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{{要改訳}}
'''モジュラー形式'''は、[[モジュラー群]]という大きな[[群 (数学)|群]]についての対称性をもつ[[上半平面]]上の[[解析関数|複素解析的関数]]である。歴史的には[[数論]]で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]や[[弦理論]]などの他分野にも現れる。

'''モジュラー関数'''（{{lang-en-short|modular function}}）<ref group="note">: ここでいうモジュラー函数以外にも、「モジュラー函数」という術語はいくつか別の意味で用いられることがあるので注意が必要である。例えば、[[ハール測度]]の理論に現れる群の共軛作用から定まる函数 &Delta;(''g'') もモジュラー函数と呼ばれることがあるが、別な概念である。</ref>は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、[[直線束]]の切断としてではなく、モジュラー領域上の関数として理解することができる。また、「モジュラー関数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で ''f''(''z'') が[[正則函数|正則性]]を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー関数は無限遠点では[[有理型函数|有理型]]である。

モジュラー形式論は、もっと一般の場合である'''[[保型形式]]論'''の特別な場合であり、従って現在では、[[離散群]]の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。

== SL<sub>2</sub>(Z) のモジュラー形式 ==
=== 標準的な定義 ===
'''[[モジュラー群]]'''とは次の群のことをいう。
:<math>SL(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )\right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math>
正の整数 k にたいし、重さ ''k'' のモジュラー形式とは、次の 3つの条件を満たす[[上半平面]] '''H''' = {''z'' &isin; '''C''', [[虚部|Im]](''z'') > 0} 上の[[複素数]]値関数 ''f'' である。
: (1) ''f'' は '''H''' 上の[[正則函数|正則関数]]である。
: (2) '''H''' のすべての ''z'' と上記の SL(2,'''Z''') のすべての行列に対し、

::<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>

:が成立する。
: (3) ''f'' は、{{math|''z'' → [[虚数単位|''i'']]∞}} として正則である。

注意：
* 奇数の ''k'' に対し、[[零写像|零関数]]しか第二の条件を満たさないことに注意する。
* 第三の条件は ''f'' が「カスプにおいて正則である」ということもできる。用語は以下で説明する。
* 第二の条件は、行列 <math>S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )</math> と <math>T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math> で考えると、
::<math>f(-1/z) = z^k f(z)\,</math>
:と
::<math>f(z+1) = f(z)\,</math>
:であることが分かる。''S'' と ''T'' はモジュラー群 SL(2,'''Z''') を[[群の生成元|生成する]]ので、上の第二の条件はこれら 2つの条件と同値である。
*<math>f(z+1) = f(z)</math>
:であるので、モジュラー形式は周期 1 をもつ[[周期函数|周期関数]]であり、従って[[フーリエ級数|フーリエ級数展開]]を持つ。

=== 格子上の関数としての扱い ===
重さ k のモジュラー形式は複素数全体の成す集合 '''C''' における[[周期格子|格子]] &Lambda; の集合上の関数 F で条件

# 格子 &lang;&alpha;, z&rang; が定数 &alpha; と変数 z で生成されるならば、F(&Lambda;) は z の[[解析函数|解析関数]]である。
# &alpha; が 0 でない[[複素数]]で、&alpha;&Lambda; を &Lambda; の各元に &alpha; を掛けることによって得られる格子とするとき、F(&alpha;&Lambda;) = &alpha;<sup>&minus;k</sup>F(&Lambda;) を満たす。
# F(&Lambda;) の[[絶対値]]は、 &Lambda; の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。

をみたすものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件 2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。条件 3 をみたす重さ 0 のモジュラー形式は定数関数のみである。条件 3 を外して、関数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例として'''モジュラー関数'''と呼ばれるものを考 えることができる。

このように定めたモジュラー形式 F を複素一変数の関数に変換するのは簡単で、z = x + iy で  y &gt; 0 かつ f(z) = F(&lang;1, z&rang;) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。前節の条件 2 はここでは、（[[モジュラー群]]の作用として）整数 a, b, c, d で ad &minus; bc = 1 を満たすものに対する[[函数等式|関数等式]]

:<math>f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>

となる。たとえば

:<math>f(-1/z) = F(\langle 1,-1/z\rangle) = z^k F(\langle z,-1\rangle) = z^k F(\langle 1,z\rangle) = z^k f(z)</math>

などである。

=== モジュラー曲線上の関数としての扱い ===
'''C''' の格子 &Lambda; は '''C''' 上の[[楕円曲線]] '''C'''/&Lambda; を決定する。上で格子の集合上の関数とみなせることを説明したが、同じように楕円曲線の[[楕円函数|集合の上の関数]]ともみなすことができる。このようにして、モジュラー形式は[[モジュラー曲線]]の上の[[直線束]]の切断と考えることができる。たとえば、楕円曲線の [[j-不変量]]はモジュラー曲線の有理関数体の生成元である。

直線束の切断としての解釈は次のように説明できる。ベクトル空間 V にたいし[[射影空間]] P(V) 上の関数を考える。V 上の関数 F で V の元 v &ne; 0 の成分の多項式であって、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c についてみたすようなものを考えると、そのようなものは定数関数しか存在しない。条件をゆるめて多項式の代わりに分母をつけて有理関数を考えれば、F として同じ次数のふたつの[[斉次多項式]]の比とすることができる。あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = c<sup>k</sup>F(v) と緩めれば、そのような関数は k 次の斉次多項式である。斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の関数ではないのだから、P(V) の関数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。これは[[代数幾何学]]において[[層 (数学)|層]]（この場合は[[ベクトル束|直線束]]）の切断を考える事に相当する。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。


== 例 ==

偶数 k &gt; 2 に対して E<sub>k</sub>(&Lambda;) を、
:<math>E_k(\Lambda) = \sum_{\lambda\in\Lambda-0}\lambda^{-k}</math>
と定義する。これは[[アイゼンシュタイン級数]]とよばれる重さ ''k'' のモジュラー形式である。

条件 ''k'' &gt; 2 は収束のために必要である。''k'' が奇数のとき &lambda;<sup>&minus;k</sup> と (&minus;&lambda;)<sup>&minus;k</sup> とが互いに打ち消しあい、級数は 0 になる。

'''R'''<sup>''n''</sup> の'''{{仮リンク|偶ユニモジュラー格子|en|unimodular lattice}}(even unimodular lattice)''' L とは、その基底をならべてできる行列の行列式が 1 で、L の元の長さの平方がすべて偶数であるという条件を満たす格子である。たとえば'''[[テータ函数|テータ関数]]'''
:<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math>
は、[[ポアソン和公式]]により重さ n/2 のモジュラー形式である。偶ユニモジュラー格子を構成するのは容易ではないが、次のような構成法がある。n を 8 で割れる整数とし、'''R'''<sup>n</sup> のベクトル v で、 2v の各成分が全て偶数あるいは全て奇数であり、かつ v の成分の和が偶数、となるようなもの全てを考える。このような格子を L<sub>n</sub> とする。n = 8 のとき、これは[[E8 (数学)| ''E''<sub>8</sub>]] と呼ばれる[[ルート系]]のルートによって張られる格子である。
格子 L<sub>8</sub> &times; L<sub>8</sub> と L<sub>16</sub> は相似ではないが、重さ 8 のモジュラー形式はスカラー倍の違いを除いてただひとつしかないため、

:<math>\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z)</math>

となることがわかる。[[ジョン・ウィラード・ミルナー|ジョン・ミルナー]]は '''R'''<sup>16</sup> をこれらふたつの格子で割って得られる 16-次元[[トーラス]]は互いに{{仮リンク|等スペクトル|en|isospectral}}だが[[等長写像|等長]]でない[[コンパクト空間|コンパクト]][[リーマン多様体]]の例を与えることを注意している。（{{仮リンク|太鼓の音を聞いて形がわかるか|en|Hearing the shape of a drum}}(Hearing the shape of a drum)を参照）

== モジュラー関数 ==
複素変数複素数値の関数 f が'''モジュラー'''である、あるいは'''モジュラー関数'''とは、以下の条件

# ''f'' は[[上半平面]] '''H''' 上で[[有理型関数|有理型]]である; 
# [[モジュラー群]] &Gamma; に属する任意の行列 M に対して f(M&tau;) = f(&tau;) を満たす;
# f の[[フーリエ級数]]は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>f(\tau) = \sum_{n=-m}^\infty a(n) e^{2i\pi n\tau}</math></div>の形に表され、これは下に有界、つまり e<sup>2i&pi;&tau;</sup>の[[ローラン多項式]]であり、したがって尖点においても有理型である

を満たすものを言う。任意のモジュラー関数が[[j-不変量|クラインの絶対不変量]] j (&tau;) の[[有理函数|有理関数]]として表され、また j (&tau;) の有理関数がモジュラー関数となることが示せる。さらに、任意の[[解析函数|解析的]]モジュラー関数は'''モジュラー形式'''となるが、逆は必ずしも成り立たないことも示される。モジュラー関数 f が恒等的に 0 でないならば、[[基本領域]] R<sub>&Gamma;</sub> の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]における f の[[零点]]の個数と[[極 (複素解析)|極]]の個数とは一致する。

== 一般レベルのモジュラー形式 ==
上で定義したモジュラー形式の <math>z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} </math>  に関する ''f'' の振る舞いについての条件を群 SL<sub>2</sub>('''Z''') にたいしてではなく、その適切な部分群の元にのみついて課すことにより、より一般のモジュラー形式を定義できる。

==リーマン面<math>\Gamma \backslash H</math><sup>*</sup>==
Γ を SL(2,'''Z''') の部分群で有限な[[部分群の指数|指数]]を持つとすると、そのような群 Γ は、SL(2,'''Z''') と同様に上半平面 '''H''' に[[群作用|作用]]する。[[商位相空間]]<math>\Gamma \backslash H</math> は[[ハウスドルフ空間]]であることが示される。この空間は必ずしもコンパクトでないが、'''カスプ（尖点）'''と呼ばれる有限個の点を加えてコンパクト化できる。カスプは '''H''' の境界を実軸とみなしたときにそのうちで有理数 '''Q''' に対応する点もしくは ∞ であり、その点を固定する Γ の放物元（[[跡 (線型代数学)|トレース]]が ±2 である行列）が存在するような点をさす。<ref>行列 <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> は、∞ を a/c へ移す。</ref>これをつけ加えてコンパクトな位相空間 <math>\Gamma \backslash H</math><sup>*</sup> を考える事ができる。この商空間に[[リーマン面]]の構造を与えることができ、<math>\Gamma \backslash H</math> 上の正則関数や有理型関数を定義することができる。

重要な例として、正整数 ''N'' に対し[[合同部分群]] &Gamma;<sub>0</sub>(''N'') は

:<math>\Gamma_0(N) = \left\{ 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) :
c \equiv 0 \pmod{N} \right\}</math>

と定義される。また ''k'' を正整数 として、'''重さ''' ''k'' の、'''レベル''' {{lang|en|(''level'')}} ''N'' （あるいはレベル群 &Gamma;<sub>0</sub>(''N'')）を持つ'''モジュラー形式''' {{lang|en|(''modular form'')}} とは[[上半平面]]上で[[正則函数|正則]]な関数 ''f'' であって、任意の

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)</math>

と[[上半平面]]上の任意の点 ''z'' に対して

:<math>f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>

を満たし、かつカスプ上で ''f'' が有理型となるようなものをいう。ここに「カスプにおいて有理型」であるとは、虚軸の正部分に沿った ''z'' &rarr; ''i''&thinsp;&infin; なる極限においてモジュラー形式が有理型であることをいう。

''f''(''z'' + 1) = ''f''(''z'') すなわち、モジュラー形式が周期 1 を持つ周期関数であり、したがってフーリエ級数展開を持つことに注意。

===定義===
Γ の重さ k のモジュラー形式とは、'''H''' 上の関数であり、'''H''' 上と Γ の全てのカスプで正則であり Γ の全ての行列について関数方程式を満たすものを言う。繰り返しになるが、全てのカスプでゼロとなるモジュラー形式を Γ の'''[[カスプ形式]]'''という（尖点形式ともいう）。ウェイト k のモジュラー形式とカスプ形式 '''C'''-ベクトル空間をそれぞれ、M<sub>k</sub>(Γ) と S<sub>k</sub>(Γ) で表す。同様に、<math>\Gamma \backslash H</math><sup>*</sup> の上の有理型関数を Γ のモジュラー関数と呼ぶ。Γ = Γ<sub>0</sub>(N) の場合は、モジュラー/カスプ形式とも呼ばれるし、また'''レベル''' N の関数とも呼ばれる。Γ = Γ(1) = SL<sub>2</sub>('''Z''') のときには、前に述べたモジュラー形式の定義に一致する。

===結果===
リーマン面の理論を <math>\Gamma \backslash H</math><sup>*</sup> へ適用すると、さらにモジュラー形式とモジュラー関数についての深い情報が得られる。例えば、空間 M<sub>k</sub>(Γ) と S<sub>k</sub>(Γ) は有限次元であり、これらの次元は[[リーマン・ロッホの定理]]のおかげで、'''H''' へ作用する Γ-作用の幾何学のことばで、次のように計算することができる。<ref>{{Citation | last1=Shimura | first1=Goro | title=Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions | publisher=Iwanami Shoten | location=Tokyo | series=Publications of the Mathematical Society of Japan | year=1971 | volume=11}}, Theorem 2.33, Proposition 2.26</ref> 
:<math>\dim_{\mathbf C} M_k(SL(2,\mathbf Z)) = 
\left \{ \begin{array}{ll} \lfloor k/12 \rfloor & k \equiv 2 \pmod{12} \\
 \lfloor k/12 \rfloor + 1 & \text{else}
\end{array} \right.</math>
ここに、<math>\lfloor - \rfloor</math> は、[[床関数と天井関数|床関数]]を表す。

モジュラー関数全体は、リーマン面の[[代数多様体の函数体|関数体]]を構成するので、（'''C''' 上の）[[超越次数]] 1 の体を構成する。モジュラー関数 ''f'' が恒等的にゼロでないとすると、''f'' のゼロ点の数は、{{仮リンク|基本領域|en|Fundamental domain}}(fundamental region) '''H'''<sub>Γ</sub> の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]の中の f の[[極 (複素解析)|極]]の数に等しい。レベル N (N ≥ 1) のモジュラー関数の体は、関数 j (z) と j (Nz) により生成されることを示すことができる。<ref>{{Citation|author=Milne|first=James|title=Modular Functions and Modular Forms|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/MF.pdf|year=2010}}, Theorem 6.1.</ref>
<!---===Consequences===
The theory of Riemann surfaces can be applied to ''G''\'''H'''<sup>∗</sup> to obtain further information about modular forms and functions. For example, the spaces ''M''<sub>''k''</sub>(''G'') and ''S''<sub>''k''</sub>(''G'') are finite-dimensional, and their dimensions can be computed thanks to the [[Riemann-Roch theorem]] in terms of the geometry of the ''G''-action on '''H'''.<ref>{{Citation | last1=Shimura | first1=Goro | title=Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions | publisher=Iwanami Shoten | location=Tokyo | series=Publications of the Mathematical Society of Japan | year=1971 | volume=11}}, Theorem 2.33, Proposition 2.26</ref> For example, 
:<math>\text{dim}_{\mathbf C} M_k(SL(2,\mathbf Z)) = 
\left \{ \begin{array}{ll} \lfloor k/12 \rfloor & k \equiv 2 \pmod{12} \\
 \lfloor k/12 \rfloor + 1 & \text{else}
\end{array} \right.</math>
where <math>\lfloor - \rfloor</math> denotes the [[floor function]].

The modular functions constitute the [[function field of an algebraic variety|field of functions]] of the Riemann surface, and hence form a field of [[transcendence degree]] one (over '''C'''). If a modular function ''f'' is not identically 0, then it can be shown that the number of zeroes of ''f'' is equal to the number of [[pole (complex analysis)|pole]]s of ''f'' in the [[closure (mathematics)|closure]] of the [[fundamental region]] ''R''<sub>Γ</sub>.It can be shown that the field of modular function of level ''N'' (''N'' ≥ 1) is generated by the functions ''j''(''z'') and ''j''(''Nz'').<ref>{{Citation|author=Milne|first=James|title=Modular Functions and Modular Forms|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/MF.pdf|year=2010}}, Theorem 6.1.</ref>-->
<!---===Line bundles===
The situation can be profitably compared to that which arises in the search for functions on the [[projective space]] P(''V''): in that setting, one would ideally like functions ''F'' on the vector space ''V'' which are polynomial in the coordinates of ''v''&nbsp;≠&nbsp;0 in ''V'' and satisfy the equation ''F''(''cv'')&nbsp;=&nbsp;''F''(''v'') for all non-zero ''c''. Unfortunately, the only such functions are constants. If we allow denominators (rational functions instead of polynomials), we can let ''F'' be the ratio of two [[homogeneous function|homogeneous]] polynomials of the same degree. Alternatively, we can stick with polynomials and loosen the dependence on ''c'', letting ''F''(''cv'')&nbsp;=&nbsp;''c''<sup>''k''</sup>''F''(''v''). The solutions are then the homogeneous polynomials of degree&nbsp;''k''. On the one hand, these form a finite dimensional vector space for each&nbsp;''k'', and on the other, if we let ''k'' vary, we can find the numerators and denominators for constructing all the rational functions which are really functions on the underlying projective space&nbsp;P(''V'').

One might ask, since the homogeneous polynomials are not really functions on P(''V''), what are they, geometrically speaking? The [[algebraic geometry|algebro-geometric]] answer is that they are ''sections'' of a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] (one could also say a [[vector bundle|line bundle]] in this case). The situation with modular forms is precisely analogous.

Modular forms can also be profitably approached from this geometric direction, as sections of line bundles on the moduli space of elliptic curves.-->

=== ''q''-展開 ===
モジュラー形式の ''q''-'''展開''' {{lang|en|(''q''-''expansion'')}}<ref group="note">[http://www.msri.org/about/computing/docs/magma/html/text600.htm Elliptic and Modular Functions]</ref> はカスプにおけるローラン級数、あるいは同じことだが（[[ノーム (数学)|ノーム]](nome)の平方）''q'' = exp(2&pi;''iz'') の[[ローラン級数]]として表される[[フーリエ級数]]である。実際、複素関数 "exp" はガウス平面上では消えないので ''q'' &ne; 0 だが、実軸の負の部分に沿って ''w'' &rarr; &minus;&infin; とした極限で exp(''w'') &rarr; 0 なので、2&pi;''iz'' &rarr; &minus;&infin; すなわち虚軸の正の部分に沿って ''z'' &rarr; ''i''&thinsp;&infin; とした極限で ''q'' &rarr; 0 である。したがって、''q''-展開はカスプにおけるローラン級数になっている。

「カスプにおいて有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって ''q''-展開
:<math>f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.</math>
は下に有界かつ ''q'' = 0 において有理型である。ここに、係数 ''c''<sub>''n''</sub> は ''f'' のフーリエ係数であり、整数 ''m'' は ''f'' の''' ''i''&thinsp;&infin; における極の位数'''である。

=== 整形式とカスプ形式 ===
モジュラー形式 f がカスプにおいても[[正則函数|正則]]（つまり q = 0 において極を持たない）ならば、'''整モジュラー形式''' {{lang|en|(entire modular form)}} であるという。また f がカスプにおいて有理型だが正則ではないとき、'''非整モジュラー形式''' {{lang|en|(non-entire modular form)}} という。たとえば、[[j-不変量]]はウェイト 0 の非整モジュラー形式であり、i&thinsp;&infin; において一位の極を持つ。

モジュラー形式 f が整かつ q = 0 で消えている（したがって c<sub>0</sub> = 0）ならば、f は'''[[尖点形式|カスプ形式]]'''と呼ぶ。このとき、c<sub>n</sub> &ne; 0 なる最小の n は i&thinsp;&infin; における f の'''零点の位数'''である。

=== 保型因子とその他の一般化 ===
ほかによくある一般化としては、ウェイト ''k'' が整数で無い場合を許すとか、関数等式に &epsilon;(''a'', ''b'', ''c'', ''d'') なる因子で |&epsilon;(''a'', ''b'', ''c'', ''d'')| = 1 となるようなものが現れるのを許して
:<math>
f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).
</math>

とするなどである。ここで &epsilon;(''a'', ''b'', ''c'', ''d'')(''cz'' + ''d'')<sup>''k''</sup> の形の関数は[[モジュラー形式の保型因子]]として知られる。

保型因子を許せば、[[デデキントのイータ関数]]のような関数もウェイト 1/2 のモジュラー形式として理論の範疇に入る。そして例えば、&chi; が ''N'' を法とする [[ディリクレ指標]]とすれば、ウェイト ''k'' でレベル ''N'' のディリクレ指標 &chi; を指標としてもつモジュラー形式とは、[[上半平面]]上で正則な関数 ''f'' で任意の 
:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)</math>
と上半平面上の点 ''z'' について
:<math>f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \chi(d)(cz+d)^k f(z)</math>

を満足し、かつ任意のカスプ上で正則となるものをいう。これが任意のカスプ上で消えているなばらカスプ形式と呼ぶのは同様である。
<!--==Miscellaneous==
===Entire forms===
If ''f'' is [[holomorphic]] at the cusp (has no pole at ''q''&nbsp;=&nbsp;0), it is called an '''entire modular form'''.

If ''f'' is meromorphic but not holomorphic at the cusp, it is called a '''non-entire modular form'''. For example, the [[j-invariant]] is a non-entire modular form of weight 0, and has a simple pole at&nbsp;i∞.

===Automorphic factors and other generalizations===
Other common generalizations allow the weight ''k'' to not be an integer, and allow a multiplier <math>\varepsilon(a,b,c,d)</math> with <math>\left|\varepsilon(a,b,c,d)\right|=1</math> to appear in the transformation, so that

:<math>f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).</math>

Functions of the form <math>\varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k</math> are known as [[automorphic factor]]s.

Functions such as the [[Dedekind eta function]], a modular form of weight 1/2, may be encompassed by the theory by allowing automorphic factors. Thus, for example, let χ be a [[Dirichlet character]] mod ''N''. A modular form of weight ''k'', level ''N'' (or level group <math>\Gamma_0(N)</math>) with '''nebentypus''' χ is a [[holomorphic function]] ''f'' on the [[upper half-plane]] such that for any

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)</math>

and any ''z'' in the upper half-plane, we have

:<math>f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \chi(d)(cz+d)^k f(z)</math>

and ''f'' is [[holomorphic]] at all the [[cusp form|cusps]]; when the form vanishes at all cusps, it is called a cusp form.-->

デテキント・イータ関数は、
:<math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n),\ q = e^{2\pi i z}</math>
と定義され、{{仮リンク|モジュラー判別式|en|modular discriminant}} &Delta;(z) = &eta;(z)<sup>24</sup> はウェイト 12 のモジュラー形式である。この 24 という数は、次元 24 をもつ{{仮リンク|リーチ格子|en|Leech lattice}} に関係する。有名な[[ラマヌジャン・ピーターソン予想|ラマヌジャン予想]]は、任意の素数 p に対して q<sup>p</sup> の係数は、絶対値 2p<sup>11/2</sup> 以下であることを主張し、[[ピエール・ドリーニュ]]によって[[ヴェイユ予想]]に関する研究の結果より、解決された。

二番目と三番目の例はモジュラー形式と数論での、二次形式による整数の表現や[[分割関数]]<!--リンク先が異なるが存在しないのでやむなしか-->のような古典的な問題との関連に手がかりを与える。[[ヘッケ作用素]]の理論は、モジュラー形式と数論との極めて重大な概念的つながりを提供し、また、モジュラー形式論と[[表現論]]との関連も与える。
<!---The [[Dedekind eta function]] is defined as

:<math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n),\ q = e^{2\pi i z}.</math>

Then the [[modular discriminant]] Δ(''z'')&nbsp;=&nbsp;η(''z'')<sup>24</sup> is a modular form of weight 12. The presence of [[24 (number)|24]] can be connected to the [[Leech lattice]], which has 24 dimensions. [[Ramanujan conjecture|A celebrated conjecture]] of [[Ramanujan]] asserted that the ''q''<sup>''p''</sup> coefficient for any prime ''p'' has absolute value ≤2''p''<sup>11/2</sup>. This was settled by [[Pierre Deligne]] as a result of his work on the [[Weil conjectures]].

The second and third examples give some hint of the connection between modular forms and classical questions in number theory, such as representation of integers by [[quadratic form]]s and the [[Partition function (number theory)|partition function]]. The crucial conceptual link between modular forms and number theory are furnished by the
theory of [[Hecke operator]]s, which also gives the link between the theory of modular forms and [[representation theory]].-->

== 一般化 ==
モジュラー形式の（上で述べたものの更なる）一般化としては、いくつかの概念が存在する。複素解析的であるという仮定は強い仮定であるので、一般化に際しては落とすことになる。

'''[[マース形式]]'''は、[[ラプラス作用素]]の[[実解析函数|実解析的]][[固有函数|固有関数]]だが、[[正則函数|正則]]でない場合をいう。弱マース形式の正則部分は、本質的にラマヌジャンの{{仮リンク|モックテータ函数|en|Mock modular form}} となることがわかる。マース形式に作用する群として ''SL''<sub>2</sub>('''Z''') の部分群でないようなものを考えることはできない。  

'''{{仮リンク|ヒルベルト・モジュラー形式|en|Hilbert modular form}}'''は、いずれも上半平面に属する ''n'' 個の複素変数をもつ関数で、[[総実体|総実代数体]]を成分に持つ 2 &times; 2 行列に対してモジュラー関係式を満足するものである。  

'''{{仮リンク|ジーゲル・モジュラー形式|en|Siegel modular form}}'''は、本項で述べたモジュラー形式が ''SL''<sub>2</sub>('''R''') に対応付けられるものであるというのと同じ意味で、巨大な[[斜交群]]に対応付けられるものである。別な言い方をすれば、モジュラー形式が楕円曲線に関連付けられる（このことを強調するために楕円モジュラー形式と呼ばれることがある）ものであるというのと同じ意味で、ジーゲル・モジュラー形式は[[アーベル多様体]]に関連付けられるものである。

'''{{仮リンク|ヤコビ形式|en|Jacobi form}}'''は、モジュラー形式と楕円関数とを混ぜたものである。そのような関数の例は[[テータ函数|ヤコビのテータ関数]]と種数 2 のジーゲル・モジュラー形式のフーリエ係数という非常に古典的なものだが、ヤコビ形式が通常のモジュラー形式論と非常に類似した算術理論を持つという知見が得られたのは比較的最近になってからのことである。

'''[[保型形式]]'''はモジュラー形式の概念を一般の[[リー群]]に対して拡張したものである。

== 歴史 ==
モジュラー形式論は、4つの段階を経て発展してきた。はじめは、19世紀前半の[[楕円函数|楕円関数]]論に繋がる部分である。その後[[フェリックス・クライン]]らによって、19世紀の終わりにかけて（一変数の）保型形式の概念が理解されるようになり、[[エーリッヒ・ヘッケ]]によって1925年頃から、また1960年代に、数論からの需要、とくに（かつて「[[谷山・志村予想]]」と呼ばれた）[[モジュラー性定理]]の定式化において、モジュラー形式の深い関わりが明らかにされた。 

体系的な用語としての「モジュラー形式」は、ヘッケによるものである。
<!--==History==
The theory of modular forms was developed in four periods: first in connection with the theory of [[elliptic function]]s, in the first part of the nineteenth century; then by [[Felix Klein]] and others towards the end of the nineteenth century as the automorphic form concept became understood (for one variable); then by [[Erich Hecke]] from about 1925; and then in the 1960s, as the needs of number theory and the formulation of the [[modularity theorem]] in particular made it clear that modular forms are deeply implicated.

The term '''''modular form''''', as a systematic description, is usually attributed to Hecke.-->
== 脚注 ==
<div class="references-small"><references group="note" /></div>
<references/>

== 参考文献 ==
* [[Jean-Pierre Serre]], ''A Course in Arithmetic''. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. ''Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms''.
* Walter L. Baily　Jr.: ''Introductory Lectures on Automorphic Forms'', （Publications of the Mathematical Society of Japan）, 岩波書店、ISBN 978-4-00-009750-5 (1973年2月26日)
* [[Tom M. Apostol]], ''Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory'',2nd Ed. (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
* [[Goro Shimura]], ''Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions''. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. ''Provides a more advanced treatment.''
* {{citation
 | last = Gelbart | first = Stephen S. | authorlink = Stephen Gelbart
 | location = Princeton, N.J.
 | mr = 0379375
 | publisher = Princeton University Press
 | series = Annals of Mathematics Studies
 | title = Automorphic forms on adèle groups
 | volume = 83
 | year = 1975}}. ''Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory''.
* Robert A. Rankin, ''Modular forms and functions'', (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
* Stein's notes on Ribet's course [http://modular.fas.harvard.edu/MF.html Modular Forms and Hecke Operators]
* [[Erich Hecke]], ''Mathematische Werke'', Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
* N.P. Skoruppa, [[Don Zagier|D. Zagier]], ''Jacobi forms and a certain space of modular forms'', [[Inventiones Mathematicae]], 1988, Springer
* Fred Diamond and Jerry Shurman: ''A First Course in Modular Forms'', Springer (GTM228), ISBN 978-0-387-27226-9 (2005).
* Zafer Selcuk Aygin : ''Introduction to Applications of Modular Forms: Computational Aspects'', Springer, ISBN 978-3-031-32629-5 (2023).
* Eberhard Freitag: ''Siegelsche Modulfunktionen'', Springer (GL, volume 254) ,(1983).
* Eberhard Freitag: ''Hilbert Modular Forms'', Springer, ISBN 978-0-38750586-2 (1990).
* Haruzo Hida: ''Hilbert Modular Forms and Iwasawa Theory'', Oxford University Press, ISBN 0-19857102-X (2006).
* Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, and Don Zagier: ''The 1-2-3 of Modular Forms'', Springer, ISBN 978-3-540-74117-6 (2008).


和書：
* 土井公二、三宅敏恒：「保型形式と整数論」、紀伊國屋書店、ISBN 978-4-31400158-8 (1976年10月30日). 
* 斎藤利弥：「線形微分方程式とフックス関数 I：ポアンカレを読む」、河合文化教育研究所、ISBN 4-87999-962-8 (1991年10月15日)
* 清水英男：「保型関数」、岩波書店、4-00-00-6007-4（1992年6月22日）※ 岩波基礎数学講座の単行本化。
* 斎藤利弥：「線形微分方程式とフックス関数 II：ポアンカレを読む」、河合文化教育研究所、ISBN 4-87999-963-6 (1994年12月1日)
* 斎藤利弥：「線形微分方程式とフックス関数 III：ポアンカレを読む」、河合文化教育研究所、ISBN 4-87999-964-4 (1998年3月15日)
* N.コブリッツ、上田勝(訳) :「楕円曲線と保型形式」、丸善出版、{{ISBN2|978-4621063439}} (2012年7月17日)
* Eberhard Freitag, 長岡 昇勇 (訳)：「ジーゲルモジュラー関数論」、共立出版、ISBN 978-4320110946（2014年11月11日)
* 吉田敬之：「保型形式論：現代整数論講義」、朝倉書店、 ISBN 978-4-25411831-5 (2015年8月25日)
* 黒川信重、栗原将人、斎藤毅：「岩澤理論と保型形式」、岩波書店、{{ISBN2|978-4-00-730578-8}}, オンデマンド版（2017年2月10日）※　岩波講座 現代数学の基礎からの単行本化
* 志賀弘典：「保型関数: 古典理論とその現代的応用」、共立出版、 {{ISBN2|978-4320112049}}（2017年6月27日）
* 伊吹山知義：「保型形式特論」、共立出版、ISBN 978-4320113312 (2018年5月25日)
* Avner Ash、Robert Gross、新妻弘(訳)：「1足す1から現代数論へ：モジュラー形式への誘い」、共立出版、ISBN 978-4-32011383-1 (2019年7月31日). 第III部「モジュラー形式とその応用」
* 三枝洋一：「数論幾何入門：モジュラー曲線から大定理・大予想へ」、森北出版、ISBN 978-4-627-07891-8 (2024年5月)

== 外部リンク ==
* [https://mathoverflow.net/questions/300013/the-origins-of-modular-and-moduli MathOverflow: The Origin(s) of Modular and Moduli]
* [https://math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_110.html Souichiro Ikebe: 「特殊関数グラフィックスライブラリ」の項目「楕円モジュラー関数」]
* [https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~mkaneko/papers/modular_form.pdf 金子昌信：「１変数保型形式の数論入門」]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:もしゆらあけいしき}}
[[Category:モジュラー形式|*]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]