モジュラー群のソースを表示

{{要改訳}}{{Otheruses|モジュラー変換に関する群|部分群の束がモジュラーな群|岩澤群}}

数学において'''モジュラー群'''(modular group)とは、[[数論]]、[[幾何学]]、[[抽象代数学|代数学]]や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換[[群 (数学)|群]]や[[行列群]]により表されるものである。
<!--In [[mathematics]], the '''modular group Γ'''  is a fundamental object of study in [[number theory]], [[geometry]], [[abstract algebra|algebra]], and many other areas of advanced mathematics. The modular group can be represented as a [[group (mathematics)|group]] of geometric transformations or as a group of [[matrix (math)|matrices]].-->

==定義==
'''モジュラー群''' <math>\Gamma</math> は、ad − bc = 1 を満たす[[整数]] a, b, c, dによって、

:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>

と表せる[[上半平面|複素上半平面]]の[[メビウス変換|一次分数変換]]の群である。群演算は[[写像の合成]]である。

この変換の群は、[[射影線型群|特殊射影線型群]] PSL(2, '''Z''') に同型である。PSL(2, '''Z''')は整数上の 2-次元の[[特殊線型群]] SL(2, '''Z''') をその[[群の中心]] {I, −I} で割った商である。言い換えると、PSL(2, '''Z''') は、
ad − bc = 1 を満たす[[整数]]<nowiki/>a, b, c, dによって

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

と表される全ての行列で構成される。ただし、行列 A と -A は同一視する。群の演算は通常の[[行列の乗法|行列の積]]である。
<!--==Definition==
The '''modular group Γ''' is the group of [[Möbius transformation|linear fractional transformation]]s of the [[upper half-plane|upper half of the complex plane]] which have the form

:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>

where ''a'', ''b'', ''c'', and ''d'' are [[integer]]s, and ''ad'' − ''bc'' = 1. The group operation is [[function composition]].

This group of transformations is isomorphic to the [[projective linear group|projective special linear group]] PSL(2, '''Z'''), which is the quotient of the 2-dimensional [[special linear group]] SL(2, '''Z''') over the integers by its [[center (group theory)|center]] {''I'', −''I''}.  In other words, PSL(2, '''Z''') consists of all [[matrix (mathematics)|matrices]]

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

where ''a'', ''b'', ''c'', and ''d'' are integers, ''ad'' − ''bc'' = 1, and pairs of matrices ''A'' and −''A'' are considered to be identical.  The group operation is the usual [[matrix multiplication|multiplication of matrices]].-->

モジュラー群を PSL(2, '''Z''') であると定義する著者がいる一方で、より大きな群である SL(2, '''Z''') であると定義する者もいる。
<!-- しかし、モジュラー群を PSL(2, '''Z''') であると定義する者は、SL(2, '''Z''') の記号が行列では符号により決定されるだけであるとして使っている。-->

数学的な関係より、+1または-1の行列式をもつ行列の群 GL(2, '''Z''') を考えることを求めることもある。（ SL(2, '''Z''') はこの群の部分群である。）同様に、PGL(2, '''Z''') は商群 GL(2,'''Z''')/{I, −I} である。単位行列式を持つ 2 × 2 行列は、[[斜交行列|シンプレクティック行列]]であるので、SL(2, '''Z''') = Sp(2, '''Z''') は 2 × 2 行列のなす[[斜交群|シンプレクティック群]]である。
<!-- S*L(2, '''Z''') を記号 GL(2, '''Z''') とすることもできる。なぜならば、整数行列の逆が存在し、整数係数を持つことと行列式が ±1 に等しいこととは同値であるからである（行列式が 0 でも ±1 でもなければ、逆行列が存在するが少なくともひとつの整数ではない係数を持つ）。言い換えると、明確な記号 SL<sup>±</sup>(2, '''Z''') と表すことができる。-->
<!--
Some authors ''define'' the modular group to be {{math|PSL(2, '''Z''')}}, and still others define the modular group to be the larger group {{math|SL(2, '''Z''')}}. 

Some mathematical relations require the consideration of the group {{math|GL(2, '''Z''')}} of matrices with determinant plus or minus one. ({{math|SL(2, '''Z''')}} is a subgroup of this group.)  Similarly, {{math|PGL(2, '''Z''')}} is the quotient group {{math|GL(2, '''Z''')/{''I'', −''I''<nowiki>}</nowiki>}}. A {{nowrap|2 × 2}} matrix with unit determinant is a [[symplectic matrix]], and thus {{math|SL(2, '''Z''') {{=}} Sp(2, '''Z''')}}, the [[symplectic group]] of {{nowrap|2 × 2}} matrices.
-->

==数論的性質==

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

の[[行列式]]が１であるということは、分数 a/b, a/c, c/d, b/d がすべて既約であること、つまり、共通因子を持たないこと（もちろん分母が 0 ではないという条件で）を意味する。もっと一般的には、p/q が既約分数であれば、

:<math>\frac{ap+bq}{cp+dq}</math>

も既約となる（繰り返すが、分母は 0 ではないという条件で）。既約分数の任意のペアは、このように関連つけることができる。つまり、任意の既約分数のペア p/q と r/s に対して、

:<math>r = ap+bq </math>　と　<math> s=cp+dq</math>

となるような

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbf{Z})</math>

が存在する。

モジュラー群の元は、2次元の[[格子 (数学)|周期格子]]上の対称性をもたらす。<math>\omega_1</math> と <math>\omega_2</math> を 2つの比率が実数でないような 2つの複素数とすると、点の集合

:<math>\Lambda (\omega_1, \omega_2)=\{ m\omega_1 +n\omega_2 : m,n\in \mathbf{Z} \}</math>

は、平面上の平行四辺形の格子となる。異なるベクトルのペア <math>\alpha_1</math> と <math>\alpha_2</math> が全く同じ格子を生成することと、<math>\operatorname{SL}(2,\mathbf{Z})</math>の行列を用いて

:<math>\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>

と書けることは等価である。このため、[[楕円函数]]のような{{仮リンク|二重周期函数|en|doubly periodic function}}(doubly periodic function)は、モジュラー群対称性を持つ。

有理数に対するモジュラー群の作用は、格子点 (p, q) が分数 p/q を表している正方格子として可視化すると、最も容易に理解することができる（{{仮リンク|ユークリッドのオーチャード|en|Euclid's orchard}}(Euclid's orchard)を参照のこと）。この格子においては、既約分数は原点から'''見ることのできる'''点である。分数上のモジュラー群の作用は、'''見ることのできる'''点を'''見ることができない'''（既約な）点へ変換することは決してないし、逆も成り立つ。

<math>p_{n-1}/q_{n-1}</math> と <math>p_{n}/q_{n}</math> が 連続した２つの[[連分数]]の近似分数あれば、行列

:<math>\begin{pmatrix} p_{n-1} & p_{n} \\ q_{n-1} & q_{n} \end{pmatrix}</math>

は GL(2, '''Z''') に属する。特に、a&nbsp;<&nbsp;b かつ c&nbsp;<&nbsp;d である正の整数 a, b, c, d に対し、bc&nbsp;−&nbsp;ad = 1 であれば、a/b と c/d は max(b, d) に対応する[[ファレイ数列]]において隣接する。連分数の近似分数の特別に重要な例として、[[フィボナッチ数|フィボナッチ数列]]と[[ペル方程式]]の解がある。どちらの場合も、モジュラー群の[[半群]]を形成するように数列を並べることができる。
<!--==Number-theoretic properties==
The unit [[determinant]] of

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>

implies that the fractions ''a''/''b'', ''a''/''c'', ''c''/''d'' and ''b''/''d'' are all irreducible, that is have no common factors (provided the denominators are non-zero, of course).  More generally, if ''p''/''q'' is an irreducible fraction, then

:<math>\frac{ap+bq}{cp+dq}</math>

is also irreducible (again, provided the denominator be non-zero). Any pair of irreducible fractions can be connected in this way, i.e.: for any pair ''p''/''q'' and ''r''/''s'' of irreducible fractions, there exist elements

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbf{Z})</math>

such that

:<math>r = ap+bq \quad \mbox{ and }<math>\quad s=cp+dq.</math>

Elements of the modular group provide a symmetry on the two-dimensional [[period lattice|lattice]]. Let <math>\omega_1</math> and <math>\omega_2</math> be two complex numbers whose ratio is not real. Then the set of points

:<math>\Lambda (\omega_1, \omega_2)=\{ m\omega_1 +n\omega_2 : m,n\in \mathbf{Z} \}</math>

is a lattice of parallelograms on the plane.  A different pair of vectors <math>\alpha_1</math> and <math>\alpha_2</math> will generate exactly the same lattice if and only if

:<math>\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>

for some matrix in S*L(2, '''Z'''). It is for this reason that [[doubly periodic function]]s, such as [[elliptic functions]], possess a modular group symmetry.

The action of the modular group on the rational numbers can most easily be understood by envisioning a square grid, with grid point (''p'', ''q'') corresponding to the fraction ''p''/''q'' (see [[Euclid's orchard]]).  An irreducible fraction is one that is ''visible'' from the origin; the action of the modular group on a fraction never takes a ''visible'' (irreducible) to a ''hidden'' (reducible) one, and vice versa.

If <math>p_{n-1}/q_{n-1}</math> and <math>p_{n}/q_{n}</math> are two successive  convergents of a [[continued fraction]], then the matrix

:<math>\begin{pmatrix} p_{n-1} & p_{n} \\ q_{n-1} & q_{n} \end{pmatrix}</math>

belongs to S*L(2, '''Z''').  In particular, if  ''bc''&nbsp;−&nbsp;''ad'' = 1 for positive integers ''a'',''b'',''c'' and ''d'' with ''a''&nbsp;<&nbsp;''b'' and ''c''&nbsp;<&nbsp;''d'' then ''a''/''b'' and ''c''/''d'' will be neighbours in the [[Farey sequence]] of order min(''b'', ''d''). Important special cases of continued fraction convergents include the [[Fibonacci number]]s and solutions to [[Pell's equation]].  In both cases, the numbers can be arranged to form a [[semigroup]] subset of the modular group.-->

==群論的な性質==

=== 表示 ===
モジュラー群は、次の 2つの変換

:<math>S: z\mapsto -1/z</math>
:<math>T: z\mapsto z+1</math>

により[[群の生成系|生成される]]と見ることができ、すべてのモジュラー群の元は、S と T の（一意ではない）合成により表すことができる。幾何学的には、S は単位円に関する[[反転幾何学|反転]]をしてから虚軸に対して線対称の位置への移動を表し、T は右方向への１単位の移動を表す。

生成元 S と T は関係式 S<sup>2</sup> = 1 と (ST)<sup>3</sup> = 1 を満たす。 これらは関係式の完全な集合であることが示されており<ref>{{cite journal | first = Roger C. | last=  Alperin | title = PSL<sub>2</sub>(Z) = Z<sub>2</sub> * Z<sub>3</sub> | journal = Amer. Math. Monthly | volume = 100 | pages = 385–386 | date = April 1993 }}</ref>、よって、モジュラー群は次の[[群の表示|表示]](presentation)を取る。

:<math>\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2=I, (ST)^3=I \rangle</math>

この表示は、回転する{{仮リンク|三角形群|en|triangle group}}(triangle group)<ref>三角形群(triangle group)は、三角形の辺を線対称の中心線とした鏡映の列により幾何学的に実現できる群である。三角形群は通常のユークリッドの三角形、球面上の三角形、双曲三角形である。各々の三角形はユークリッド平面、球面上の、双曲平面上の合同三角形やメビウスの三角形と呼ばれる作用の基本領域のタイリングによる対称群である。</ref> (2,3,∞) （∞ は T 上の関係式が存在しない）としてモジュラー群を記述する。また、関係式 T<sup>n</sup> = 1 を加えることにより、三角形群 (2,3,n) 全体の上へ写像する。たとえば、これは[[合同部分群]] Γ(n) を発生させる。

生成元 S と ST を S と T の代わりに使うと、このことからモジュラー群は[[巡回群]] C<sub>2</sub> と C<sub>3</sub> の[[自由積]](free product)に同型である。すなわち、

:<math>\Gamma \cong C_2 * C_3\ .</math>
<!--==Group-theoretic properties==

=== Presentation ===
The modular group can be shown to be [[generating set of a group|generated]] by the two transformations

:<math>S: z\mapsto -1/z</math>
:<math>T: z\mapsto z+1</math>

so that every element in the modular group can be represented (in a non-unique way) by the composition of powers of ''S'' and ''T''. Geometrically, ''S'' represents inversion in the unit circle followed by reflection with respect to the origin, while ''T'' represents a unit translation to the right.

The generators ''S'' and ''T'' obey the relations ''S''<sup>2</sup> = 1 and (''ST'')<sup>3</sup> = 1. It can be shown <ref>{{cite journal | first = Roger C. | last=  Alperin | title = PSL<sub>2</sub>(Z) = Z<sub>2</sub> * Z<sub>3</sub> | journal = Amer. Math. Monthly | volume = 100 | pages = 385–386 | date = April 1993 }}</ref> that these are a complete set of relations, so the modular group has the [[presentation of a group|presentation]]:

:<math>\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2=I, (ST)^3=I \rangle</math>

This presentation describes the modular group as the rotational [[triangle group]] (2,3,∞) (∞ as there is no relation on ''T''), and it thus maps onto all triangle groups (2,3,''n'') by adding the relation ''T<sup>n</sup>'' = 1, which occurs for instance in the [[congruence subgroup]] Γ(''n'').

Using the generators ''S'' and ''ST'' instead of ''S'' and ''T'', this shows that the modular group is isomorphic to the [[free product]] of the [[cyclic group]]s C<sub>2</sub> and C<sub>3</sub>:

:<math>\Gamma \cong C_2 * C_3</math>-->

===ブレイド群<math>B_3</math>との関係===

ブレイド群 B<sub>3</sub>は、モジュラー群<math>\Gamma</math>の中心拡大（central extension）である。即ち、<math>B_3</math>の[[中心 (代数学)#群の中心|中心]]を<math>Z(B_3)</math>により表すとき以下の[[完全系列#短完全列|短完全列]]を満たす：

:<math>1 \to Z(B_3) \to B_3 \to \Gamma \to 1</math>

従って<math>\Gamma \cong B_3/Z(B_3)</math>である。

実際、ブレイド群の[[群の表示|表示]]を

:<math>B_3=\langle \sigma_1, \sigma_2
| \sigma_1\sigma_2\sigma_1=\sigma_2\sigma_1\sigma_2
\rangle</math>

として、

:<math>a = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_1, \quad b = \sigma_1 \sigma_2</math>

と定義すると、{{math|''a''<sup>2</sup> {{=}} ''b''<sup>3</sup>}}となる。

一方モジュラー群は上述の通り[[群の表示|表示]]

:<math>\Gamma = \langle S, T
| S^2=(ST)^3=1\rangle</math>

を有するので明らかに<math>B_3 \to \Gamma</math>の準同型が存在し、その核は<math>c = b^3</math>が生成する<math>\langle c \rangle</math>である。
{{math|''c''}} は、<math>\sigma_1 c \sigma_1^{-1} = \sigma_2 c \sigma_2^{-1}=c</math>
より{{math|''B''<sub>3</sub>}} の中心に含まれることがわかるが、実は更に<math>\langle c \rangle = Z(B_3)</math>である。

==双曲幾何学との関係==
{{See also|PSL2(R)}}

モジュラー群は、[[双曲幾何学|双曲平面]]の[[等長写像|等長]](isometries)群の部分群をなすので、重要である。双曲平面の幾何学の[[上半平面]]モデル '''H''' を考えると、'''H''' のすべての[[向き|向きを保つ]](orientation-preserving)等長群は、a, b, c, d を普通の[[実数]]の代わりに[[整数]]とし、ad − bc = 1 とすると、

:<math>z\mapsto \frac{az + b}{cz + d}</math>

形の[[メビウス変換]]のすべてから構成される。また、これとは別に次の式に従う '''H''' 上の PSL(2, '''R''') [[群作用|群の作用]]でもある。

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z \,= \,\frac{az + b}{cz + d}\ .</math>

この（左-）作用は、[[群作用#作用の種類|忠実]]であり、PSL(2, '''Z''') は PSL(2, '''R''') の部分群であるので、モジュラー群は '''H''' の向きを保つ等長群の部分群である。<ref>http://www.mathematica-journal.com/issue/v9i3/contents/ModularGroup/ModularGroup.pdf</ref>
<!--==Relationship to hyperbolic geometry==
{{See also|PSL2(R)}}

The modular group is important because it forms a [[group (mathematics)|subgroup]] of the group of [[isometry|isometries]] of the [[hyperbolic geometry|hyperbolic plane]].  If we consider the [[upper half-plane]] model '''H''' of hyperbolic plane geometry, then the group of all
[[Orientation (mathematics)|orientation-preserving]] isometries of '''H''' consists of all [[Möbius transformation]]s of the form

:<math>z\mapsto \frac{az + b}{cz + d}</math>

where ''a'', ''b'', ''c'', and ''d'' are [[integer]]s, instead of the usual [[real number]]s, and ''ad'' − ''bc'' = 1.  Put differently, the group PSL(2, '''R''') [[group action|acts]] on the upper half-plane '''H''' according to the following formula:

:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z \,= \,\frac{az + b}{cz + d}</math>

This (left-)action is [[Sharply multiply transitive|faithful]]. Since PSL(2, '''Z''') is a subgroup of PSL(2, '''R'''), the modular group is a subgroup of the group of orientation-preserving isometries of '''H'''. <ref>http://www.mathematica-journal.com/issue/v9i3/contents/ModularGroup/ModularGroup.pdf</ref>-->

===双曲平面のタイル貼り===
[[File:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|thumb|600px|right|上半平面上の Γ の作用の典型的な基本領域]]
モジュラー群 Γ は '''H''' 上に PSL(2, '''R''') の[[離散群|離散部分群]](discrete subgroup)として作用する、つまり、'''H''' の各々の 元 z に対して、z の近傍をとり、z の[[群作用#軌道と等方部分群|軌道]]の他の元を含まないようにすることができる。このことはまた、{{仮リンク|基本領域|en|fundamental domain}}を構成することができることを意味する。（大まかには、）基本領域は '''H''' の中のすべての z の軌道からちょうど一つづつの代表元を選ぶことで構成することができる。（領域の境界に注意が必要である。）

基本領域を構成する方法は多数あるが、すべてに共通なことは、領域

:<math>R = \left\{ z \in \mathbf{H}: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}</math>

は、垂直線 Re(z) = 1/2 と Re(z) = −1/2 と円 |z| = 1 により囲まれていることであり、双曲三角形である。また、頂点 1/2 + i√3/2 と −1/2 + i√3/2 を持ち、辺どうしのなす角度が π/3 であり、三番目の頂点が無限点では、辺どうしのなす角度が 0 である。
この領域をモジュラー群の各々の元で変換すると、合同双曲三角形により双曲平面の[[タイリング]]が作られる。そのような三角形は無限点か、または実軸 Im(x) = 0 上のどちらかに一つの頂点を持つことに注意する。このタイリングは[[ポアンカレ計量|ポアンカレ円板]]の拡張であり、そこではすべての双曲三角形が円板の境界に一つの頂点を持つ。ポアンカレ円板のタイリングは、モジュラー群の下に不変である[[:en:File:J-inv-phase.jpeg|J-不変量]]により自然な方法で与えられ、すべての複素数にこれらの領域の各々の三角形の中のひとつの点が与えられる。

このタイリングは、各々の領域を半分づつに分割（黒色と白色と塗り分けて）し、反対の向きを加えることで、少し改善することができる。(x, y) ↦ (−x, y) と変換し、領域 R (Re(z) ≥ 0) の右半分をとることは、通常のタイリングをとることである。まず、このタイリングは{{Harv|Klein|1878/79a}},<ref name="lebruyn">{{citation
 | last = le Bruyn | first = Lieven
 | title = Dedekind or Klein ?
 | date = 22 April 2008
 | url = http://www.neverendingbooks.org/index.php/dedekind-or-klein.html
}}</ref>で提示され、このことは[[リヒャルト・デデキント]](Richard Dedekind)による{{Harv|Dedekind|1877}}<ref name="lebruyn" /><ref>{{Cite journal
| issn = 0002-9890
| volume = 108
| issue = 1
| pages = 70–76
| last = Stillwell
| first = John
| title = Modular Miracles
| journal = The American Mathematical Monthly| date = January 2001
| jstor = 2695682
}}</ref> を参照した。

[[File:Morphing of modular tiling to 2 3 7 triangle tiling.gif|thumb|320px|付帯するタイリンクを写像することにより、写像 (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) を可視化<ref name="westendorp">[http://www.xs4all.nl/~westy31/Geometry/Geometry.html#Modular Platonic tilings of Riemann surfaces: The Modular Group], [http://www.xs4all.nl/~westy31/ Gerard Westendorp]</ref>]]
（モジュラー群から三角形群への）写像 (2, 3, ∞) → (2, 3, n) の群は、このタイリングのことばで（モジュラー曲線のタイリングである）右図のように可視化することができる。
<!--{{Order i-3 tiling table}}-->
<!--===Tessellation of the hyperbolic plane===
[[File:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png|thumb|600px|right|A typical fundamental domain for the action of Γ on the upper half-plane.]]
The modular group Γ acts on '''H''' as a [[discrete group|discrete subgroup]] of PSL(2, '''R'''), i.e. for each ''z'' in '''H''' we can find a neighbourhood of ''z'' which does not contain any other element of the [[orbit (group theory)|orbit]] of ''z''. This also means that we can construct [[fundamental domain]]s, which (roughly) contain exactly one representative from the orbit of every ''z'' in '''H'''. (Care is needed on the boundary of the domain.)

There are many ways of constructing a fundamental domain, but a common choice is the region

:<math>R = \left\{ z \in \mathbf{H}: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}</math>

bounded by the vertical lines Re(''z'') = 1/2 and Re(''z'') = −1/2, and the circle |''z''| = 1. This region is a hyperbolic triangle. It has vertices at 1/2 + ''i''√3/2 and −1/2 + ''i''√3/2, where the angle between its sides is π/3, and a third vertex at infinity, where the angle between its sides is 0.

By transforming this region in turn by each of the elements of the modular group, a [[tessellation|regular tessellation]] of the hyperbolic plane by congruent hyperbolic triangles is created.  Note that each such triangle has one vertex either at infinity or on the real axis Im(''z'')=0. This tiling can be extended to the [[Poincaré metric|Poincaré disk]], where every hyperbolic triangle has one vertex on the boundary of the disk. The tiling of the Poincaré disk is given in a natural way by the [[:Image:J-inv-phase.jpeg|J-invariant]], which is invariant under the modular group, and attains every complex number once in each triangle of these regions.

This tessellation can be refined slightly, dividing each region into two halves (conventionally colored black and white), by adding an orientation-reversing map; the colors then correspond to orientation of the domain. Adding in (''x'', ''y'') ↦ (−''x'', ''y'') and taking the right half of the region ''R'' (Re(''z'') ≥ 0) yields the usual tessellation. This tessellation first appears in print in {{Harv|Klein|1878/79a}},<ref name="lebruyn">{{citation
 | last = le Bruyn | first = Lieven
 | title = Dedekind or Klein ?
 | date = 22 April 2008
 | url = http://www.neverendingbooks.org/index.php/dedekind-or-klein.html
}}</ref> where it is credited to [[Richard Dedekind]], in reference to {{Harv|Dedekind|1877}}.<ref name="lebruyn" /><ref>{{Cite journal
| issn = 0002-9890
| volume = 108
| issue = 1
| pages = 70–76
| last = Stillwell
| first = John
| title = Modular Miracles
| journal = The American Mathematical Monthly| date = January 2001
| jstor = 2695682
}}</ref>

[[File:Morphing of modular tiling to 2 3 7 triangle tiling.gif|thumb|Visualization of the map (2,3,∞) → (2,3,7) by morphing the associated tilings.<ref name="westendorp">[http://www.xs4all.nl/~westy31/Geometry/Geometry.html#Modular Platonic tilings of Riemann surfaces: The Modular Group], [http://www.xs4all.nl/~westy31/ Gerard Westendorp]</ref>]]
The map of groups (2,3,∞) → (2,3,''n'') (from modular group to triangle group) can be visualized in terms of this tiling (yielding a tiling on the modular curve), as depicted in the video at right.

{{Order i-3 tiling table}}-->

==合同部分群==
{{Main|合同部分群}}
モジュラー群 Γ の重要な[[部分群]]には、'''{{仮リンク|合同部分群|en|congruence subgroup}}'''(congruence subgroup)と呼ばれる群があり、付帯する行列の上に[[合同式|合同関係式]]を導入することにより与えられる。

自然な[[準同型]] SL(2, '''Z''') → SL(2, '''Z'''/N'''Z''') が各要素に対して modulo N をとることにより得られる。このことはモジュラー群の準同型 PSL(2, '''Z''') → PSL(2, '''Z'''/N'''Z''') を導く。この準同型の[[核 (代数)|核]]は、レベル N の'''{{仮リンク|主合同部分群|en|principal congruence subgroup}}'''(principal congruence subgroup)と呼ばれ、Γ(N) と書く。次の[[完全系列|短完全系列]]を得る。

:<math>1\to\Gamma(N)\to\Gamma\to\mbox{PSL}(2,\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\to 1</math>.

準同型の核 Γ(N) はモジュラー群 Γ の[[正規部分群]]である。群 Γ(N) は、a ≡ d ≡ ±1 (mod N) であり b ≡ c ≡ 0 (mod N) であるすべてのモジュラー変換

:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>

の集合である。

レベル 2 の主合同部分群 Γ(2) は'''モジュラー群 Λ'''と呼ばれる。PSL(2, '''Z'''/2'''Z''') は[[対称群]] S<sub>3</sub> と同型であるので、Λ は指数 6 の部分群である。群 Λ は、a と d が奇数で、b と d が偶数であるすべてのモジュラー変換からなる。

他の重要な合同部分群の族に、{{仮リンク|モジュラー群ガンマ0|en|modular group Gamma0}}(modular group Γ<sub>0</sub>(N))が c ≡ 0 (mod N)、同じことであるが、N を modulo として上三角変換のすべてのモジュラー変換の集合として定義される。Γ(N) は Γ<sub>0</sub>(N) の部分群である。これらの群に付帯する[[モジュラー曲線]]は、[[モンストラス・ムーンシャイン]]の一側面でもある。ある[[素数]] p に対し、正規化されたモジュラー曲線の[[種数]]が 0 であることと、p が[[モンスター群]]の位数を割ることとは同値である。同じことであるが、p が{{仮リンク|超特異素数 (ムーンシャイン理論)|label=超特異素数|en|supersingular prime (moonshine theory)}}(supersingular prime)とは同値である。
<!--==Congruence subgroups==
{{Main|Congruence subgroup}}
Important [[subgroup]]s of the modular group Γ, called ''[[congruence subgroup]]s'', are given by imposing [[congruence relation]]s on the associated matrices.

There is a natural [[homomorphism]] SL(2, '''Z''') → SL(2, '''Z'''/N'''Z''') given by reducing the entries [[modulo operation|modulo]] ''N''. This induces a homomorphism on the modular group PSL(2, '''Z''') → PSL(2, '''Z'''/N'''Z'''). The [[kernel (algebra)|kernel]] of this homomorphism is called the '''[[principal congruence subgroup]] of level ''N''''', denoted Γ(''N''). We have the following [[short exact sequence]]:

:<math>1\to\Gamma(N)\to\Gamma\to\mbox{PSL}(2,\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\to 1</math>.

Being the kernel of a homomorphism Γ(''N'') is a [[normal subgroup]] of the modular group Γ. The group Γ(''N'') is given as the set of all modular transformations

:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>

for which ''a'' ≡ ''d'' ≡ ±1 (mod ''N'') and ''b'' ≡ ''c'' ≡ 0 (mod ''N'').

The principal congruence subgroup of level 2, Γ(2), is also called the '''modular group Λ'''. Since PSL(2, '''Z'''/2'''Z''') is isomorphic to [[symmetric group|''S''<sub>3</sub>]], Λ is a subgroup of [[index of a subgroup|index]] 6. The group Λ consists of all modular transformations for which ''a'' and ''d'' are odd and ''b'' and ''c'' are even.

Another important family of congruence subgroups are the [[modular group Gamma0|modular group Γ<sub>0</sub>(''N'')]] defined as the set of all modular transformations for which ''c'' ≡ 0 (mod ''N''), or equivalently, as the subgroup whose matrices become [[upper triangular matrix|upper triangular]] upon reduction modulo ''N''. Note that Γ(''N'') is a subgroup of Γ<sub>0</sub>(''N''). The [[modular curve]]s associated with these groups are an aspect of [[monstrous moonshine]] – for a [[prime number]] ''p'', the modular curve of the normalizer is [[genus (mathematics)|genus]] zero if and only if ''p'' divides the [[order (group theory)|order]] of the [[monster group]], or equivalently, if ''p'' is a [[supersingular prime (moonshine theory)|supersingular prime]].-->

==写像トーラス==
群 GL(2, '''Z''') は、標準格子 '''Z'''<sup>2</sup> を保存する線形写像であり、SL(2, '''Z''') はこの格子の向きを保存する写像である。これらは、（SL 写像は向きを保存する）[[トーラス]]の{{仮リンク|半同相|en|self-homeomorphism}}(self-homeomorphism)となり、実際、トーラスの（拡張された）{{仮リンク|写像類群|en|mapping class group}}(mapping class group)に同型な写像は、トーラスのすべての半同相写像は、この形の写像と[[:en:Homotopy#Isotopy|等方的]](isotopic)となる。GL(2, '''Z''') の元としての代数的性質はトーラスの誘導写像の力学と対応する。
<!--==Maps of the torus==
The group GL(2, '''Z''') is the linear maps preserving the standard lattice '''Z'''<sup>2</sup>, and SL(2, '''Z''') is the orientation-preserving maps preserving this lattice; they thus descend to [[self-homeomorphism]]s of the [[torus]] (SL mapping to orientation-preserving maps), and in fact map isomorphically to the (extended) [[mapping class group]] of the torus, meaning that every self-homeomorphism of the torus is [[Homotopy#Isotopy|isotopic]] to a map of this form. The algebraic properties of a matrix as an element of GL(2, '''Z''') correspond to the dynamics of the induced map of the torus.-->

==ヘッケ群==
モジュラー群は、[[エーリッヒ・ヘッケ]]の名前をとった'''ヘッケ群'''へ一般することができ、次のように定義することができる<ref>''Combinatorial group theory, discrete groups, and number theory,'' by Gerhard Rosenberger, Benjamin Fine, Anthony M. Gaglione, Dennis Spellman [https://books.google.co.jp/books?id=5Unmxs7yeHwC&pg=PA65&redir_esc=y&hl=ja p. 65]</ref>

ヘッケ群 H<sub>q</sub> は離散群で、<math>\lambda_q=2\cos(\pi/q)</math> とすると、

:<math>z \mapsto -1/z</math>
:<math>z \mapsto z + \lambda_q,</math>

により生成される。

モジュラー群 Γ は H<sub>3</sub> に同型であり、性質や応用を共有する。たとえば、[[巡回群]]の[[自由積]](free product)である

:<math>\Gamma \cong C_2 * C_3,</math>

や、より一般的には、{{仮リンク|三角形群|en|triangle group}}(triangle group) (2, q, ∞) に対応する

:<math>H_q \cong C_2 * C_q,</math>

を持っている。'''Z'''[λ] の主イデアルに付帯する主合同部分群の考え方も存在する。小さな値の q に対し、

:<math>\lambda_3 = 1,</math>
:<math>\lambda_4 = \sqrt{2},</math>
:<math>\lambda_5 = \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{5}),</math>
:<math>\lambda_6 = \sqrt{3}</math>
である。
<!--==Hecke groups==
The modular group can be generalized to the '''Hecke groups,''' named for [[Erich Hecke]], and defined as follows.<ref>''Combinatorial group theory, discrete groups, and number theory,'' by Gerhard Rosenberger, Benjamin Fine, Anthony M. Gaglione, Dennis Spellman [https://books.google.co.jp/books?id=5Unmxs7yeHwC&pg=PA65&redir_esc=y&hl=ja p. 65]</ref>

The Hecke group ''H''<sub>''q''</sub> is the discrete group generated by

:<math>z \mapsto -1/z</math>
:<math>z \mapsto z + \lambda_q,</math>

where <math>\lambda_q=2\cos(\pi/q). \,</math>

The modular group Γ is isomorphic to ''H''<sub>3</sub> and they share properties and applications – for example, just as one has the [[free product]] of [[cyclic group]]s

:<math>\Gamma \cong C_2 * C_3,</math>

more generally one has

:<math>H_q \cong C_2 * C_q,</math>

which corresponds to the [[triangle group]] (2,''q'',∞). There is similarly a notion of principal congruence subgroups associated to principal ideals in '''Z'''[λ]. For small values of ''q'', one has:

:<math>\lambda_3 = 1,</math>
:<math>\lambda_4 = \sqrt{2},</math>
:<math>\lambda_5 = \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{5}),</math>
:<math>\lambda_6 = \sqrt{3}.</math>-->

==歴史==
モジュラー群とその部分群は、最初に、詳細に[[リヒャルト・デーデキント]] (Richard Dedekind) と[[フェリックス・クライン]] (Felix Klein) により、1870年代に彼らの[[エルランゲン・プログラム]]の一部として研究された。しかし、密接に関連する[[楕円曲線]]は、1785年に[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]](Joseph Louis Lagrange)により研究され、さらに楕円函数に関する結果は、[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]](Carl Gustav Jakob Jacobi)と[[ニールス・アーベル]](Niels Henrik Abel)により1827年に出版された。
<!--==History==
The modular group and its subgroups were first studied in detail by [[Richard Dedekind]] and by [[Felix Klein]] as part of his [[Erlangen programme]] in the 1870s. However, the closely related [[elliptic function]]s were studied by [[Joseph Louis Lagrange]] in 1785, and further results on elliptic functions were published by [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] and [[Niels Henrik Abel]] in 1827.-->

==脚注==
<references/>

==関連項目==
{{colbegin|3}}
*[[メビウス変換]]
*{{仮リンク|フックス群|en|Fuchsian group}}(Fuchsian group)
*[[ビアンキ群]]
*{{仮リンク|クライン群|en|Kleinian group}}(Kleinian group)
*{{仮リンク|双曲タイリング|en|Hyperbolic tiling}}(Hyperbolic tiling)
*[[モジュラー函数]]
*[[J-不変量]]
*[[モジュラー形式]]
*[[モジュラー曲線]]
*[[古典的モジュラー曲線]](classical modular curve)
*[[ポアンカレの上半平面モデル]]
*[[ミンコフスキーの疑問符関数]](Minkowski question-mark function)
*{{仮リンク|写像類群|en|Mapping class group}}(Mapping class group)
{{colend}}

==参考文献==
{{Reflist}}
{{Refbegin}}
*Tom M. Apostol, ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 See chapter 2.
*{{Citation
|last=Klein | first = Felix | authorlink = Felix Klein
|ref={{Harvid|Klein|1878/79a}}
|title = Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (On the transformation of elliptic functions and ...)
|pages = 13–75 (in Oeuvres, Tome 3)
|journal = Math. Annalen
|volume = 14
|year = 1878/79
|url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_KLEIN__3
}}
* {{Citation | title = Schreiben an Herrn Borchard uber die Theorie der elliptische Modulfunktionen | first = Richard | last = Dedekind | authorlink = Richard Dedekind |date=September 1877 | journal = Crelle's Journal | volume = 83 | pages =  265–292}}.
{{Refend}}
{{DEFAULTSORT:もしゆらあくん}}
[[Category:群論]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:モジュラー形式]]
[[Category:数学に関する記事]]