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{{要改訳}}
[[代数幾何学]]では、'''モジュライ空間'''（モジュライくうかん、moduli space）とは（普通、[[概型|スキーム]]、もしくは[[代数的スタック]](algebraic stack)）空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、もしくは、そのような対象と{{仮リンク|同型類|en|isomorphism class}}(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり（例えば、決められた[[種数]]を持つ滑らかな[[代数曲線]]のような）へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化できる。この文脈では「モジュラス」は「パラメータ」と同じような意味に使われる。初期には、モジュライ空間は対象の空間というよりパラメータの空間として理解されていた。
<!---In [[algebraic geometry]], a '''moduli space'''  is a geometric space (usually a [[scheme (mathematics)|scheme]] or an [[algebraic stack]]) whose points represent algebro-geometric objects of some fixed kind, or [[isomorphism class]]es of such objects.  Such spaces frequently arise as solutions to classification problems:  If one can show that a collection of interesting objects (e.g., the smooth [[algebraic curve]]s of a fixed [[genus (topology)|genus]]) can be given the structure of a geometric space, then one can parametrize such objects by introducing coordinates on the resulting space.  In this context, the term "modulus" is used synonymously with "parameter"; moduli spaces were first understood as spaces of parameters rather than as spaces of objects.-->

==動機==
モジュライ空間とは、幾何学的な分類問題の解のなす空間である。つまり、モジュライ空間の点は、幾何学的な問題の解に対応する。ここで別な解もあった場合は、この解が同型であるならば（幾何学的に同一ならば）、モジュライ空間の点としては同一の点となる。モジュライ空間は問題のパラメータの普遍空間を与えるものと考えられる。たとえば、合同を同一視してユークリッド平面のすべての円を求める問題を考えると、任意の円は与えられた3点から一意に定まるが、異なる三点の集合が同じ円を定めることがあるので対応は 多数 : 1 となる。しかし、円は中心と半径、即ち2つの実パラメータと1つの正の実数のパラメータで一意にパラメトライズできる。ここでは「合同での同一視」にのみ注目しているので、同じ半径を持つ異なる中心をもつ円は同一視するため、半径だけで興味の対象をパラメトライズするに充分である。従って、モジュライ空間は、正の実数の集合である。

モジュライ空間は、自然な幾何学的トポロジー的性質を持つ場合が多い。円の例では、モジュライ空間は抽象的な集合ではないが、半径の差の絶対値が、2つの円の「近さ」を決める[[計量]]となる。モジュライ空間の幾何学的構造は、2つの幾何学的分類問題の解が近いか否かという局所的な構造を持っている一方で、込み入った大域的な構造も持っている。
<!---==Motivation==
Moduli spaces are spaces of solutions of geometric classification problems.  That is, the points of a moduli space correspond to solutions of geometric problems.  Here different solutions are identified if they are isomorphic (that is, geometrically the same).  Moduli spaces can be thought of as giving a universal space of parameters for the problem.  For example, consider the problem of finding all circles in the Euclidean plane up to congruence.  Any circle can be described uniquely by giving three points, but many different sets of three points give the same circle: the correspondence is many-to-one.  However, circles are uniquely parameterized by giving their center and radius: this is two real parameters and one positive real parameter.  Since we are only interested in circles "up to congruence", we identify circles having different centers but the same radius, and so the radius alone suffices to parameterize the set of interest.  The moduli space is therefore the set of positive real numbers.  

Moduli spaces often carry natural geometric and topological structures as well.  In the example of circles, for instance, the moduli space is not just an abstract set, but the absolute value of the difference of the radii defines a [[metric (mathematics)|metric]] for determining when two circles are "close".  The geometric structure of moduli spaces locally tells us when two solutions of a geometric classification problem are "close", but generally moduli spaces also have a complicated global structure as well.

[[File:Real projective line moduli space example.pdf|thumb|Constructing '''P'''<sup>1</sup>('''R''') by varying 0&nbsp;≤&nbsp;θ&nbsp;<&nbsp;π or as a quotient space of '''S'''<sup>1</sup>.]]-->
[[File:Real projective line moduli space example.pdf|thumb|320px|θを 0&nbsp;≤&nbsp;θ&nbsp;<&nbsp;π と変えること、あるいは '''S'''<sup>1</sup> の商空間として考えることで、'''P'''<sup>1</sup>('''R''') を構成する。]]

たとえば、原点を通る '''R'''<sup>2</sup> の直線の集まりはどう記述できるかを考える。この族から各々の直線 L へ一意に決まるモジュラス、量を対応させたいので、0 ≤ θ < π の間の角度 θ(L) を考えることは自然なことであり、これは '''R'''<sup>2</sup> 上の原点を通る全ての直線に対応している。直線 L の集合は、'''P'''<sup>1</sup>('''R''') として知られており、[[実射影直線]]と呼ばれる。
<!--For example, consider how to describe the collection of lines in '''R'''<sup>2</sup> which intersect the origin. We want to assign a quantity, a modulus, to each line ''L'' of this family that can uniquely identify it, for example a positive angle θ(''L'') with 0 ≤ θ < π radians, which will yield all lines in '''R'''<sup>2</sup> which intersect the origin. The set of lines ''L'' just constructed is known as '''P'''<sup>1</sup>('''R''') and is called the [[real projective line]].-->

また、トポロジカルな構成により、原点を通る '''R'''<sup>2</sup> 上の直線の集まりも記述することができる。すなわち、'''S'''<sup>1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2</sup> を考え、全ての点 s ∈ '''S'''<sup>1</sup> に対して、直線が原点と s を通る場合は、この集まりの中では直線 L(s) と同一視することにする。この写像は 2対1 の対応であるので、s~ − s を同一視し '''P'''<sup>1</sup>('''R''') ≅ '''S'''<sup>1</sup>/~ を得る。この空間のトポロジーは、[[:en:quotient map|商写像]] '''S'''<sup>1</sup> → '''P'''<sup>1</sup>('''R''') により引き起こされた[[商位相空間|商トポロジー]]である。

このように、'''P'''<sup>1</sup>('''R''') を原点を通る '''R'''<sup>2</sup> の中の直線のモジュライ空間として考えると、（直線の場合の）族の要素を 0&nbsp;≤&nbsp;θ&nbsp;<&nbsp;π と変化させることでパラメータ化できることを理解することができる。
<!---We can also describe the collection of lines in '''R'''<sup>2</sup> which intersect the origin by means of a topological construction. That is, consider '''S'''<sup>1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2</sup> and notice that to every point ''s'' ∈ '''S'''<sup>1</sup> that we can identify a line ''L''(''s'') in the collection if the line intersects the origin and ''s''. Yet, this map is two-to-one, so we want to identify ''s'' ~ −''s'' to yield '''P'''<sup>1</sup>('''R''') ≅ '''S'''<sup>1</sup>/~ where the topology on this space is the [[quotient topology]] induced by the [[quotient map]] '''S'''<sup>1</sup> → '''P'''<sup>1</sup>('''R''').

Thus, when we consider '''P'''<sup>1</sup>('''R''') as a moduli space of lines that intersect the origin in '''R'''<sup>2</sup>, we capture the ways in which the members of the family (lines in the case) can modulate by continuously varying 0&nbsp;≤&nbsp;θ&nbsp;<&nbsp;π.-->

==基本的な例==
===射影空間とグラスマン多様体===
{{仮リンク|実射影空間|en|real projective space}} '''P'''<sup>n</sup> は、原点を通る '''R'''<sup>''n''+1</sup> の中の直線をパラメータ化したモジュライ空間である。同様に、複素射影空間は原点を通る '''C'''<sup>''n''+1</sup> の中の全て複素直線の空間である。

さらに一般的に、体 F 上のベクトル空間 V の{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}} '''G'''(k, V) とは、V の k-次元線型部分空間のモジュライ空間である。
<!---==Basic Examples==
===Projective Space and Grassmannians===
The [[real projective space]] '''P'''<sup>''n''</sup> is a moduli space which parametrizes the space of lines in '''R'''<sup>''n''+1</sup> which pass through the origin. Similarly, complex projective space is the space of all complex lines in '''C'''<sup>''n''+1</sup> passing through the origin.

More generally, the [[Grassmannian]] '''G'''(''k'', ''V'') of a vector space ''V'' over a field ''F'' is the moduli space of all ''k''-dimensional linear subspaces of ''V''.-->

===周多様体===
{{仮リンク|周環|label=周多様体|en|Chow ring}}(Chow Variety) '''Chow'''(d,'''P'''<sup>3</sup>) は、 '''P'''<sup>3</sup> の中の次数 d の曲線をパラメトライズする射影代数多様体で、次のように構成される。C を '''P'''<sup>3</sup> の中の次数 d の曲線として、曲線 C と交わる '''P'''<sup>3</sup> の中の全ての直線を考える。これは '''P'''<sup>3</sup> の中の直線のグラスマン多様体 '''G'''(2, 4) の次数 d の因子 D_C である。C が変化すると、C に伴い D_C が変化することで、グラスマン多様体 '''Chow'''(d,'''P'''<sup>3</sup>) の次数 d の因子の作る部分空間として次数 d の曲線のパラメータ空間を得る。
<!---===Chow Variety===
The [[Chow ring|Chow Variety]] '''Chow'''(d,'''P'''<sup>''3''</sup>) is a projective algebraic variety which parametrizes degree ''d'' curves in '''P'''<sup>''3''</sup>. It is constructed as follows. Let C be a curve of degree ''d'' in '''P'''<sup>''3''</sup>, then consider all the lines in '''P'''<sup>''3''</sup> that intersect the curve C. This is a degree ''d'' divisor ''D_C'' in '''G'''(''2'', ''4'') the Grassmannian of lines in '''P'''<sup>''3''</sup>. When ''C'' varies, by associating ''C'' to ''D_C'', we obtain a parameter space of degree ''d'' curves as a subset of the space of degree ''d'' divisors of the Grassmannian: '''Chow'''(d,'''P'''<sup>''3''</sup>).-->

===ヒルベルトスキーム===
[[ヒルベルトスキーム]] '''Hilb'''(X) はモジュライスキームであり、'''Hilb'''(X) の全ての閉じた点が、決められたスキーム X の閉じた部分スキームに対応し、全ての閉じた部分スキームがそのような点で表現される。
<!---===Hilbert Scheme===
The [[Hilbert scheme]] '''Hilb'''(''X'') is a moduli scheme. Every closed point of '''Hilb'''(''X'') corresponds to a closed subscheme of a fixed scheme ''X'', and every closed subscheme is represented by such a point.-->

==定義==
何が空間 M のモジュライ空間を意味するかには様々な異なる考え方がある。これらの各々の定義は、何が空間の点が幾何学的な対象を意味するかについて異なる考え方を定式化している。
<!---==Definitions==
There are several different related notions of things we could call moduli spaces. Each of these definitions formalizes a different notion of what it means for the points of a space ''M'' to represent geometric objects.-->

===詳細モジュライ空間===
この考え方は標準的な考え方である。発見的な見方としては、空間 M に対して各々の点 m ∈ M が代数幾何学的対象 U<sub>m</sub> に対応していれば、これらの対象を集めてきて M 上のトポロジカルな族 U とすることができる。（例えば、グラスマン多様体 '''G'''(k, V) はランク k のバンドルで、点 [L] ∈ '''G'''(k, V) は単純な線型部分空間 L ⊂ V である。） M を族 U の'''基底空間'''(base space)といい、もし任意の基底空間 B 上の任意の代数幾何学的対象 T が一意な写像 B → M に沿った U の[[引き戻し (圏論)|引き戻し]](pullback)となっている場合には、そのような族を'''普遍的'''(universal)と言う。詳細モジュライ空間(fine moduli space)とは、普遍的な基底を持つような空間 M のことを言う。

さらに詳しくは、スキームから集合への函手 F を考える。この函手はスキーム B から基底 B を持つ対象の適当な族全ての集合への函手であるとする。空間 M が函手 F の'''詳細モジュライ空間'''であるとは、M を{{仮リンク|表現函手|label=表現する|en|representable functor}}(corepresent) F、つまり、点の函手 '''Hom'''(−, M) が F に自然に同型であるときのことを言う。このことは、M が普遍的な族となっていて、この族を同一視する写像 '''1'''<sub>M</sub> ∈ '''Hom'''(M, M) に対応する M 上の族であることを意味する。
<!---===Fine Moduli Spaces===
This is the standard concept.  Heuristically, if we have a space ''M'' for which each point ''m''∈ ''M'' corresponds to an algebro-geometric object ''U<sub>m</sub>'', then we can assemble these objects into a topological family ''U'' over ''M''.  (For example, the Grassmanian '''G'''(''k'', ''V'') carries a rank ''k'' bundle whose fiber at any point [''L''] ∈ '''G'''(''k'', ''V'') is simply the linear subspace ''L'' ⊂ ''V''.) ''M'' is called a '''base space''' of the family ''U''. We say that such a family is '''universal''' if any family of algebro-geometric objects ''T'' over any base space ''B'' is the [[Pullback (category theory)|pullback]] of ''U'' along a unique map ''B'' → ''M''. A fine moduli space is a space ''M'' which is the base of a universal family.

More precisely, suppose that we have a functor ''F'' from schemes to sets, which assigns to a scheme ''B'' the set of all suitable families of objects with base ''B''. A space ''M'' is a '''fine moduli space''' for the functor ''F'' if ''M'' [[representable functor|corepresents]] ''F'', i.e., there is a natural isomorphism τ : ''F'' → '''Hom'''(−, ''M''), where '''Hom'''(−, ''M'') is the functor of points. This implies that ''M'' carries a universal family; this family is the family on ''M'' corresponding to the identity map '''1'''<sub>''M''</sub> ∈ '''Hom'''(''M'', ''M'').-->

===粗いモジュライ空間===
詳細モジュライ空間は常に求められることが望まれるが、それらはいつも存在するわけではなく、構成することが難しいことが多いので、数学者はより弱い、粗いモジュライ空間という考え方を取ることがある。自然な変換 τ : F → '''Hom'''(−, M) （F が (M, τ) による{{仮リンク|表現函手|label=表現される|en|Representable functor}}(corepresented)）が存在し、τ が自然な変換の中で普遍的となっているような場合{{how|date=Oct. 2014}}、M を函手 F の'''粗いモジュライ空間'''(coarse moduli space)と言う。より具体的には、M が F の粗いモジュライ空間とは、基底 B 上の任意の族 T が写像 φ<sub>T</sub> : B → M を与え、任意の 2つの対象 V と W（点上の族とみなして）M の同じ点に対応することと V と W が同型であることが同値であるような場合を言う。このようにして、M は族に現れる全ての対象に対応する点を持ち、その上の幾何学が族の中での変化可能な方法を反映している空間である。しかしながら、注意すべきは、粗いモジュライ空間がいつも普遍的となるような対象の族を持っているとは限らないことである。

言い換えると、詳細モジュライ空間は、基底空間 M も普遍的な族 T → M も両方持っているのに対し、粗いモジュライ空間は基底空間 M しか持たない。
<!---===Coarse Moduli Spaces===
Fine moduli spaces are desirable, but they do not always exist and are frequently difficult to construct, so mathematicians sometimes use a weaker notion, the idea of a coarse moduli space. A space ''M'' is a '''coarse moduli space''' for the functor ''F'' if there exists a natural transformation τ: ''F'' → '''Hom'''(−,''M'') (''F'' is [[Representable functor|corepresented]] by (''M'',τ)) and τ is universal{{how}} among such natural transformations. More concretely, ''M'' is a coarse moduli space for ''F'' if any family ''T'' over a base ''B'' gives rise to a map φ<sub>''T''</sub>: ''B'' → ''M'' and any two objects ''V'' and ''W'' (regarded as families over a point) correspond to the same point of ''M'' if and only if ''V'' and ''W'' are isomorphic. Thus, ''M'' is a space which has a point for every object that could appear in a family, and whose geometry reflects the ways objects can vary in families. Note, however, that a coarse moduli space does not necessarily carry any family of appropriate objects, let alone a universal one.

In other words, a fine moduli space includes ''both'' a base space ''M'' and universal family ''T'' → ''M'', while a coarse moduli space only has the base space ''M''.-->

===モジュライスタック===
興味深い幾何学的な対象は、自然な[[自己同型]]を数多く持っている場合が多い。特に、この場合は詳細モジュライ空間の存在が不可能となる。（直感的には、L がある幾何学対象であるとして、自明な族 L × [0,1] は非自明な自己同型 L × {0} を L × {1} を同一視することで '''S'''<sup>1</sup> 上のツイストした族となる。そこで詳細なモジュライ空間 X が存在したとすると、写像 '''S'''<sup>1</sup> → X は定数であってはならないが、自明性により任意の固有な開集合の上では定数である必要がある。）従って、粗いモジュライしか得ることができない。しかしながら、このアプローチは空間の存在が保障されていないので理想的というわけではなく、存在するときは特異な状態であることがよくあるので、モジュライ空間が分類する対象の非自明な族についての詳細を誤ることになる。
<!---===Moduli stacks===
It is frequently the case that interesting geometric objects come equipped with lots of natural [[automorphism]]s. This in particular makes the existence of a fine moduli space impossible (intuitively, the idea is that if ''L'' is some geometric object, the trivial family ''L'' × [0,1] can be made into a twisted family on the circle '''S'''<sup>1</sup> by identifying ''L'' × {0} with ''L'' × {1} via a nontrivial automorphism. Now if a fine moduli space ''X'' existed, the map '''S'''<sup>1</sup> → ''X'' should not be constant, but would have to be constant on any proper open set by triviality), one can still sometimes obtain a coarse moduli space. However, this approach is not ideal, as such spaces are not guaranteed to exist, are frequently singular when they do exist, and miss details about some non-trivial families of objects they classify. -->

より込み入ったアプローチは、同型を覚えておくことで、分類をより細分化することである。詳しくいうと、任意の基底 B 上で B 上の族の射)としてとる族の間の同型のみを B に付帯する射とするカテゴリを考えることができる。すると、{{仮リンク|ファイバーカテゴリ|en|fibred category}}(fibred category）を考えることができ、任意の空間 B へ B 上の族にグルーポイドが付随する。'''グルーポイドの中にファイバーをもつカテゴリ化して'''モジュライ問題の記述に使うことは、グロタンディーク(Grothendieck)(1960/61)まで遡る。一般にそれらはスキームや、{{仮リンク|代数的空間|en|algebraic space}}(algebraic space)でさえも表現することができないが、多くの場合には[[代数的スタック]](algebraic stack)の自然な構造を持っている。

代数的スタックと、それらのモジュライ問題への使用はデリーニュ・マンフォード(Deligne-Mumford)(1969) に与えられた種数の{{仮リンク|代数曲線のモジュライ空間|label=（粗い）代数曲線のモジュライ空間|en|moduli of algebraic curves}}(moduli of algebraic curves)の規約性の証明のためのツールとして現れた。代数的スタックということばは、本質的にはモジュライを「空間」として扱うファイバー化されたカテゴリとみなす系統的な方法を提供し、多くのモジュライ問題のモジュライスタックは対応する粗いモジュライよりも（例えば、滑らかであるというように）より扱いよくなった。
<!---A more sophisticated approach is to enrich the classification by remembering the isomorphisms. More precisely, on any base ''B'' one can consider the category of families on ''B'' with only isomorphisms between families taken as morphisms. One then considers the [[fibred category]]  which assigns to any space ''B'' the groupoid of families over ''B''. The use of these ''categories fibred in groupoids'' to describe a moduli problem goes back to Grothendieck (1960/61). In general they cannot be represented by schemes or even [[algebraic space]]s, but in many cases they have a natural structure of an [[algebraic stack]]. 

Algebraic stacks and their use to analyse moduli problems appeared in Deligne-Mumford (1969) as a tool to prove the irreducibility of the (coarse) [[moduli of algebraic curves|moduli space of curves]] of a given genus. The language of algebraic stacks essentially provides a systematic way to view the fibred category that constitutes the moduli problem as a "space", and the moduli stack of many moduli problems is better-behaved (such as smooth) than the corresponding coarse moduli space.-->

==さらなる例==
===曲線のモジュライ===
{{details|{{仮リンク|曲線のモジュライ|en|Moduli of algebraic curves}}}}

モジュライスタック <math>\mathcal{M}_{g}</math> は種数 g の滑らかな射影曲線の族と、それらの同型とを分類する。g > 1 のとき、このスタックは安定なノードを持つ曲線（と同型と）に対応する新しい「境界」点を加えることによりコンパクト化することができるかもしれない。曲線が安定とは、自己同型群を有限群でしかないということである。結果として現れるスタックは、<math>\overline{\mathcal{M}}_{g}</math> と書く。どちらのモジュライも曲線の普遍的な族を持っている。滑らか、もしくは安定な曲線の同型類を表す粗いモジュライも定義することができる。これらの粗いモジュライは、モジュライスタックが考え出される以前に研究されていた。実際、モジュライスタックはデリーニュ(Deligne)とマンフォード(Mumford)により、粗いモジュライ空間の射影性を証明しようとして、考え出された。近年、曲線のスタックが、実際はより基本的な対象であることが明らかになってきた。
<!---==Further Examples==
===Moduli of curves===
{{details|Moduli of algebraic curves}}

The moduli stack <math>\mathcal{M}_{g}</math> classifies families of smooth projective curves of genus ''g'', together with their isomorphisms. When ''g'' > 1, this stack may be compactified by adding new "boundary" points which correspond to stable nodal curves (together with their isomorphisms). A curve is stable if it has only a finite group of automorphisms.  The resulting stack is denoted <math>\overline{\mathcal{M}}_{g}</math>.  Both moduli stacks carry universal families of curves. One can also define coarse moduli spaces representing isomorphism classes of smooth or stable curves.  These coarse moduli spaces were actually studied before the notion of moduli stack was invented.  In fact, the idea of a moduli stack  was invented by Deligne and Mumford in an attempt to prove the projectivity of the coarse moduli spaces.  In recent years, it has become apparent that the stack of curves is actually the more fundamental object.-->

上記のスタックは両方とも次元 3g−3 を持っているので、g > 1 のときは、安定なノードを持つ曲線は 3g−3 個のパラメータの値を選択することで完全に特定することができる。小さな種数では、それらの数を引くことにより、自己同型の滑らかな族の存在を考えに入れる必要がある。ちょうど、種数ゼロの複素曲線（リーマン球）があり、同型群は PGL(2) であるので、<math>\mathcal{M}_0</math> の次元は、

:dim(種数ゼロの曲線の空間) - dim(自己同型群)  = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

となる。同様に種数 1 の場合は、曲線の 1 次元の空間が存在するが、全てのそのような曲線は次元 1 の自己同型群を持っているので、スタック <math>\mathcal{M}_1</math> は次元 0 となる。g > 1 のときは、自己同型群は有限群でしかなく、自己同型群の次元は 0 であるので、粗いモジュライスタック空間は次元 3g-3 をもつ。結局、種数がゼロのときは、粗いモジュライ空間は次元が 0 であり、種数が 1 の曲線の粗いモジュライは次元が 1 となる。

n 個の点をマークした種数 g のノードを持つ曲線のモジュライスタックを考えることにより、問題を豊富にすることができる。そのようにマークされた曲線が安定であるとは、曲線の自己同型群のマークされた点が有限個と固定した部分群が有限群であることを言う。n 個の点をマークした種数 g の曲線の滑らか（もしくは安定）なモジュライスタックは、 <math>\mathcal{M}_{g,n}</math> (もしくは <math>\overline{\mathcal{M}}_{g,n}</math>) と書き、次元 3g−3+n と持つ。

特に興味を引く場合として、1つのマークした点を持つ種数 1 のモジュライスタック <math>\overline{\mathcal{M}}_{1,1}</math> がある。これは[[楕円曲線]]のスタックで、多くの[[モジュラ形式]]の研究の自然な原点となっており、このスタック上のバンドルの有理型切断となっている。
<!---Both stacks above have dimension 3''g''−3; hence a stable nodal curve can be completely specified by choosing the values of 3''g''−3 parameters, when ''g'' > 1. In lower genus, one must account for the presence of smooth families of automorphisms, by subtracting their number. There is exactly one complex curve of genus zero, the Riemann sphere, and its group of isomorphisms is PGL(2). Hence the dimension of <math>\mathcal{M}_0</math> is

:dim(space of genus zero curves) - dim(group of automorphisms)  = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

Likewise, in genus 1, there is a one-dimensional space of curves, but every such curve has a one-dimensional group of automorphisms. Hence the stack <math>\mathcal{M}_1</math> has dimension 0. The coarse moduli spaces have dimension 3''g''-3 as the stacks when ''g'' > 1 because the curves with genus g > 1 have only a finite group as its automorphism i.e. dim(group of automorphisms) = 0. Eventually, in genus zero the coarse moduli space has dimension zero, and in genus one, it has dimension one.

One can also enrich the problem by considering the moduli stack of genus ''g'' nodal curves with ''n'' marked points. Such marked curves are said to be stable if the subgroup of curve automorphisms which fix the marked points is finite. The resulting moduli stacks of smooth (or stable) genus ''g'' curves with ''n''-marked points are denoted <math>\mathcal{M}_{g,n}</math> (or <math>\overline{\mathcal{M}}_{g,n}</math>), and have dimension 3''g''−3+''n''.

A case of particular interest is the moduli stack <math>\overline{\mathcal{M}}_{1,1}</math> of genus 1 curves with one marked point.  This is the stack of [[elliptic curve]]s, and is the natural home of the much studied [[modular form]]s, which are meromorphic sections of bundles on this stack.-->

===多様体のモジュライ===
高次元では、代数多様体のモジュライは構成したり研究したりすることが難しくなる。例えば、上記の楕円曲線のモジュライの高次元の類似物は、[[アーベル多様体]]のモジュライ空間である。これは基礎となっている{{仮リンク|ジーゲルモジュラ形式|en|Siegel modular form}}(Siegel modular form)の理論の問題である。[[志村多様体]]も参照のこと。
<!---===Moduli of varieties===
In higher dimensions, moduli of algebraic varieties are more difficult to construct and study. For instance, the higher dimensional analogue of the moduli space of elliptic curves discussed above is the moduli space of abelian varieties. This is the problem underlying [[Siegel modular form]] theory. See also [[Shimura variety]].-->

===ベクトルバンドルのモジュライ===
別の重要なモジュライ問題に、決められた[[代数多様体]] X の上のランク n の[[ベクトルバンドル]]のモジュライスタック Vect<sub>n</sub>(X)（様々な部分スタック）の幾何学を理解することがある。このスタックは、X が 1次元のときに（特にランク n が 1 のときには、）最もよく研究されている。この場合には、粗いモジュライ空間は[[ピカール群#ピカールスキーム|ピカールスキーム]]となり、曲線のモジュライ空間のように、スタックが考案される以前に研究されていた。結局、ランク 1 で次数が 0 のバンドルの場合は、粗いモジュライの研究は、[[ヤコビ多様体]]の研究である。

[[物理学]]への応用の中で、ベクトルバンドルのモジュライの数と密接に関連する[[ファイバーバンドル|主ファイバーバンドル]]のモジュライの数の問題は、[[ゲージ理論]]の中で重要なことがわかった。{{fact|date=June 2013}}
<!---===Moduli of vector bundles===
Another important moduli problem is to understand the geometry of (various substacks of) the moduli stack Vect<sub>''n''</sub>(''X'') of rank ''n'' [[vector bundle]]s on a fixed [[algebraic variety]] ''X''. This stack has been most studied when ''X'' is one-dimensional, and especially when n equals one.  In this case, the coarse moduli space is the [[Picard scheme]], which like the moduli space of curves, was studied before stacks were invented.  Finally, when the bundles have rank 1 and degree zero, the study of the coarse moduli space is the study of the [[Jacobian variety]].

In applications to [[physics]], the number of moduli of vector bundles and the closely related problem of the number of moduli of [[Fiber bundle|principal G-bundles]] has been found to be significant in [[gauge theory]].{{fact|date=June 2013}}-->

==モジュライ空間を構成する方法==
モジュライ函手（あるいは、もっと一般的には{{仮リンク|グルーポイド|en|groupoid}}(groupoid)の中の{{仮リンク|ファイバー化されたカテゴリ|en|fibred category}}(fibred category)）のことばで、モジュライ問題の現代的な定式化とモジュライ空間の定義を行うことは、グロタンディーク(Grothendieck)(1960/61)にまで遡る。その中で彼は、例として複素解析幾何学の中で{{仮リンク|タイヒミューラー空間|en|Teichmüller space}}(Teichmüller space)を使い、一般的なフレームワークやアプローチや主要な問題を記述した。特に、話の中では、まず第一にモジュライ問題を'''剛性化'''することで、モジュライ空間を構成する一般的方法を述べた。

さらに詳しくは、モジュライ空間を分類する非自明な対象の自己同型の存在が、詳細モジュライ空間を持つことを不可能とする。しかし、もともとのデータに情報を付加し、付加した情報を髪して自己同型のみで同一視する方法をとって分類するという変形されたモジュライ問題を考えることがよくある。剛性化された情報をうまく選択すると、変形したモジュライ問題は、（詳細）モジュライ空間 T をもつことがあり、適当な[[ヒルベルトスキーム]](Hilbert scheme)や{{仮リンク|クオットスキーム|en|Quot scheme}}(Quot scheme)の部分スキームとして記述されることがよくある。剛性化している情報をさらに選ぶと、代数的構造群 G を持つ主バンドルと対応する。このように、剛性化された問題から元来の問題へ、G の作用による商をとることにより戻ることができ、モジュライ空間を構成する問題が （ある強い条件を課した上で）G の作用での T の商 T/G であるようなスキーム（もしくはより一般的には空間）を見つける問題となる。一般に最後の問題は解をもたないが、しかし、1965年に[[デヴィッド・マンフォード|ダヴィッド・マンフォード]](David Mumford)により1965年に開発された画期的な[[幾何学的不変式論]]で指摘され、適当な条件の下で、実際、そのような商が存在することが示された。
<!---==Methods for constructing moduli spaces==
The modern formulation of moduli problems and definition of moduli spaces in terms of the moduli functors (or more generally the [[fibred category|categories fibred]] in [[groupoid]]s), and spaces (almost) representing them, dates back to Grothendieck (1960/61), in which he described the general framework, approaches and main problems using [[Teichmüller space]]s in complex analytical geometry as an example. The talks in particular describe the general method of constructing moduli spaces by first ''rigidifying'' the moduli problem under consideration.

More precisely, the existence of non-trivial automorphisms of the objects being classified makes it impossible to have a fine moduli space. However, it is often possible to consider a modified moduli problem of classifying the original objects together with additional data, chosen in such a way that the identity is the only automorphism respecting also the additional data. With a suitable choice of the rigidifying data, the modified moduli problem will have a (fine) moduli space ''T'', often described as a subscheme of a suitable [[Hilbert scheme]] or [[Quot scheme]]. The rigidifying data is moreover chosen so that it corresponds to a principal bundle with an algebraic structure group ''G''. Thus one can move back from the rigidified problem to the original by taking quotient by the action of ''G'', and the problem of constructing the moduli space becomes that of finding a scheme (or more general space) that is (in a suitably strong sense) the quotient  ''T''/''G'' of ''T'' by the action of ''G''. The last problem in general does not admit a solution; however, it is addressed by the groundbreaking  [[geometric invariant theory]] (GIT), developed by [[David Mumford]] in 1965, which shows that under suitable conditions the quotient indeed exists.-->

これがどのようにして達成されたかを見るため、種数が g > 2 の滑らかな曲線をパラメトライズする問題を考える。次数 d > 2g である{{仮リンク|完備一次系|en|complete linear system}}(complete linear system)<ref>完備一次系とは、コンパクトリーマン面 X 上の因子 D と線形同値な因子で効果的（正）(effective)なもの全体の集合を |D| と書き、これを因子 D の定める完備一次系と呼ぶ。</ref>は、射影空間 '''P'''<sup>d−g</sup> の 1次元部分スキームに同値である。結局、（ある条件を満たす）滑らかな曲線と一次系は、十分に高い次元の射影空間のヒルベルトスキームに埋め込めるであろうから、このヒルベルトスキームの中の軌跡 H は一次系の要素を変換する PGL(n) の作用をもつ。滑らかな曲線のモジュライ空間は、従って、射影空間の一次系の群による H の商として再現される。

別の一般的なアプローチとしては、最初に、[[ミハイル・アルティン]](Michael Artin)によるものがある。彼のアイデアは、分類された種類の対象から始め、それの{{仮リンク|変形理論|en|deformation theory}}(deformation theory)を研究する。このことは、最初[[無限小]](infinitesimal)を構成し、それから'''予備表現可能定理'''(prorepresentability theorem)を示し、これらを{{仮リンク|形式スキーム|en|formal scheme}}(formal scheme)の基底の上の対象へ写像する。次に[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexandre Grothendieck)の{{仮リンク|グロタンディークの存在定理|en|Grothendieck existence theorem}}が完備局所環である基底の上の求めていた対象をもたらす。この対象は、{{仮リンク|アルティンの近似定理|en|Artin's approximation theorem}}(Artin's approximation theorem)を通し、有限生成環上の対象により近似できる。この後者の[[環のスペクトル]]は、求めているモジュライ空間のある種の座標チャートとみなすことができる。これらのチャートを互いに貼り合わせて、空間を覆うことができるが、スペクトルの合併からモジュライ空間への写像は、一般には、多 対 1 の写像となる。従って、前者の上に[[同値関係]]を定義する。本質的にはもし両者が互いに同型な対象であれば 2点は同値である。これがスキームと同値関係をもたらし、いつもスキームとなるとは限らないが、{{仮リンク|代数的空間|en|algebraic space}}（実際は、注意深くすると、[[代数的スタック]]）を与える。
<!---To see how this might work, consider the problem of parametrizing smooth curves of genus ''g'' > 2. A smooth curve together with a [[complete linear system]] of degree ''d'' > 2''g'' is equivalent to a closed one dimensional subscheme of the projective space '''P'''<sup>''d−g''</sup>. Consequently, the moduli space of smooth curves and linear systems (satisfying certain criteria) may be embedded in the Hilbert scheme of a sufficiently high-dimensional projective space. This locus ''H'' in the Hilbert scheme has an action of PGL(''n'') which mixes the elements of the linear system; consequently, the moduli space of smooth curves is then recovered as the quotient of ''H'' by the projective general linear group.

Another general approach is primarily associated with [[Michael Artin]].  Here the idea is to start with any object of the kind to be classified and study its [[deformation theory]].  This means first constructing [[infinitesimal]] deformations, then appealing to '''prorepresentability''' theorems to put these together into an object over a [[formal scheme|formal]] base.  Next an appeal to [[Alexandre Grothendieck|Grothendieck's]] [[Grothendieck existence theorem|formal existence theorem]] provides an object of the desired kind over a base which is a complete local ring.  This object can be approximated via [[Artin's approximation theorem]] by an object defined over a finitely generated ring.  The [[spectrum of a ring|spectrum]] of this latter ring can then be viewed as giving a kind of coordinate chart on the desired moduli space. By gluing together enough of these charts, we can cover the space, but the map from our union of spectra to the moduli space will in general be many to one.  We therefore define an [[equivalence relation]] on the former; essentially, two points are equivalent if the objects over each are isomorphic. This gives a scheme and an equivalence relation, which is enough to define an [[algebraic space]] (actually an [[algebraic stack]] if we are being careful) if not always a scheme.-->

==物理学では==
{{details|{{仮リンク|モジュライ (物理学)|en|moduli (physics)}} }}
モジュライ空間という用語は、時々[[物理学]]でも使われ、[[スカラー場]]の[[真空期待値]]のモジュライ空間を特別に意味したり、可能な{{仮リンク|弦の背景|en|string background}}(string background)のモジュライ空間を意味したりする。

モジュライ空間は、物理では[[位相的場の理論|コホモロジカルな場の理論]]の中にも現れ、そこでは[[経路積分|ファインマン経路積分]]を使い様々な代数的なモジュライ空間の[[交点数 (代数幾何学)|交点数]]を計算する。
<!---==In Physics==
{{details|moduli (physics)}}
The term moduli space is sometimes used in [[physics]] to refer specifically to the moduli space of [[vacuum expectation value]]s of a set of [[scalar field]]s, or to the moduli space of possible [[string background]]s.

Moduli spaces also appear in physics in [[topological field theory|cohomological field theory]], where one can use [[Feynman path integral]]s to compute the [[intersection number]]s of various algebraic moduli spaces.-->

==脚注==
<references/>

==参考文献==
{{reflist}}

*{{Cite journal
  | last = Grothendieck
  | first = Alexander
  | author-link = Alexander Grothendieck
  | last2 =
  | first2 =
  | author2-link =
  | title = Techniques de construction en géométrie analytique. I. Description axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes.
  | place = Paris
  | publisher = Secrétariat Mathématique
  | year = 1960/1961
  | journal = Séminaire Henri Cartan 13 no. 1, Exposés No. 7 and 8
  | volume =
  | url = http://archive.numdam.org/article/SHC_1960-1961__13_1_A4_0.pdf
  | doi =
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  | postscript = <!--None--> }}

* [[David Mumford|Mumford, David]], ''Geometric invariant theory''. [[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]], Neue Folge, Band 34 [[Springer-Verlag]], Berlin-New York 1965 vi+145 pp {{MathSciNet|id=0214602}}

*  Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. ''Geometric invariant theory''. Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Results in Mathematics and Related Areas (2)), 34. [[Springer-Verlag]], Berlin, 1994. xiv+292 pp. {{MathSciNet|id=1304906}} ISBN 3-540-56963-4

*   Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, {{doi|10.4171/029}}, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826

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*{{cite journal
  | last = Deligne
  | first = Pierre
  | authorlink = Pierre Deligne
  |author2=Mumford, David
  | title = The irreducibility of the space of curves of given genus
  | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
  | volume = 36
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  | pages = 75–109
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*{{cite book
  | last = Harris
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  |author2=Morrison, Ian
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*{{cite book
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*{{cite book
  | last = Faltings
  | first = Gerd
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  | isbn =3-540-52015-5 }}

*{{cite book
  | last = Viehweg
  | first = Eckart
  | authorlink = Eckart Viehweg
  | title = Quasi-Projective Moduli for Polarized Manifolds
  | publisher = Springer Verlag
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  | isbn =3-540-59255-5 }}

*{{cite journal
  | last = Simpson
  | first = Carlos
  | authorlink =
  | title = Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety I
  | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
  | volume = 79
  | issue =
  | pages = 47–129
  | publisher =
  | location = Paris
  | year = 1994
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  | accessdate = }}

== 外部リンク ==
* J. Lurie, [http://math.harvard.edu/~lurie/papers/moduli.pdf Moduli Problems for Ring Spectra]

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:もしゆらいくうかん}}
[[Category:モジュライ理論]]
[[Category:不変式論]]
[[Category:数学に関する記事]]