math|''S''{{sub|0}} {{=}} 4}}, {{math|''S{{sub|n}}'' {{=}} ''S''{{sub|''n''&minus;1}}{{sup|2}} &minus; 2}} {{math|(''n'' ≥ 1)}} で{{math|{''S{{sub|n}}''} }} を定義すると、
* <math>M_p \not \mid S_k \ (0\leqq k\leqq p-2)</math> ならば、{{mvar|M{{sub|p}}}} は合成数である
* <math>M_p \mid S_{p-2}</math> ならば、{{mvar|M{{sub|p}}}} は素数である{{sfn|中村|2008|pp=84f}}{{sfn|和田|1981|pp=50–52, 194–199}}{{sfn|和田|1999|loc=§5 リュカ・テスト}}

{{For2|証明|リュカ–レーマー・テストの証明}}
リュカ–レーマー・テストは[[二進法|二進]][[コンピュータ|計算機]]用の[[アルゴリズム]]に向いており、コンピュータによるメルセンヌ素数の発見には、この判定法が用いられてきた。例えば、{{math|2{{sup|''p''}} ≡ 1}} {{math|(mod ''M{{sub|p}}'')}} より、{{math|''A''·2{{sup|''p''}} + ''B'' ≡ ''A'' + ''B''}} {{math|(mod ''M{{sub|p}}'')}} が成り立つので、{{mvar|M{{sub|p}}}} で割る割り算の代わりに、二進法で {{mvar|p}} 桁の[[ビット演算#シフト|シフト演算]]と足し算だけで計算できる。

===== アルゴリズム =====
アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。

 '''入力''': ''p'':奇素数であるテスト対象の整数
 '''出力''': ''PRIME'':素数の場合, ''COMPOSIT'':合成数の場合
 '''Lucas_Lehmer_Test'''(''p''):
     '''var''' s = 4
     '''var''' MP = (1 << p) &minus; 1
     '''for''' n '''in''' '''range'''(2, p):
         s = (s<sup>''2''</sup> &minus; 2) % MP
     '''if''' s == 0 '''then''':
         '''return''' ''PRIME''
     '''else''':
         '''return''' ''COMPOSIT''

 '''入力''': ''p'':奇素数であるテスト対象の整数
 '''出力''': ''PRIME'':素数の場合, ''COMPOSIT'':合成数の場合
 '''Lucas_Lehmer_Test_FAST'''(''p''):
     '''var''' s = 4
     '''var''' m = 2<sup>''p''</sup> &minus; 1
     '''for''' n '''in''' '''range'''(2, p):
         '''var''' s2 = s &times; s
         s = (s2 &amp; m) + (s2 >> p)
         '''if''' s >= m '''then'''
             s = s &minus; m
         s = s &minus; 2
     '''if''' s == 0 '''then'''
         '''return''' ''PRIME''
     '''else'''
         '''return''' ''COMPOSIT''

=== メルセンヌ素数の一覧 ===
2024年10月現在知られているメルセンヌ素数は下記の表の52個である。ただし、メルセンヌ素数としての番号が確定しているものは48番目までであり、これより大きいメルセンヌ素数については、間に未発見のメルセンヌ素数がないかどうか検証中である。

メルセンヌ素数は小さい順番から並べると

{{数列|indent=1|oeis=A000668|short=1|stop=0|3|7|31|127|8191|131071|524287|2147483647}}

となる。
{| class="wikitable"
!#
!{{mvar|p}}
!{{mvar|M{{sub|p}}}} の<br>桁数
!発見日
!発見者
|-
| style="text-align:right" |1
| style="text-align:right" |2
| style="text-align:right" |1
|紀元前500年?<ref name="isthe" />
|
|-
| style="text-align:right" |2
| style="text-align:right" |3
| style="text-align:right" |1
|紀元前500年?<ref name="isthe" />
|
|-
| style="text-align:right" |3
| style="text-align:right" |5
| style="text-align:right" |2
|紀元前275年?<ref name="isthe" />
|
|-
| style="text-align:right" |4
| style="text-align:right" |7
| style="text-align:right" |3
|紀元前275年?<ref name="isthe" />
|
|-
| style="text-align:right" |5
| style="text-align:right" |13
| style="text-align:right" |4
|1456年{{Refn|name=pp-mersenne}}
|不明{{Refn|name=pp-mersenne}}
|-
| style="text-align:right" |6
| style="text-align:right" |17
| style="text-align:right" |6
|1603年<ref name=":1" />
|{{仮リンク|ピエトロ・カタルディ|en|Pietro Cataldi}}
|-
| style="text-align:right" |7
| style="text-align:right" |19
| style="text-align:right" |6
|1603年<ref name=":1" />
|ピエトロ・カタルディ
|-
| style="text-align:right" |8
| style="text-align:right" |31
| style="text-align:right" |10
|1772年
|[[レオンハルト・オイラー]]
|-
| style="text-align:right" |9
| style="text-align:right" |61
| style="text-align:right" |19
|1883年
|{{仮リンク|イヴァン・パヴシン|en|Ivan Mikheevich Pervushin}}
|-
| style="text-align:right" |10
| style="text-align:right" |89
| style="text-align:right" |27
|1911年
|{{仮リンク|R・E・パワーズ|en|R. E. Powers}}
|-
| style="text-align:right" |11
| style="text-align:right" |107
| style="text-align:right" |33
|1914年
|R・E・パワーズ<ref>The Prime Pages, [http://primes.utm.edu/notes/fauquem.html M{{sub|107}}: Fauquembergue or Powers?].</ref>
|-
| style="text-align:right" |12
| style="text-align:right" |127
| style="text-align:right" |39
|1876年
|[[エドゥアール・リュカ]]
|-
| style="text-align:right" |13
| style="text-align:right" |521
| style="text-align:right" |157
|1952年1月30日
|{{仮リンク|ラファエル・M・ロビンソン|en|Raphael M. Robinson}}, 使用：[[Standards Western Automatic Computer|SWAC]]
|-
| style="text-align:right" |14
| style="text-align:right" |607
| style="text-align:right" |183
|1952年1月30日
|ラファエル・M・ロビンソン
|-
| style="text-align:right" |15
| style="text-align:right" |1,279
| style="text-align:right" |386
|1952年6月25日
|ラファエル・M・ロビンソン
|-
| style="text-align:right" |16
| style="text-align:right" |2,203
| style="text-align:right" |664
|1952年10月7日
|ラファエル・M・ロビンソン
|-
| style="text-align:right" |17
| style="text-align:right" |2,281
| style="text-align:right" |687
|1952年10月9日
|ラファエル・M・ロビンソン
|-
| style="text-align:right" |18
| style="text-align:right" |3,217
| style="text-align:right" |969
|1957年9月8日
|[[ハンス・リーゼル]], 使用：[[BESK]]
|-
| style="text-align:right" |19
| style="text-align:right" |4,253
| style="text-align:right" |1,281
|1961年11月3日
|[[アレクサンダー・フルウィッツ]], 使用：[[IBM 7090]]
|-
| style="text-align:right" |20
| style="text-align:right" |4,423
| style="text-align:right" |1,332
|1961年11月3日
|アレクサンダー・フルウィッツ
|-
| style="text-align:right" |21
| style="text-align:right" |9,689
| style="text-align:right" |2,917
|1963年5月11日
|[[ドナルド・ギリース]], 使用：[[ILLIAC II]]
|-
| style="text-align:right" |22
| style="text-align:right" |9,941
| style="text-align:right" |2,993
|1963年5月16日
|ドナルド・ギリース
|-
| style="text-align:right" |23
| style="text-align:right" |11,213
| style="text-align:right" |3,376
|1963年6月2日
|ドナルド・ギリース
|-
| style="text-align:right" |24
| style="text-align:right" |19,937
| style="text-align:right" |6,002
|1971年3月4日
|{{仮リンク|ブライアント・タッカーマン|en|Bryant Tuckerman}}, 使用：[[IBM 360]]/91
|-
| style="text-align:right" |25
| style="text-align:right" |21,701
| style="text-align:right" |6,533
|1978年10月30日
|{{仮リンク|ランドン・カート・ノル|en|Landon Curt Noll}} & [[ローラ・ニッケル]], 使用：[[CDC Cyber]] 174
|-
| style="text-align:right" |26
| style="text-align:right" |23,209
| style="text-align:right" |6,987
|1979年2月9日
|ランドン・カート・ノル
|-
| style="text-align:right" |27
| style="text-align:right" |44,497
| style="text-align:right" |13,395
|1979年4月8日
|[[ハリー・ネルソン]] & {{仮リンク|デイヴィッド・スローウィンスキー|en|David Slowinski}}
|-
| style="text-align:right" |28
| style="text-align:right" |86,243
| style="text-align:right" |25,962
|1982年9月25日
|デイヴィッド・スローウィンスキー
|-
| style="text-align:right" |29
| style="text-align:right" |110,503
| style="text-align:right" |33,265
|1988年1月28日
|[[ウォルター・コルキット]] & [[ルーク・ウェルシュ]]
|-
| style="text-align:right" |30
| style="text-align:right" |132,049
| style="text-align:right" |39,751
|1983年9月19日<ref name="isthe">[[Landon Curt Noll]], [http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/mersenne.html#largest Mersenne Prime Digits and Names].</ref>
|デイヴィッド・スローウィンスキー
|-
| style="text-align:right" |31
| style="text-align:right" |216,091
| style="text-align:right" |65,050
|1985年9月1日<ref name="isthe" />
|デイヴィッド・スローウィンスキー
|-
| style="text-align:right" |32
| style="text-align:right" |756,839
| style="text-align:right" |227,832
|1992年2月19日
|デイヴィッド・スローウィンスキー & {{仮リンク|ポール・ゲイジ|en|Paul Gage}} 使用：[[Harwell Lab]] [[Cray-2]]<ref>The Prime Pages, [http://primes.utm.edu/notes/756839.html The finding of the 32''nd'' Mersenne].</ref>
|-
| style="text-align:right" |33
| style="text-align:right" |859,433
| style="text-align:right" |258,716
|1994年1月4日<ref>Chris Caldwell, [http://www.math.unicaen.fr/~reyssat/largest.html The Largest Known Primes].</ref>
|デイヴィッド・スローウィンスキー & ポール・ゲイジ
|-
| style="text-align:right" |34
| style="text-align:right" |1,257,787
| style="text-align:right" |378,632
|1996年9月3日
|デイヴィッド・スローウィンスキー & ポール・ゲイジ<ref>The Prime Pages, [http://primes.utm.edu/notes/1257787.html A Prime of Record Size! 2{{sup|1257787}} &minus; 1].</ref>
|-
| style="text-align:right" |35
| style="text-align:right" |1,398,269
| style="text-align:right" |420,921
|1996年11月13日
|[[GIMPS]] / Joel Armengaud<ref name=":0" group="GIMPS" />
|-
| style="text-align:right" |36
| style="text-align:right" |2,976,221
| style="text-align:right" |895,932
|1997年8月24日
|GIMPS / Gordon Spence<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 2<sup>2,976,221</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=1997-09-01|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M2976221|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |37
| style="text-align:right" |3,021,377
| style="text-align:right" |909,526
|1998年1月27日
|GIMPS / Roland Clarkson<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 2<sup>3,021,377</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=1998-02-02|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M3021377|language=en}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |38
| style="text-align:right" |6,972,593
| style="text-align:right" |2,098,960
|1999年6月1日
|GIMPS / Nayan Hajratwala<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 2<sup>6,972,593</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Stakes Claim to $50,000 EFF Award|publisher=GIMPS|date=1999-06-30|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M6972593|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |39
| style="text-align:right" |13,466,917
| style="text-align:right" |4,053,946
|2001年11月14日
|GIMPS / Michael Cameron<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 2<sup>13,466,917</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid.|publisher=GIMPS|date=2001-12-06|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M13466917|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |40
| style="text-align:right" |20,996,011
| style="text-align:right" |6,320,430
|2003年11月17日
|GIMPS / Michael Shafer<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 2<sup>20,996,011</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid|publisher=GIMPS|date=2003-12-02|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M20996011|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |41
| style="text-align:right" |24,036,583
| style="text-align:right" |7,235,733
|2004年5月15日
|GIMPS / Josh Findley<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2<sup>24,036,583</sup>-1 is now the Largest Known Prime. Project Leaders Believe $100,000 Award Within Reach|publisher=GIMPS|date=2004-05-28|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M24036583|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |42
| style="text-align:right" |25,964,951
| style="text-align:right" |7,816,230
|2005年2月18日
|GIMPS / Martin Nowak et al.<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2<sup>25,964,951</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2005-02-27|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M25964951|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |43
| style="text-align:right" |30,402,457
| style="text-align:right" |9,152,052
|2005年12月15日
|GIMPS / {{仮リンク|カーティス・クーパー|en|Curtis Cooper (mathematician)}}, Steven Boone<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 2<sup>30,402,457</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2005-12-24|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M30402457|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |44
| style="text-align:right" |32,582,657
| style="text-align:right" |9,808,358
|2006年9月4日
|GIMPS / カーティス・クーパー, Steven Boone<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 2<sup>32,582,657</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2006-09-11|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M32582657|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |45
| style="text-align:right" |37,156,667
| style="text-align:right" |11,185,272
|2008年9月6日
|GIMPS / Hans-Michael Elvenich<ref name=":1" group="GIMPS" />
|-
| style="text-align:right" |46
| style="text-align:right" |42,643,801
| style="text-align:right" |12,837,064
|2009年4月12日
|GIMPS / Odd Magnar Strindmo
|-
| style="text-align:right" |47
| style="text-align:right" |43,112,609
| style="text-align:right" |12,978,189
|2008年8月23日
|GIMPS / エドソン・スミス<ref name=":1" group="GIMPS" />
|-
| style="text-align:right" |48
| style="text-align:right" |57,885,161
| style="text-align:right" |17,425,170
|2013年1月25日
|GIMPS / カーティス・クーパー<ref>{{cite news
|title = 「これまでで最大の素数」を発見
|author = CASEY JOHNSTON
|newspaper = [[WIRED (雑誌)|WIRED]]
|publisher = WIRED.jp
|date = 2013-02-07
|url = http://wired.jp/2013/02/07/volunteer-discovers-a-new-17-million-digit-prime-number/
|accessdate = 2013-02-10
}}</ref><ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2<sup>57,885,161</sup>-1 is now the Largest Known Prime.|publisher=GIMPS|date=2013-02-05|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M57885161|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |{{Refn|49番目以降はメルセンヌ素数としての順番が確定していない。|name=*|group=*}}
| style="text-align:right" |74,207,281
| style="text-align:right" |22,338,618
|2016年1月7日
|GIMPS / カーティス・クーパー<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>74,207,281</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2016-01-19|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M74207281|language=en|accessdate=2022-03-30}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |{{Refn|name=*|group=*}}
| style="text-align:right" |77,232,917
| style="text-align:right" |23,249,425
|2017年12月26日
|GIMPS / Jonathan Pace<ref group="GIMPS">{{Cite press release|title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>77,232,917</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2018-01-03|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M77232917|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
| style="text-align:right" |{{Refn|name=*|group=*}}
| style="text-align:right" |82,589,933
| style="text-align:right" |24,862,048
|2018年12月7日
|GIMPS / Patrick Laroche<ref group="GIMPS" name=":2">{{Cite press release|title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>82,589,933</sup>-1|publisher=GIMPS|date=2018-12-21|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933|language=en|accessdate=2022-02-19}}</ref>
|-
|{{Refn|name=*|group=*}}
|136,279,841
|41,024,320
|2024年10月21日
|GIMPS / Luke Durant<ref name=":3" group="GIMPS" />
|}
{{Reflist|group=*}}

== 未解決問題 ==
*メルセンヌ素数は無数に存在するか？
*素数 {{mvar|p}} に対して {{mvar|M{{sub|p}}}} が合成数であるとき、これを'''メルセンヌ合成数'''<ref>{{Cite journal|和書|journal=[[数学セミナー]]|author=[[和田秀男]]|date=1979.03|title=新しいメルセンヌ数について|pages=15-17|publisher=[[日本評論社]]}}</ref><ref>{{Cite journal|和書|journal=数学セミナー|author=[[陶山弘実]]|date=1982.09|title=フェルマ数，メルセンヌ数の因数分解|pages=59-63|publisher=日本評論社}}</ref>と呼ぶことにして、それは無数に存在するか？
*平方因子を持つメルセンヌ数 {{mvar|M{{sub|p}}}}（{{mvar|p}} は素数）が存在するか？
*{{mvar|n}} を奇数とするとき、次の3つの条件のうち2つが満たされれば、残りの1つも満足されると予想されており、{{math|''n'' < 10{{sup|5}}}} に対してこの予想は正しいと確認されている<ref>P. T. Bateman, J. L. Selfridge, S. S. Wagstaff Jr., "The new Mersenne conjecture", American Mathematical Monthly, 96 (1989), 125–128.</ref>。 
#{{mvar|M{{sub|n}}}} が素数
#{{math|''n'' {{=}} 2{{sup|''k''}} ± 1}} または {{math|4{{sup|''k''}} ± 3}}
#{{math|(2{{sup|''n''}} + 1)/3}} が素数

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|30em}}

=== GIMPS ===
<references group="GIMPS" responsive="" />

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author = [[淡中忠郎]]
|editor = 数学セミナー編集部編
|date = 1982-09-30
|title = 数の世界
|chapter = メルセンヌ数物語
|series = 数学セミナー増刊 数学セミナー・リーディングス
|publisher = 日本評論社
|pages = 65-67
|ref = {{Harvid|淡中|1982}}
}}
*{{Cite book|和書
|author = 中村滋
|authorlink = 中村滋 (数学者)
|date = 2002-09-30
|title = フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）　フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割
|publisher = [[日本評論社]]
|isbn = 4-535-78281-4
|ref = {{Harvid|中村|2002}}
}}
**{{Cite book|和書
|author = 中村滋
|date = 2008-01-25
|title = フィボナッチ数の小宇宙（ミクロコスモス）　フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割
|edition = 改訂版
|publisher = [[日本評論社]]
|isbn = 978-4-535-78492-5
|ref = {{Harvid|中村|2008}}
}}
*{{Cite book|和書
|editor=[[日本数学会]] 編
|date=1985-12-10
|title=岩波　数学辞典
|edition=第3版
|publisher=岩波書店
|isbn=978-4-00-080016-7
|ref={{Harvid|日本数学会|1985}}
}}
**{{Cite book|和書
|editor=日本数学会 編
|date=2007-03-15
|title=岩波　数学辞典
|edition=第4版
|publisher=岩波書店
|isbn=978-4-00-080309-0
|ref={{Harvid|日本数学会|2007}}
}}
*{{Cite book|和書
|author = 一松信
|authorlink = 一松信
|date = 2007-01-10
|title = 数のエッセイ
|series = ちくま学芸文庫
|publisher = 筑摩書店
|isbn = 978-4-480-09041-6
|ref = {{Harvid|一松|2007}}
}}
*{{Cite book|和書
|author = ユークリッド
|editor = [[ヨハン・ルードウィッヒ・ハイベア|ハイベア]]・[[ハインリッヒ・メンゲ|メンゲ]]編
|others = [[中村幸四郎]]・[[寺阪英孝]]・[[伊東俊太郎]]・[[池田美恵]]訳・解説
|title = ユークリッド原論
|publisher = [[共立出版]]
|ref = {{Harvid|ユークリッド|1971}}
}} - 全13巻の最初の邦訳。
**（ハードカバー）1971年7月。ISBN 4-320-01072-8
**（縮刷版）1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
**（追補版）2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2
*{{Cite book|和書
|author = 和田秀男
|authorlink = 和田秀男
|date = 1981-07-10
|title = 数の世界　整数論への道
|series = 科学ライブラリー
|publisher = 岩波書店
|isbn = 4-00-005500-3
|ref = {{Harvid|和田|1981}}
}} - 前編は1次式の整数論、後編は2次式の整数論。
*{{Cite book|和書
|author = 和田秀男
|origdate = 1987-10-20
|date = 1999-04
|title = コンピュータと素因子分解
|edition = 改訂版
|publisher = 遊星社（発行）星雲社（発売）
|id = ISBN 4-7952-6858-4 ISBN 4-7952-6889-4
|ref = {{Harvid|和田|1999}}
}}
*{{Citation
|first = Edouard
|last = Lucas
|authorlink = エドゥアール・リュカ
|title = Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques
|journal = American Journal of Mathematics
|volume = 1
|issue = 2
|year = 1878
|language = French
|publisher = Johns Hopkins University Press
|pages = pp. 184-240 et 289-321
|id = {{doi|10.2307/2369308}}
|url = http://edouardlucas.free.fr/oeuvres/Theorie_des_fonctions_simplement_periodiques.pdf
|format = PDF
}}
**（前半の英訳）{{Citation
|first = Edouard
|last = Lucas
|others = Translated by Sidney Kravitz
|year = 1969
|title = The Theory of Simply Periodic Numerical Functions
|publisher = Fibonacci Association
|language = English
|page = 77
|url = http://www.fq.math.ca/simply-periodic.html
|format = PDF
}}
*{{Cite journal|last=Erdős|first=P.|author-link=ポール・エルデシュ|last2=Shorey|first2=T.|year=1976|title=On the greatest prime factor of <math>2^p-1</math> for a prime p and other expressions|journal=Acta Arithmetica|volume=30|issue=3|pages=257&ndash;265|ref=harv|DOI=10.4064/aa-30-3-257-265|ISSN=0065-1036|authorlink2=:en:Tarlok Nath Shorey}}

== 関連項目 ==
*[[二重メルセンヌ数]]
*[[完全数]]
*[[巨大な素数の一覧]]
*[[ハノイの塔]] - メルセンヌ素数 {{math|2{{sup|127}} &minus; 1}} を発見した[[エドゥアール・リュカ|リュカ]]によって考案されたパズル。解に必要な最短手数とその二進数表記は密接な関係がある。
*[[フェルマー数]]
*[[マラン・メルセンヌ]]
*[[メルセンヌ・ツイスタ]] - メルセンヌ素数を用いた擬似乱数発生アルゴリズム。
*[[メルセンヌ予想]]
*[[レピュニット]]
*[[GIMPS]]
*[[メルセンヌ素数と完全数の一覧]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|メルセンヌ数|2=世界大百科事典 第2版}}
*{{MathWorld|urlname=MersenneNumber|title=Mersenne number}}
*{{MathWorld|urlname=MersennePrime|title=Mersenne prime}}
*[http://primes.utm.edu/mersenne/ Mersenne Primes: History, Theorems and Lists]{{En icon}}
*[http://primes.utm.edu/largest.html The Largest Known Primes]{{En icon}}
*[http://www.mersenne.org/ GIMPS]{{En icon}}
*[https://science.srad.jp/story/19/01/05/1917244/ 米フロリダ州の男性、わずか4回の試行で51番目のメルセンヌ素数を発見 | スラド サイエンス]
*[https://science.srad.jp/story/18/01/08/1656207/ 「史上最大の素数」約2年ぶりに更新、50番目のメルセンヌ素数で桁数は2324万9425桁 | スラド サイエンス]
*[https://science.srad.jp/story/16/01/24/1826238/ 史上最大、2,233万8,618桁の素数が発見される | スラド サイエンス]
*[https://science.srad.jp/story/08/09/01/0425236/ 45個目のメルセンヌ素数発見か | スラド サイエンス]
*[https://srad.jp/story/06/01/05/0423204/ 43個目のメルセンヌ素数が発見される | スラド]
*[https://srad.jp/story/03/12/03/224237/ 史上最大のメルセンヌ素数発見 | スラド]：40個目

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