メルテンスの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年8月5日 (土) 16:30 (UTC)}}
{{For|コーシー積の収束に関するメルテンスの定理|コーシー積#収束性}}

'''メルテンスの定理'''（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、[[1874年]]に[[ポーランド]]の[[数学者]]{{ill2|フランツ・メルテンス|en|Franz Mertens}}によって証明された、[[素数]]を含んだ[[和]]や[[積]]の評価に関する一連の[[定理]]である。
評価の厳しさは[[素数定理]]よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。

== 定理 ==
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
:<math>\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1),</math>
:<math>\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}=\log\log n+b+o(1),</math>
:<math>\prod_{p\leq n}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-\gamma}+o(1)}{\log n}.</math>
O, o は[[ランダウの記号]]である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。

また第二定理に現れる定数 b を{{ill2|Meissel–Mertens定数|en|Meissel–Mertens constant}}という。

== 第一定理の証明 ==

素数 p が n の[[階乗]] <math>n!</math> を割り切る回数を <math>e(p, n)</math> とおくと
[[ルジャンドルの公式]] より
: <math>e(n, p)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor</math>
であるから
: <math>\frac{n}{p}-1\leq e(n, p)<\frac{n}{p-1}</math>
が成り立つ。よって
: <math>\sum_{p\leq n}\log p\left(\frac{n}{p}-1\right)\leq \log n!=\sum_p e(n, p)\log p<\sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p-1} </math>
となるから
: <math>\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\leq \frac{1}{n} \left(\log n!+\sum_{p\leq n}\log p\right)</math>
となるが、[[チェビシェフ関数#初等的な評価|チェビシェフ関数の初等的な評価]]より
: <math>\sum_{p\leq n}\log p=\theta(n)<2n\log 2</math>
が成り立ち、[[階乗#階乗の増大度|階乗の増大度]]について、
: <math>\log n!=\sum_{k=1}^n \log k=n\log n-n+O(\log n)</math>
がすぐわかる（[[スターリングの公式]]はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から
: <math>\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\leq \frac{1}{n} \log n!+2\log 2\leq \log n+C_1</math>
となる定数 <math>C_1</math>が存在する。一方
: <math>\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\geq \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p-1}-C_2>\frac{1}{n} \log n!-C_2 \geq \log n-C_3</math>
となる定数 <math>C_2, C_3</math> が存在することは
: <math>\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)}<\sum_{k=1}^\infty \frac{\log k}{k(k-1)}<\sum_{k=1}^\infty \frac{2\log k}{k^2}</math>
が収束することからわかる。

== 第二定理の証明 ==
<math>S(x)=\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}, R(x)=S(x)-\log x</math> とおく。第一定理より <math>R(x)=O(1)</math> である。よって積分
:<math>\int_{2}^{x} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}</math>
は<math>x\rightarrow\infty</math>のとき収束する。したがって、[[アーベルの総和公式]]より
: <math>\begin{align} \sum_{p\leq n}\frac{1}{p}
  &= \frac{S(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{S(t)}{t\log^2 t}dt\\
  &= 1+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{dt}{t\log t}+\int_{2}^{n} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}\\
  &= \log\log n+1-\log\log 2+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}-\int_{n}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t} \\
  &= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+\frac{R(n)}{\log n}+O\left(\int_{n}^{\infty} \frac{dt}{t\log^2 t}\right)\\
  &= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)
\end{align}</math>
となるので、第二定理は
: <math>b=1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}</math>
について成り立つ。

==第三定理の証明==
収束性は
: <math>\sum_{p\leq n} -\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}+\sum_{p\leq n}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}</math>
および
: <math>\sum_{p>n}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}=O\left(\sum_{p>n}\frac{1}{p^2}\right)=O\left(\frac{1}{n}\right)</math>
から、第二定理よりすぐに導かれる。

定数部分が <math>e^{-\gamma}</math> であることの証明は概略のみ述べる。
:<math>h(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}, g(s)=h(s)+\log \zeta(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}-\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right), P(x)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}</math>
とおく（ ''g'' (''s'') についての等式は[[リーマンゼータ関数]]のオイラー積から得られる）。[[アーベルの総和公式]]を用いて
:<math>h(s)=(s-1)\int_{1}^{\infty}\frac{P(t)}{t^s}dt</math>
が得られる。ここで <math>t=e^{u/(s-1)}</math> とおくと[[オイラーの定数#積分表示|オイラーの定数の積分表示]]から
:<math>(s-1)\int_{1}^{\infty}\frac{\log\log t}{t^s}dt=\int_{1}^{\infty}e^{-u}\log\frac{u}{s-1}dt=-\gamma-\log (s-1)</math>
となる。これと第二定理を用いて
:<math>h(s)+\log (s-1)+\gamma-b\rightarrow 0 (s\rightarrow 1+0)</math>
が示せる。<math>(s-1)\zeta(s)\rightarrow 1 (s\rightarrow 1+0)</math> より
:<math>g(1)=\lim_{s\rightarrow 1+0} g(s)=\lim_{s\rightarrow 1+0} (h(s)+\log \zeta(s))=b-\gamma</math>
つまり
:<math>\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=-\gamma+b-P(x)+o(1)</math>
である。再び第二定理を用いて
:<math>\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=-\gamma-\log \log n+o(1)</math>
が得られ、第三定理が示される。

==参考文献==
* {{cite book | last1=Hardy | first1=G.H. | author1-link=G. H. Hardy | last2=Wright | first2=E.M. | author2-link=E. M. Wright | edition=6th | others=Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman.  Foreword by Andrew Wiles. | title=An Introduction to the Theory of Numbers | publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-921986-5 | mr= | zbl=1159.11001 | year=2008 | origyear=1938 }}
* {{cite book | last=Apostol | first=Tom A. | authorlink=Tom A. Apostol | title=Introduction to analytic number theory | publisher=Springer-Verlag | series=Undergraduate Texts in Mathematics | year=1976 | isbn=978-1-4757-5579-4 | mr=0434929 | zbl=0335.10001 | doi=10.1007/978-1-4757-5579-4 }}

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{{DEFAULTSORT:めるてんすのていり}}
[[Category:解析的整数論の定理]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]